从椭圆的简单几何性质谈教学创新

李汉兵

摘 要： 椭圆的几何性质是解析几何中的重点内容，也是研究圆锥曲线的主体之一.本文从椭圆的基本定义推得的标准方程入手，推导分析了椭圆的各种几何性质的内在联系，从而实现学生对知识的系统把握和对知识的创新运用.

关键词： 椭圆 几何性质 创新教学

椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义，等等，是我们解析几何内容的一个重点，很多教材往往把它单独分成几块拿出来讨论，显得联系不紧密，学生学习时感到很困惑.特别是椭圆的第二定义，我们选用的教材没有作具体阐述，但为了给出圆锥曲线的统一定义，我们有必要做拓展.而高中教材是通过一个例子给出的，也感觉思路不蹈常规，当然这一切都是教材的简洁性决定的.我在这部分内容教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机串联起来，整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的发散，加强学生创新意识的培养.过程如下。

一、以问题为中心，注重过程教学

首先，设计如下情境，提出反常规的问题.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，焦点F 和F 的坐标分别是（-c，0），（c，0）（如图1）.由椭圆的定义可得：

+ =2a（1）

将这个方程移项，两边平方得

a -cx=a （2）

两边再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

问题1：为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？

对于这一问题的提出，学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程是顺理成章的，预先规定的，进而师生共同展开热烈讨论，然后教师总结.我总结大致有以下几点理由：

1.（3）式简捷，具有对称的美感.

2.（3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程.

3.根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点，（3）式方便研究椭圆的几何性质.

针对上述理由3，教师可以组织学生就如何利用（3）式从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论.这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等教材中要求的内容.若要进一步研究椭圆的曲线，就需要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例3便自然出来了.

二、以探究为热点，培养创新意识

由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然很自然了.

老师：上节课我们讨论了（3）式作为椭圆标准方程的诸多优点，自然我们会有：

问题2：将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？

对于这一问题学生感到有些困难，教师和学生一起比较圆的标准方程的优点后，发现（3）式无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性，相比之下（1）式恰好具有这一优点.于是师生一起可以讨论（1）式的优缺点，具体可得：

1.（1）式充分揭示了椭圆的定义.

2.（1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点，等等.

通过以上讨论，自然产生问题3：是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？自然将目光转向（2）式，将（2）式变形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

将（2）式再变形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式，充分体现了数学降维思想.而（7）式正好揭示了椭圆的第二定义，如图2所示.

如此处理教材，自然流畅，既能完成教学任务，又能充分揭示知识的发生过程，通过被人们所遗弃的（2）式，挖掘出如此宝贵的教学成果，这会让学生兴奋不已.在品尝创新果实的同时也培养了学生的创新能力.

三、以反思为主调，奏响创新旋律

务必指出，反思是创新的源泉.通过前二节课的探索，特别是第二课时获得一系列创新成果以后，教师更要引导学生养成良好的反思习惯，打破思维定势，争取更大的突破.

总结上二节课的讨论，我们发现对（1）式的每一次变形，都会取得一系列令人激动的科学成果，那么自然会问：

问题4：（1）式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？

此时，学生的思维已被激活，讨论积极，热情高涨，通过讨论可获得一系列成果如下。

成果一：将（1）两边平方，整理可得：

· +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了椭圆的又一本质属性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，椭圆上动点到两焦点的距离之积，和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数（如图3）.

成果二：将（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若将动点到中心的长度称为椭圆的半径，那么（9）式给出了椭圆半径的计算方法，它只和该点的横坐标有关，同样起到降维作用.

成果三：若将（1）式的两边乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式给出了椭圆的又一本质属性：即椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴（垂直于焦点所在直线）的距离之比是一个常数.

成果四：在△F MF 中（图1），设∠F MF =α，则由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

将（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系.

应该指出：本节课的创新讨论是无止境的，关键在于培养学生的创新意识，当然由于学生的程度不同，得到的成果也不同，无论如何，教师都应给予学生充分肯定.

从对（1）式做变形看，自然也可考虑将其他式子变形，如将（3）式变形成

= ，于是可得，椭圆上动点到两焦点A（-a，0），B（a，0）的连线的斜率之积等于常数.

参考文献：

[1]李佰春.数学教育学[M].合肥：安徽大学出版社，2004.

[2]顾沅.教学任务与案例分析.上城教育信息港.

[3]顾沅.追求卓越—教师专业发展案例研究[M].人民教育出版社.

[4]罗增儒.中学数学课例分析[M].陕西师范大学出版社.

