注重逆向思维在数学活动中的培养及应用

杨孝贻

（福建省三明市尤溪县第五中学 三明市 365000）

顾名思义，逆向思维就是指改变常规、反其道而行之的思维，是从问题的相反方向入手的一种思维模式.在数学活动过程中，人们往往只局限于按照熟悉的、常规的思路去思考问题，然而有些问题仅凭这种思维是不易得到正确结果的，甚至无从入手.而逆向思维会让你在解决问题的多种方案中获得最佳的方法和途径，得到意想不到的、事半功倍的效果.下面就逆向思维在数学教学过程中的培养及在数学学习过程中的应用加以简述.

一、在数学教学过程中注重逆向思维的培养

作为思维的一种形式，逆向思维是人们在学习和生活过程中必备的一种思维品质。在数学教学过程中，注重对学生逆向思维能力的培养，不仅能够开拓学生的解题思路，还有助于激发学生的创新精神，提高学生分析问题和解决问题的能力.下面就以下两个方面加以简述.

1．在数学教学过程中激发学生逆向思维的兴趣

兴趣是最好的老师，在数学教学过程中，教师应当有意识地激发学生逆向思维的兴趣，提高学生逆向思维的主动性和积极性.比如通过对现实生活中的典例或某些趣味问题的展示，就能很好地激发学生逆向思维的兴趣.

例如“司马光砸缸”是一个众所皆知的历史小故事，有人落水，人们常规的思维方式是“救人离水”，而幼小的司马光无法按照传统的方法做到这一

点.面对险情，他果断地用石头把缸砸破，做到“让水离人”，从而救活了小伙伴.他的成功，就在于他有反常规的思维方式逆向思维.通过这个历史小故事，让学生感悟到“救人离水”与“让水离人”是正反两种不同的思维方式，体会逆向思维的妙用，从而激发学生对逆向思维的兴趣.

2．在数学教学过程中培养学生逆向思维的习惯

人们对事物的兴趣往往会随着时间和环境的改变而发生变化，学生更是如此.教师用个别典例或某些趣味问题来激发学生逆向思维的兴趣，短时间内也许能使学生在思考问题时，采用逆向思维的方式对所给的问题进行逆向分析，但要想让学生形成长期的逆向思维意识，却非一蹴而就.因此，在数学教学过程中，教师应充分采用逆向分析，将逆向思维的思想有意识地加以渗透和突出，并贯穿到每一堂课中，从中增强学生逆向思维的意识，养成良好的逆向思维习惯.

二、在数学学习过程中注重逆向思维的应用

数学的概念、定理和性质的理解；数学的公式、法则的应用；数学命题的解答等等，这些都是培养学生思维能力的重要手段，教师在教学过程中应高度重视对学生逆向分析能力的训练，把逆向思维意识融入到整个课堂教学过程之中，从而找到解决问题的捷径，提高学生分析问题、解决问题的能力.下面就以下三个方面加以简述.

1．用逆向思维来加深对数学概念、定理和性质的理解

数学的概念、定理和性质是数学推理论证和运算的基础，我们在平时教与学的过程中，往往只拘限于从左到右的运用，这就形成了正向思维定势，对于逆用公式、法则和性质很不习惯.因此在数学教学过程中，除了让学生理解其本身的含义及常规应用外，还要善于启发学生反过来思考，从而加深对数学概念、定理和性质的理解.

例如在事件相互独立的概念中，“若两事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件与事件相互独立”.这一结论为判断事件的相互独立性提供了有力的依据，但已知两事件A、B相互独立，能否利用P（AB）=P（A）P（B）来计算两相互独立事件同时发生的概率呢？这就要对概念进行反思得出结论：“两事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B）”是“事件A与事件B相互独立”的充要条件.

又如化简代数式（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）2+5（x-1）+1，我们惯用的思路是利用二项式定理逐个展开计算，这种传统的解题方法不但繁杂而且会浪费大量的时间，如果能仔细观察式子的结构特点，逆用二项式定理，就会发现这个代数式[（x-1）+1]5实际上是的二项展开式，那么化简的结果就呼之欲出了.还有立体几何中，许多判定定理与性质定理是互逆的，这就要让学生开启逆向思维的大门，探讨其逆命题是否成立了.由此可见，逆向思维有助于学生加深对数学概念、定理和性质的理解.

2．用逆向思维来提高数学公式、法则的应用能力

数学的公式、法则往往都有双向性，从左到右及从右到左的转换正是由正向思维演化到逆向思维的能力体现.加强逆向应用公式、法则的训练，可以提高学生的逆向思维能力和发散思维能力，开阔思维空间，大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣.

例如求三角函数式的值的问题，学生惯用的思路是“切化弦→变形→求值”，但这种传统的解题方法是个繁琐的过程，要想迅速、准确地得到运算结果，就需认真观察式子的结构特点，运用逆向思维的思想，逆用三角公式就很容易得到所求的值了.又如计算对数式lg2+lg5，若按常规的正向思维方式，不用计算器就难以入手了，如果运用两数积的对数运算法则的逆推式，就很容易得到所求的值为1.由此可见，逆向思维有助于学生迅速准确解答问题，提高公式、法则的应用能力.

3．用逆向思维来拓展解决数学问题的思路

在数学解题过程中，人们通常是从给定的已知条件去探索所求的结论，然而有些数学命题,若总是按照这种思维定势去解决，常常伴随着较大的运算量和复杂的解题步骤.此时，作为思维方式之一的逆向思维就凸显了它的优越性.

例1.将函数y=lnx的图像绕平面直角坐标系的原点O按逆时针方向旋转角θ后第一次与y轴相切，则角满足θ的条件是（）

A.esinθ=cosθ B.sinθ=ecosθ C.esinθ=1 D.cosθ=1

解析：首先要将函数y=lnx的图像绕原点O按逆时针方向旋转角θ，作出它第一次与y轴相切时的图像，这就存在着作图较难的问题.若采用逆向思维，将原题设反向考虑成“函数y=lnx的图像保持不动，将y轴绕着原点O按顺时针方向旋转θ角（x.y轴保持垂直）后第一次与函数y=lnx的图像相切”，那么作图就相对容易，后续的解答也就顺理成章了.

例2.德国数学家洛萨·科拉茨在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果它是奇数，则将它乘3加1即（3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1． 对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n的所有可能的取值为_______.

解析：用常规的顺向思维方式来确定n的所有可能取值，较易想到的思路是把正整数n（n=1、2、3、...）按从小到大的顺序逐个加以验证，从而找出满足条件的n的所有可能取值，由于验证的次数较多，这种方法绝非上策.若用逆向思维来考虑这个问题，从第八项为1，按照上述规则的逆运算进行验证，则n的所有可能取值就相对容易得到了,n的所有可能取值为2、3、16、20、21、128.从答案中可以看出，n的值要按从小到大的顺序逐个验证到128才终止.可要做到这一点，却又谈何容易.

总之，在数学教与学的过程中，注重逆向思维能力的培养和应用，有助于学生对数学概念、定理和性质的理解，提高数学公式、法则的应用能力，拓展解决数学问题的思路；更有助于学生形成良好的思维习惯，具备良好的思维品质，从而提高学生的学习兴趣与学习效果，激发学生的创新开拓精神，提升学生的思维能力和整体素质.