SR－伪投射模①

李伟鹏

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳 745000)

0 引言

近年来，许多学者对投射模做了很多推广，见文献[1～5]，本文引入了SR－伪投射模，进一步丰富了投射模的内容.

本文所讨论的环都是有单位元1的结合环，模都是酉模.

1 基本概念

定义1: 称左R－模M是SR－伪投射模，是指:对任意左R－模A，且M是半自反模，对任意满同态f:M→A→0和g:M→A→0，存在一个同态h:M→M，使得f=gh.

显然SR－伪投射模是SR－投射模[1]，反之，不一定.

2 主要结论

定理1 设M是左R－模，则以下等价:

1)M是SR－伪投射模;

2)对任意左R－模A，任意满同态g:B→A→0(其中半自反模B是半自反模M的任一满同态像)和f:M→A→0，存在一个同态h:M→B使得f=gh.

证明 1)⇒2)显然

2)⇒1)任取满同态f:M→A→0和g:B→A→0，因为半自反模B是半自反模M的满同态像，所以存在满同态m:M→B→0，则gm:M→A→0是满同态，由1)知，存在t:M→M，使得f=gmt，取h=mt:M →B，则 gh=gmt=f，故2)成立.

性质1 设左R－模M是SR－伪投射模，左R－模A是半自反模，则对任意满同态f:M→A→0和g:A→A→0，存在一个同态h:M→A，使得f=gh.

证明 由于f:M→A→0为满同态，则A是M的一个满同态像.

由定理1知，存在一个同态h:M→A→0，使得f=gh.

性质2 设左R－模M是SR－伪投射模，左R－模N是半自反模，则对任意满同态fN→M→0(其中N是M的一个满同态像)，则f是可裂的.

证明 由于左R－模M是SR－伪投射模，则由定理1知，对于fN→M→0和IM:M→M→0，存在g:M→N→0，使得fg=IM，因此f是可裂的.

定理2 设(Uα)A是一些左R－模的加标集合，若⊕Uα是SR－伪投射模，则对任意的α∈A，Uα是SR－伪投射模.

证明: 对任意的满同态g:Uα→A→0和f:Uα→A→0，设πα:⊕Uα→Uα→0为投影满射，又⊕AUα是SR－伪投射模，

由定理1知，对g:Uα→A→0和fπα:⊕Uα→A →0，存在 t:⊕AUα→ Uα，使得 fπα=gt，取 h=tIα:Uα→Uα，则gh=gh′lα=fπαlα=f，故Uα是SR－伪投射模.

[1]牟欣.SR－投射模与SR－内射模[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2008，1:63－64.

[2]Du Xian－ neng，Zhao Chun－ e.Pseudo－ Injectine Modules and Principally Pseudo－Injectine Modules[J].数学研究与评论，2007，27(2):223－228.

[3]欧阳伦群.M－投射模与M－投射维数[J].内蒙古师范大学学报，2007，3:259－261.

[4]佟文廷.同调代数引论[M].北京:高等教育出版社，1998.

[5]欧阳伦群.SR－投射模与内射模之间的关系[J].百城师范学院学报，2007，21(3):8－10.