[5]任志鸿主编.高中新教材数学优秀教案[M].南方出版社.endprint

摘 要： 椭圆的几何性质是解析几何中的重点内容，也是研究圆锥曲线的主体之一.本文从椭圆的基本定义推得的标准方程入手，推导分析了椭圆的各种几何性质的内在联系，从而实现学生对知识的系统把握和对知识的创新运用.

关键词： 椭圆 几何性质 创新教学

椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义，等等，是我们解析几何内容的一个重点，很多教材往往把它单独分成几块拿出来讨论，显得联系不紧密，学生学习时感到很困惑.特别是椭圆的第二定义，我们选用的教材没有作具体阐述，但为了给出圆锥曲线的统一定义，我们有必要做拓展.而高中教材是通过一个例子给出的，也感觉思路不蹈常规，当然这一切都是教材的简洁性决定的.我在这部分内容教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机串联起来，整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的发散，加强学生创新意识的培养.过程如下。

一、以问题为中心，注重过程教学

首先，设计如下情境，提出反常规的问题.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，焦点F 和F 的坐标分别是（-c，0），（c，0）（如图1）.由椭圆的定义可得：

+ =2a（1）

将这个方程移项，两边平方得

a -cx=a （2）

两边再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

问题1：为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？

对于这一问题的提出，学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程是顺理成章的，预先规定的，进而师生共同展开热烈讨论，然后教师总结.我总结大致有以下几点理由：

1.（3）式简捷，具有对称的美感.

2.（3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程.

3.根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点，（3）式方便研究椭圆的几何性质.

针对上述理由3，教师可以组织学生就如何利用（3）式从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论.这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等教材中要求的内容.若要进一步研究椭圆的曲线，就需要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例3便自然出来了.

二、以探究为热点，培养创新意识

由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然很自然了.

老师：上节课我们讨论了（3）式作为椭圆标准方程的诸多优点，自然我们会有：

问题2：将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？

对于这一问题学生感到有些困难，教师和学生一起比较圆的标准方程的优点后，发现（3）式无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性，相比之下（1）式恰好具有这一优点.于是师生一起可以讨论（1）式的优缺点，具体可得：

1.（1）式充分揭示了椭圆的定义.

2.（1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点，等等.

通过以上讨论，自然产生问题3：是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？自然将目光转向（2）式，将（2）式变形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

将（2）式再变形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式，充分体现了数学降维思想.而（7）式正好揭示了椭圆的第二定义，如图2所示.

如此处理教材，自然流畅，既能完成教学任务，又能充分揭示知识的发生过程，通过被人们所遗弃的（2）式，挖掘出如此宝贵的教学成果，这会让学生兴奋不已.在品尝创新果实的同时也培养了学生的创新能力.

三、以反思为主调，奏响创新旋律

务必指出，反思是创新的源泉.通过前二节课的探索，特别是第二课时获得一系列创新成果以后，教师更要引导学生养成良好的反思习惯，打破思维定势，争取更大的突破.

总结上二节课的讨论，我们发现对（1）式的每一次变形，都会取得一系列令人激动的科学成果，那么自然会问：

问题4：（1）式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？

此时，学生的思维已被激活，讨论积极，热情高涨，通过讨论可获得一系列成果如下。

成果一：将（1）两边平方，整理可得：

· +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了椭圆的又一本质属性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，椭圆上动点到两焦点的距离之积，和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数（如图3）.

成果二：将（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若将动点到中心的长度称为椭圆的半径，那么（9）式给出了椭圆半径的计算方法，它只和该点的横坐标有关，同样起到降维作用.

成果三：若将（1）式的两边乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式给出了椭圆的又一本质属性：即椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴（垂直于焦点所在直线）的距离之比是一个常数.

成果四：在△F MF 中（图1），设∠F MF =α，则由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

将（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系.

应该指出：本节课的创新讨论是无止境的，关键在于培养学生的创新意识，当然由于学生的程度不同，得到的成果也不同，无论如何，教师都应给予学生充分肯定.

从对（1）式做变形看，自然也可考虑将其他式子变形，如将（3）式变形成

= ，于是可得，椭圆上动点到两焦点A（-a，0），B（a，0）的连线的斜率之积等于常数.

参考文献：

[1]李佰春.数学教育学[M].合肥：安徽大学出版社，2004.

[2]顾沅.教学任务与案例分析.上城教育信息港.

[3]顾沅.追求卓越—教师专业发展案例研究[M].人民教育出版社.

[4]罗增儒.中学数学课例分析[M].陕西师范大学出版社.

