高等数学选择题设计的探析

王志芳

(常州工学院理学院，江苏常州213002)

高等数学选择题设计的探析

王志芳

(常州工学院理学院，江苏常州213002)

选择题是高等数学考试中的常见题型之一，但选择题的设计要求很多，文章就单项选择题命题的正确性，结合实例从选择题必须是可解的、符合题意的答案只能是唯一的、表述要准确等方面进行了初步探讨。

高等数学；选择题；设计；正确性

G424.79

B

选择题是一种比较特殊的试题形式，特殊之处在于它由题干和备选答案组成。在备选答案部分，列举供选择的多个(一般为4个)答案，要求学生通过观察、分析和必要的计算或推理等，从中找出符合题意的答案。一般认为，采用选择题，可以使考题题量更多，知识的涉及面更广，而评分却比较简单、客观(可借助于计算机)，便于分析错误，有利于检测学生对知识的掌握情况，因而目前广泛应用于高等数学的各种考试中，成为3类主打题型之一，但选择题的设计有多方面要求，如必须保证命题是正确的，要有一定的综合性，难易程度要恰当，学生可以从不同的角度去解答等等。本文就单项选择题的设计必须要保证命题的正确性这一要求，结合具体实例进行了探讨。

单项选择题的设计必须保证命题的正确性，这种正确性主要体现在它的可解性、唯一性和准确性。

1 单项选择题的可解性

单项选择题的设计必须保证是可解的，这里的可解主要是指在提供的每组备选答案中，有且只能有一个是符合题意的答案。

这是计算平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积问题，显然备选答案A、B都是错误的。一般教师在讲解曲边梯形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积公式之后，都会补充本题中平面图形D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积计算公式，但往往所给出的示范图形仅是D在第一象限时的情况，即默认了0≤f1(x)≤y≤f2(x)，此时生成的旋转体的体积是备选答案中的C，原试题提供的正确答案也是备选答案C，有些高等数学辅导与复习参考书中给出的也是这个结论，如文献[1]。

事实上，备选答案C并不正确，它忽视了其他情况，如f1(x)≤y≤f2(x)≤0时，D绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为备选答案中的D，因此本题中4个备选答案均为错误的，故本题因无解而不能成立。

例2[2]二阶微分方程y″+y′=x2具有的特解形式为________。

A.y=ax2

B.y=ax2+bx+c

C.y=x(ax2+bx+c)+d

D.y=x2(ax2+bx+c)

这是求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解问题。 f(x)是Pm(x)eλx型，其中Pm(x)=x2，λ=0。与所给方程对应的齐次方程的特征方程为r2+r=0，有2个特征根，r1=-1，r2=0。由于λ=0是特征方程的单根，所以应设特解为y*=x(ax2+bx+c)的形式。[3]对照例2提供的4个备选答案，严格地讲，4个答案均是错误的，所以本题也因无解不能成立。

该题提供的正确答案为C，其理由或许是认为将y=x(ax2+bx+c)+d代入原方程能够求出待定系数a，b，c，备选答案C就是该方程的特解形式，但它忽略了这时d可以为任意常数，特解中是不能含有任意常数的，所以本题中把备选答案C作为特解形式是不妥当的，容易造成学生对二阶常系数非齐次线性微分方程求解方法上的困惑。

2 单项选择题答案的唯一性

目前高等数学的各种考试，在单项选择题的题首，一般都会说明在每组备选答案中，只有一个答案是符合题意的，也即不允许有多个符合题意的答案并存。

例3[4]若F′(x)=G′(x)，则下列等式必成立的是________。

A.F(x)=G(x)

B.F(x)=G(x)+C

D.∫dF(x)=∫dG(x)

显然，由F′(x)=G′(x)易得F(x)=G(x)+C和∫dF(x)=∫dG(x)结论均成立，即备选答案B和C都是正确的，本题有2个正确答案。

例4[5]函数f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的________。

A.充要条件 B.充分条件

C.必要条件 D.无关条件

由一元函数可导与可微的关系可知，若函数f(x)在点x0可导，必有f(x)在点x0可微，反之亦然，因此，备选答案中A、B、C都是正确的，本题出现了3个正确答案。

例3、例4在备选答案中分别有2个和3个符合题意的答案，这与题前的说明是不相符合的，也不符合单项选择题答案的唯一性，因此命题不成立。

3 单项选择题表述的准确性

单项选择题的解答就是判定命题的正确与否，这就要求在设计单项选择题时必须做到语言正确、符号规范、逻辑严密等，特别是涉及一些概念、性质等结论的限制语，如“一定”、“不一定”，“必有”、“可能”、“至少”、“唯一”等表述要非常恰当，不能引起歧义，影响考生答题。

