椭圆偏振光中若干公式的推导

张俊吉，王 艳

(1.河南工程学院 理学院, 河南 郑州 451191;2.河南工程学院 材料与化学工程学院, 河南 郑州 450007)

椭圆偏振光中若干公式的推导

张俊吉1，王 艳2

(1.河南工程学院 理学院, 河南 郑州 451191;2.河南工程学院 材料与化学工程学院, 河南 郑州 450007)

就椭圆偏振光中若干公式或结论给出完整的数学推导过程，同时对其光矢量的旋转速度和旋转方向进行了讨论，有助于进一步加深对椭圆偏振光的理解.

椭圆偏振光；旋转方向；旋转速度

对一个沿z轴方向传播的椭圆偏振光而言，可以视作由两个频率相同、振动方向(电矢量振动方向分别为x，y轴)相互垂直且沿同一方向(z轴方向)传播的线偏振光合成.这两个线偏振光由式(1)和式(2)描述：

Ex=Axcos(ωt-kz),

(1)

Ey=Aycos(ωt-kz+Δφ).

(2)

合成之后的椭圆偏振光由式(3)描述：

(3)

式(3)消去因子(ωt-kz)后可求得一个斜椭圆方程，即

(4)

1 斜椭圆方程的求解

文献[1]中直接给出式(4)所描述的结论，对其求解过程一笔带过，下面给出式(3)的具体求解过程.

由式(1)可得

(5)

进一步由式(5)可得

(6)

同时，利用两角和的三角函数关系式将式(2)展开，可得

Ey=Ay[cos(ωt-kz)cosΔφ-sin(ωt-kz)sinΔφ].

(7)

将式(5)与式(6)代入式(7)中，移项后有

两边平方，进一步化简即得

即为文献[1]中给出的公式.

2 斜椭圆长轴与轴正方向夹角的求解

文献[1]和文献[2]均直接给出式(4)所描述斜椭圆长轴与x轴正方向之间夹角α(如图1所示)的表达式：

(8)

而未给出其求解过程.在其他版本的教材[3-5]中，亦未发现其求解过程.下面给出该式的具体求解过程.

以图1所示斜椭圆的长轴为x′轴，短轴为y′轴，可以发现在x′y′坐标系中，该椭圆变为正椭圆,如图2所示.

图1 椭圆偏振光光矢量示意图Fig.1 Light vector diagram of elliptically polarized light

图2 坐标系旋转示意图Fig.2 Diagram of coordinate system rotational

将x′y′坐标系中正椭圆的长轴和短轴长度分别设为a′,b′,对于xy坐标系中任一点(Ex，Ey)，其在x′y′坐标系中的坐标为(Ex′,Ey′)，两者之间的关系由下式描述：

Ex′=Excosα+Eysinα;Ey′=Eycosα-Exsinα,

将其代入x′y′坐标系中正椭圆的标准方程：

化简后可得

与式(4)对比可得

将上述三式联立即可求出α的表达式：

此即为文献[1]中所给结论的求解过程.

3 光矢量旋转方向的判定

依据椭圆偏振光光矢量的旋转方向，椭圆偏振光分为左旋和右旋两种情形.下面简要介绍两种判定光矢量旋转方向的方法.

图3 光矢量旋转方向的判定Fig.3 Determination of light vector’s rotational direction

3.1定性判定

对式(1)和式(2)描述的两个线偏振光，对于一个固定的观测点z，设在t时刻,Ex和Ey合成的光矢量末端位于某点A处，经过一较短的时间dt后，光矢量的末端位于点B处,则光矢量末端的旋转方向为“由A指向B”.若“由A指向B”这个旋转方向为顺时针,则式(1)和式(2)所描述的椭圆偏振光为右旋(如图3所示)，逆时针则为左旋椭圆偏振光.

3.2利用Δφ的大小判定

由式(1)和式(2)可知，在任意时刻t，光矢量E与轴之间的夹角θ(图3所示)满足下式：

将上式对时间t求导，即得光矢量绕z轴旋转时的角速度

(9)

由式(9)可知，如果0<Δφ<π，则ω′<0，标志着光矢量顺时针旋转，两个线偏振光合成的椭圆偏振光为右旋；当π<Δφ<2π时，ω′>0，标志着光矢量逆时针旋转，两个线偏振光合成的椭圆偏振光为左旋；Δφ=0或π时，两个线偏振光合成线偏振光.上述过程给出了文献[1]中图5～22之结论的理论来源.

采用此方法判定时需注意：

①此处Δφ为Ey超前Ex矢量的相位；

②须将Ex和Ey的表达式化为如式(1)与式(2)所示的标准形式，其中Δφ的取值限定为0≤Δφ≤2π.

4 光矢量的旋转速度

[1] 姚启钧.光学教程[M].2版.北京:高等教育出版社,2008:235-238.

[2] 郁道银,谈恒英.工程光学[M].北京:机械工业出版社,2002:204-207.

[3] 王楚,汤俊雄.光学[M].北京:北京大学出版社,2001:220-225.

[4] 赵凯华,钟锡华.光学(下) [M].北京:北京大学出版社,1984:187-194.

[5] 马科斯·玻恩,埃米尔·沃耳夫.光学原理:光的传播、干涉和衍射的电磁理论[M].7版.北京:电子工业出版社,2009:515-520.

Proofofseveralequationsandconclusionsabouttheellipticallypolarizedlight

ZHANG Jun-ji1, WANG Yan2

(1.CollegeofScience,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China;2.CollegeofMaterialandChemistryEngineering,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou450007,China)

Several equations and conclusions about the elliptically polarized light were proved integrally with mathematics method. At the same time, the rotational direction and velocity of light vector was discussed in this paper. It is helpful to further understand the elliptically polarized light.

elliptically polarized light; rotational direction; rotational velocity

2014-04-09

河南工程学院博士基金(061601/D2013008)

张俊吉(1983- )，男，河南林州人，讲师，博士,主要研究方向为激光加工技术.

O436.3

A

1674-330X(2014)03-0077-04