Banach空间中H-η-单调算子的变分包含混合逼近点算法

王娴，佟慧

(河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002)

1 预备知识

变分包含是经典变分不等式的一个重要推广，在许多领域(例如:物理学、最优控制、非线性规划、经济与工程学)中都有着广泛的应用．因此，近年来，变分问题被诸多学者研究．

Verma发展了Eckstein-Bertsekas的关于A-极大单调算子[1]和(A,η)-极大单调算子[2]的混合逼近点算法．这些结论推广了单值的极大单调算子，包含了文献[3]中在Hilbert空间中关于H-极大单调算子的结论．目前，关于(A,η)-极大单调算子的广义预解算法也已被介绍和研究．本文中，将文献[4]结果推广到了Banach空间，它和其他在Hilbert空间中讨论的结果不同，这样所得到的关于变分包含的结论就可以应用到Lp，Wm,p(Ω)空间中去．

设X是实的Banach空间，X*是其对偶空间，‖·‖表示X上的范数，〈·,·〉表示X和X*之间的配对，2X表示X的一切非空子集族．

广义对偶映射Jq(x):X→2X定义为

Jq(x)={f*∈X*:〈x,f*〉=‖x‖p,‖f*‖=‖x‖q-1}，q>1．

特别地，J2为正规对偶映射．众所周知，Jq=‖x‖q-2J2，∀x∈X．若X*为严格凸的，则Jq(x)为单值的．

引理1[5]设X为一致光滑的实Banach空间，则X为q-一致光滑的当且仅当存在常数cq>0使得

‖x+y‖q≤‖x‖q+q〈y,Jq(x)〉+cq‖y‖q,∀x，y∈X．

(1)

定义1[6]设M：X→2X*为多值算子，H:X→X*，η:X×X→X为单值算子，

1)称X为单调的，如果〈x-y,u-v〉≥0，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

2)称M为η-单调的，如果〈x-y,η(u,v)〉≥0，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

3)称M为η-强单调的，如果存在某个常数r>0使得〈x-y,η(u,v)〉≥r‖u-v‖2，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

4)称M为m-松弛-η-单调的，如果存在某个常数m>0使得〈x-y,η(u,v)〉≥-m‖u-v‖2，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

5)称M为H-单调的，若M是单调的且对任何λ>0,(H+λM)X=X*．

6)称M为(H,η)-单调的，若M是η-单调的且对任何λ>0，(H+λM)X=X*．

7)称M为H-η-单调的，若M为m-松弛-η-单调的且对任何λ>0，(H+λM)X=X*．(在文献[4]和[11]中H-η-单调算子被称为(H,η)单调算子)．

注1 在文献[7]中首先介绍了η-单调算子，H-单调算子和(H,η)-单调算子，[8]中又介绍了H-η-单调算子．显然，H-η-单调算子是(H,η)-单调算子的推广．

定义3[9-10]称算子T:X→X*关于H∘g为强增生的，如果存在某常数λ>0使得

(2)

2 主要结论

在定理1的基础上来讨论下面变分包含问题

f∈F(x,U(x))+M(g(x))

(3)

的解的迭代算法．其中x∈X,f,h∈X*,F:X×X→X*,g:X→X,U:X→X为3个单值算子，M:X→2X*为一个多值算子，关于它的非线性变分包含问题已在文献[11]中考虑．显然问题(3)包含了很多变分包含问题，见文献[10]．

(4)

其中ρ>0为常数．

证明：由定理1直接得到．

定理2 设X*为q-一致光滑的Banach空间，η:X×X→X为τ-Lipschitz连续算子,g:X→X为γ-强增生且t-Lipschitz连续的．H:X→X*为(r,η)-强单调且s-Lipschitz连续算子，U:X→X为ξ-Lipschitz连续算子．设M:X→2X*为H-η-单调多值算子．设F:X×X→X*为一个算子，使得对任意(x,u)∈X×X，F(·，u)关于H∘g为强增生且σ-υ-Lipschitz连续的，F(x,·)为μ-Lipschitz连续的．对任意的给定的初值x0，构造如下序列{xk}：

xk+1=(1-αk)xk+αkyk,∀k>0，

(5)

yk满足

(6)

(7)

证明：由于g为γ-强增生的，故有

‖g(u)-g(v)‖‖u-v‖q-1=‖g(u)-g(v)‖‖Jq(u-v)‖q-1≥

〈g(u)-g(v),Jq(u-v)〉≥γ‖u-v‖q，

由上面的式子可知，g-1为单值算子且有

因此算法(5)，(6)有意义．

由假设和(2)得到

‖Hg(xk)-Hg(x*)-ρk[F(xk,U(xk))-F(x*,U(xk))]‖q≤

(8)

[1-αk(1-θk)]‖xk-x*‖=dk‖xk-x*‖，

由xk+1=(1-αk)xk+αkyk，有xk+1-xk=αk(yk-xk)，于是

故有

‖xk+1-x*‖≤‖zk+1-x*‖+‖xk+1-zk+1‖≤‖zk+1-x*‖+αkδk‖yk-xk‖≤

‖zk+1-x*‖+δk‖xk+1-xk‖≤

‖zk+1-x*‖+δk‖xk+1-x*‖+δk‖xk-x*‖，

(9)

注2 条件(7)的证明可见文献[10]．

参 考 文 献:

[1] VERMA R U. A-monotonicity and its role in nonlinear variational inclusions[J]. Optimization Theory and Applications, 2006,129(3) :457-467．

[2] VERMA R U. Sensitivity analysis for generalized strongly monotone variational inclusions based on the (A,η)-resolvent operator technique[J]. Applied Mathematics Letters, 2006，19： 1409-1413．

[3] FANG Yaping, HUANG Nanjing. H-monotone operators and system of variational inclusions[J]. Communications on Applications and Nonlinear Analysis, 2004,11(1):93-101．

[4] VERMA R U. A hybrid proximal point algorithm based on the (A,η)- maximal monotonicity framework[J]. Applied Mathematics Letters, 2008,21:142-147．

[5] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications[J]. Nonlinear Analysis, 1991,16(12):1127-1138．

[6] FANG Yaping, HUANG Nanjing. A new system of variational inclusions with monotone operators in Hilbert spaces[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2005,49:365-374．

[7] HUANG Nanjing,FANG Yaping. Fixed point theorems and a new system of multivalued generalized order complementarity problems[J]. Applied Mathematics Letters, 2003,7:257-265．

[8] ZHANG Qingbang. Generalized implicit variational-like inclusion problems involvingG-η- monotone mappings[J]. Applied Mathematics Letters, 2007,20:216-221．

[9] FANG Yaping, HUANG Nanjing.H-Accretive operators and resolvent operator technique for solving variational inclusions in Banach spaces[J]. Applied Mathematics Letters, 2004,17:647-653．

[10] HOU Jian , HE Xinfeng, HE Zhen. Iterative methods for solving a system of variational inclusions involvingH-η-monotone operators in Banach spaces[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2008,55:1832-1841．

[11] VERMA R U. Approximation solvability of a class of nonlinear set-valued variational inclusions involving (A,η)-monotone mappings[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008,337: 969-975．