A.若xn发散，则yn必发散

B.若xn无界，则yn必有界

C.若xn有界，则yn必为无穷小

本题涉及数列的收敛、发散、有界、无穷小等概念，题目中用数列的通项xn与yn表示数列{xn}与{yn}，虽然不会影响学生对题干和备选答案的理解，但这种表述是有瑕疵的。

例6[6]z=f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又(x0,y0)是驻点，令fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件为________。

A.B2-AC>0 B.B2-AC=0

C.B2-AC<0 D.A,B,C无任何关系

本题主要考查学生对二元函数取得极值的充分条件的掌握情况，题目要求选出“f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件”，但没有明确这一条件究竟是“充分条件”还是“必要条件”，显然是用生活语言代替了数学语言，容易引起歧义。一般可将f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件改为“f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的充分条件”较为恰当。

此外，在设计某些与不等式、充要条件等有关的选择题时，必须注意分组方法的科学性，提供的备选答案之间应该是互不相容的，以确保在逻辑上没有漏洞。

例7[5]设f(0)=g(0)，且当x>0时，有f′(x)>g′(x)，则有________。

A.f(x)g(x)

C.f(x)≤g(x) D.f(x)≥g(x)

从逻辑上讲，若备选答案A成立，则必有备选答案C成立，同理，若备选答案B成立，也必有备选答案D成立，因而在“只有1个正确答案”的

前提条件下，备选答案A、B都不能成立，从单项选择题解法研究的角度看，学生会利用排除法在备选答案C、D中选择正确答案。事实上，本题中备选答案B、D都是正确答案，这就出现了有2个正确答案的情形。当然备选答案B应该是更佳的答案，也是原题提供的正确答案，显然本题的备选答案容易对学生造成思想上的混乱。究其原因，主要是在各个备选答案之间没有做到互不相容。

例4也是由于分组不科学，备选答案之间没有做到互不相容，因而出现了3个正确答案，一般应将备选答案B和C分别修改为“充分而非必要条件”“必要而非充分条件”较为合理。

4 结语

单项选择题是各种高等数学考试中的常见题型之一，因此，保证单项选择题设计的正确性就显得尤为重要。为避免单项选择题设计中出现的一些常见错误，编制者应以严谨的教学态度对待，认真仔细地推敲每一题，设计单项选择题时应确保单项选择题设计的正确性。错误的命题，不仅不能反映学生对知识掌握的真实情况，还会造成学生思想上的混乱，必须引以为戒。

[1]李群高.高等数学辅导与练习[M].北京：机械工业出版社，2007:116.

[2]陈仲.高等数学竞赛题解析教程[M].南京：东南大学出版社，2012:342.

[3]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].6版.北京：高等教育出版社，2011:342.

[4]刘坤，沈京一，许定亮.高等数学(上册)[M].北京：高等教育出版社，2013:130.

[5]全国高等教育自学考试命题研究组.高等数学(一)命题指导及模拟试题[M].北京：中国大地出版社，2002:50，75.

[6]刘坤，沈京一，许定亮.高等数学(下册)[M].北京：高等教育出版社，2013:67.

责任编辑：张秀兰

TheAnalysisoftheDesignofMultipleChoiceQuestionsinHigherMathematics

WANGZhifang

(School of Science，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213002)

Multiple choice is one of the common question types in the various higher mathematics tests.However,there are a lot of requirements on the design of multiple choice questions.This article discusses the necessity of ensuring the correctness of the propositions of the multiple choice.It discusses this issue in the following three aspects: The multiple choice should be solvable;the answer which meets the demand of the question is just the only one;and the expression of questions should be accurate.

higher mathematics；multiple choice；design；correctness

2014- 05-15

王志芳(1965— ),男，副教授。

1671- 0436(2014)03- 0052- 03