底点纬度的一种便捷算法

2014-08-16李泽球

测绘通报 2014年3期

李泽球

(武汉电力职业技术学院，湖北武汉 430079)

一、引言

高斯投影正反算中需要计算子午线弧长和底点纬度，其计算公式对于不同的参考椭球稍有差别，但都比较复杂。相对而言，子午线弧长计算比较容易，是推导精度很高的实用公式；而底点纬度计算公式的推导则困难得多。不少学者曾花费了大量精力，采用不同方法，推导了多种底点纬度的计算公式。到目前为止，这些公式大多需要编程计算，过程复杂，操作麻烦。因此，底点纬度计算成为高斯投影计算中的一大难点。本文介绍应用单变量求解计算底点纬度的方法，其不需要底点纬度计算公式，更不需要编写计算程序，而是直接用子午线长度公式计算，精度高，速度快，操作简单，非常方便。

二、应用单变量求解计算底点纬度

单变量求解是Excel中“工具”下拉菜单中的一个功能项。单变量求解的实质是解一个未知数的方程：对于一个确定的函数式y=f(x)，已知y，求x的值。

在某一单元格中输入公式f(x)；点击“工具”下拉菜单中的“单变量求解”，在弹出的对话框中，输入目标单元格、目标值和可变单元格，点击“确定”；弹出“确认”对话框，再点击“确定”，确认计算结果；在目标单元格中显示目标值，在可变单元格中显示解算结果。目标单元格就是存放函数公式的单元格，目标值就是函数值y，可变单元格就是存放自变量x的单元格；输入y值，反求x值。

在高斯投影正反算中，子午线弧长计算和底点纬度计算互为逆运算。因此，应用单变量求解这一功能，借助于子午线弧长计算公式，就能快速计算出底点纬度。1975国际椭球子午线长度X计算公式为

X=6 367 452.132 73B-16 038.528 2sin 2B+

16.832 6sin 4B-0.022 0sin 6B

(1)

式中，B为纬度，以弧度为单位。其根据被积函数展开级数逐项积分求得，并舍去对计算结果无明显影响的高次项，与文献[1]中的公式基本相同，只是系数多取了1位，更精确。对于式(1)，如果已知X，反求B，就是反算底点纬度，即单变量求解。下面以实例说明应用单变量求解计算底点纬度的方法。

三、计算实例

已知高斯平面坐标x=3 275 611.188，试计算底点纬度Bf。

打开一张Excel工作表，选择B1为目标单元格，B2为可变单元格。在单元格B1中输入：“=6 367 452.132 73*B2-16 038.528 2*SIN(2*B2)+16.832 6*SIN(4*B2)-0.022*SIN(6*B2)”，并确认。此时，单元格B1显示0，因为B2单元格无数据。

点击“工具”下拉菜单中的“单变量求解”，在弹出的对话框中，目标单元格栏输入B1、目标值栏输入3 275 611.188，可变单元格栏输入B2，点击“确定”，瞬间完成计算；并弹出确认对话框，再点击“确定”，确认计算结果。此时目标单元格B1中显示目标值3 275 611.188，可变单元格B2中显示解算结果0.516 591 619 52，如图1所示。B2中显示的就是反算的底点纬度(以弧度为单位)，设定B2显示11位小数(相当于百万分之一秒的精度)，但实际上算到了15位小数，其精度足以满足任何高精度的需要。

在B3单元格中输入一个将弧度值换算成度分秒角度的计算公式，得到以度分秒为单位的底点纬度29°35′54.″670 3。图1中B3单元格中显示格式为：小数点代表度，小数点后两位为分位，小数点后三、四位为秒位，再后面是秒的小数位。