[5]任志鸿主编.高中新教材数学优秀教案[M].南方出版社.endprint

摘 要： 椭圆的几何性质是解析几何中的重点内容，也是研究圆锥曲线的主体之一.本文从椭圆的基本定义推得的标准方程入手，推导分析了椭圆的各种几何性质的内在联系，从而实现学生对知识的系统把握和对知识的创新运用.

关键词： 椭圆 几何性质 创新教学

椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义，等等，是我们解析几何内容的一个重点，很多教材往往把它单独分成几块拿出来讨论，显得联系不紧密，学生学习时感到很困惑.特别是椭圆的第二定义，我们选用的教材没有作具体阐述，但为了给出圆锥曲线的统一定义，我们有必要做拓展.而高中教材是通过一个例子给出的，也感觉思路不蹈常规，当然这一切都是教材的简洁性决定的.我在这部分内容教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机串联起来，整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的发散，加强学生创新意识的培养.过程如下。

一、以问题为中心，注重过程教学

首先，设计如下情境，提出反常规的问题.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，焦点F 和F 的坐标分别是（-c，0），（c，0）（如图1）.由椭圆的定义可得：

+ =2a（1）

将这个方程移项，两边平方得

a -cx=a （2）

两边再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

问题1：为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？

对于这一问题的提出，学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程是顺理成章的，预先规定的，进而师生共同展开热烈讨论，然后教师总结.我总结大致有以下几点理由：

1.（3）式简捷，具有对称的美感.

2.（3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程.

3.根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点，（3）式方便研究椭圆的几何性质.

针对上述理由3，教师可以组织学生就如何利用（3）式从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论.这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等教材中要求的内容.若要进一步研究椭圆的曲线，就需要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例3便自然出来了.

二、以探究为热点，培养创新意识

由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然很自然了.

老师：上节课我们讨论了（3）式作为椭圆标准方程的诸多优点，自然我们会有：

问题2：将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？

对于这一问题学生感到有些困难，教师和学生一起比较圆的标准方程的优点后，发现（3）式无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性，相比之下（1）式恰好具有这一优点.于是师生一起可以讨论（1）式的优缺点，具体可得：

1.（1）式充分揭示了椭圆的定义.

2.（1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点，等等.

通过以上讨论，自然产生问题3：是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？自然将目光转向（2）式，将（2）式变形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

将（2）式再变形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式，充分体现了数学降维思想.而（7）式正好揭示了椭圆的第二定义，如图2所示.

如此处理教材，自然流畅，既能完成教学任务，又能充分揭示知识的发生过程，通过被人们所遗弃的（2）式，挖掘出如此宝贵的教学成果，这会让学生兴奋不已.在品尝创新果实的同时也培养了学生的创新能力.

三、以反思为主调，奏响创新旋律

务必指出，反思是创新的源泉.通过前二节课的探索，特别是第二课时获得一系列创新成果以后，教师更要引导学生养成良好的反思习惯，打破思维定势，争取更大的突破.

总结上二节课的讨论，我们发现对（1）式的每一次变形，都会取得一系列令人激动的科学成果，那么自然会问：

问题4：（1）式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？

此时，学生的思维已被激活，讨论积极，热情高涨，通过讨论可获得一系列成果如下。

成果一：将（1）两边平方，整理可得：

· +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了椭圆的又一本质属性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，椭圆上动点到两焦点的距离之积，和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数（如图3）.

成果二：将（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若将动点到中心的长度称为椭圆的半径，那么（9）式给出了椭圆半径的计算方法，它只和该点的横坐标有关，同样起到降维作用.

成果三：若将（1）式的两边乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式给出了椭圆的又一本质属性：即椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴（垂直于焦点所在直线）的距离之比是一个常数.

成果四：在△F MF 中（图1），设∠F MF =α，则由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

将（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系.

应该指出：本节课的创新讨论是无止境的，关键在于培养学生的创新意识，当然由于学生的程度不同，得到的成果也不同，无论如何，教师都应给予学生充分肯定.

从对（1）式做变形看，自然也可考虑将其他式子变形，如将（3）式变形成

= ，于是可得，椭圆上动点到两焦点A（-a，0），B（a，0）的连线的斜率之积等于常数.

参考文献：

[1]李佰春.数学教育学[M].合肥：安徽大学出版社，2004.

[2]顾沅.教学任务与案例分析.上城教育信息港.

[3]顾沅.追求卓越—教师专业发展案例研究[M].人民教育出版社.

[4]罗增儒.中学数学课例分析[M].陕西师范大学出版社.

[5]任志鸿主编.高中新教材数学优秀教案[M].南方出版社.endprint