高职院校数学建模项目教学法研究

潘 敏，刘志林

潘敏/泰州职业技术学院基础部讲师，硕士（江苏泰州225300）。

数学建模的教学尝试，始于20世纪70年代末，其教学理念是将数学与工程技术、管理科学、计算机科学紧密联系在一起，培养学生运用数学思维和方法解决实际问题的能力。数学建模课程的开设改变了传统的知识灌输型数学教育方式，为数学走向应用打开了一条通道，让学生在探索与实践中学习与应用数学，从而提高学生学习的兴趣，有利于培养学生综合运用数学和其他学科的知识以及计算机技术。通过数学建模分析、解决实际问题的能力，有利于增强学生关心国家建设和社会发展的意识和理论联系实际的学风，有利于提高面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行科学研究的能力，有利于掌握查阅文献、收集资料、调查研究的方法及提高撰写科技论文的文字表达能力，有利于增强团结合作精神和提高协调组织能力，有利于培育诚信意识和自律精神[1]。

目前，常用于数学建模的教学方法主要有：启发式教学法、案例教学法、实验教学法和项目教学法。启发式教学法变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式，以启发学生的思维为核心，调动学生的学习主动性和积极性。案例教学法，以案例为载体，以学生积极参与为特征，强调师生对案例共同进行讨论。实验教学法，体现数学实验过程，结合计算机技术和数学软件，让学生在探究过程中学习和应用数学。项目教学法（Project-based Learning）则是在老师的指导下，将一个相对独立的项目交由学生自己处理，信息的收集、方案的设计、项目实施及最终评价，大多都由学生自己负责。学生通过该项目的进行，了解并把握整个过程及每一个环节中的基本要求，是一种“以项目为主线、教师为引导、学生为主体”的教学模式。本文主要讨论项目教学法在高职数学建模教学中的意义、实施对象和评价体系，并给出具体实施案例。

一、高职数学建模项目教学的意义

（一）充分体现学生的主体性

项目教学法主张先练后讲，先学后教，强调学生的自主学习，主动参与，从尝试入手，从练习开始，调动学生学习的主动性、创造性、积极性等。学生唱“主角”，而老师转为“配角”，实现了教师角色的换位，有利于加强对学生自学能力、创新能力的培养。

（二）缩短课时，让学生能迅速掌握知识

高职院校高等数学课时普遍较本科院校少。项目教学法不仅解决了课时少的难题，更提高了学生的学习兴趣与效率，让学生在完成项目的过程中积极、主动、轻松地掌握知识。当然，课时的减少，并不代表教师的工作量减少。任务的选取、布置、指导和评价都对教师提出了更高的要求。

（三）拓展学生的知识面，掌握数学建模方法

因为项目任务往往是跨学科、跨专业的。学生在项目的完成过程中自然拓宽了知识面，当然更主要的是掌握了数学建模的方法，这种方法正是教师“授之以渔”中的“渔”。

（四）在实践中培养综合职业能力

由于从项目的计划、实施、完成及评价均由学生自主完成，对学生的综合能力培养提出了更高的要求。学生在项目的完成中要真正地走入社会，学会收集资料，学会调研，学会与人沟通，学会团结与分工合作，在实践中锻炼自己。

二、高职数学建模项目教学的实施对象

由于数学建模教学面对的是全院学生。学生的水平参差不齐。本着因材施教的教学基本原则，大部分学院数学建模的教学均采取分层教学模式，一般分为基础普及层、能力提高层和优秀拔尖层。

针对基础普及层的学生，一般教师会通过启发式教学法和案例教学法，在高等数学课堂教学中融入简单数学建模案例，让学生初步体会数学建模的思想。如在函数最值应用中可引入易拉罐形状的最优化设计问题、绿地喷浇设施的节水设想和竞争性产品生产中的利润最大化等模型；在常微分方程中引入人口问题、刑事侦查中死亡时间的鉴定和名画伪造案的侦破问题等模型；在线性代数中引入矩阵密码、投入产出等模型；在概率统计中引入考试成绩的标准分、保险问题、风险分析等模型，使学生从各类建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生对数学建模的兴趣。

针对能力提高层和优秀拔尖层的学生一般采用实验教学法与项目教学法，可通过开设选修课《数学建模与数学实验》和数学建模培训班的形式进行。另外，针对这类学生，一般院校还会积极组织他们参加各类数学建模竞赛，申报省大学生科研项目等。事实证明，经历过数学建模锤炼后的学生，自主学习、科研能力、实践能力、自信心等都明显增强，而且大部分同学都会进入本科院校继续学习深造。

三、高职数学建模项目教学的实施过程

（一）项目选取

首先，教师根据课程特点和学生认知水平，设计相应的项目任务并下达给学生。项目可分为初等模型、微分方程模型、预测类模型、图论模型、规划类模型、评价类模型、概率类模型和多元统计分析这八类，每一类设计不同专业领域的项目。学生可根据自身专业和兴趣选择不同的任务，也可根据实际自选任务。项目任务的设计要具有示范性、覆盖性、实用性、综合性和可行性。

（二）项目分析

为使项目活动顺利开展，教师可将与任务相关的数学概念或内容呈现出来，供学生参考。指导学生将任务细化，明确任务目标。对于一些较复杂的项目，可以指导学生将其阶段化，分为若干子项目加以完成。

（三）制定计划

学生根据任务目标，制定实施计划，具体到时间与人员分工，在制定计划时可兼顾学生自身特点，如计算机专业的学生可以以程序的编写和运行为主。

（四）自主学习

知识的理解和运用、软件的学习和使用、算法的编写与运行等，这些具体细节都需要学生自主地去学习和探究。

（五）完成任务

根据实施计划，分阶段、分步骤、分工合作完成数据的收集与整理、模型的建立与求解以及论文的写作。

（六）评价、修改与推广

在这一环节，主要以学生代表展示成果的方式进行，对已建立的模型进行讲解与分析，对已完成的任务开展自评和互评，最后由教师总评。学生再根据教师和学生的意见对模型进行修改与推广。

四、高职数学建模项目教学的评价体系

（一）过程性评价

主要指项目进行过程中学生的全方面表现，主要包括八个方面：1.认真，自主学习能力强；2.有创新性，敢于挑战；3.团结友好，善与人沟通；4.考虑问题全面；5.数学基础厚实；6.编程能力强；7.写作能力强；8.有领导才能。评价结果综合学生自评、学生互评和教师评价三方面。这样的评价方式，不仅要求学生们对自己能力的了解以及相互之间相互了解，更需要教师对每个学生的了解，要求教师与学生的零距离接触，充分发挥教师的指导性作用。

（二）终结性评价

主要指对最终成果的评价，以数模论文假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主。

五、高职数学建模项目教学案例

下面以图论模型的项目教学为例说明具体实施过程。

图论是用点和边来描述事物和事物之间的关系，是对实际问题的一种抽象，能够把纷杂的信息变得有序、直观、清晰。自然界和人类社会中的大量事物以及事物之间的关系,常可用图形来描述。例如，物质结构、电气网络、城市规划、交通运输、信息传输、工作调配、事物关系等等都可以用点和线连起来所组成的图形来模拟并转化为图论的问题，再结合图论算法，计算机编程，从而解决实际问题。本教学单元从图论的实际应用中选取“物流线路与管网设计”这两个典型应用作为项目任务导入。

项目1：（物流线路问题）物流运输作为重要的物流网络优化问题，其方案的设计直接影响企业的运输成本和运输时间等。请以实际城区主干线为例，构建图论模型，利用图论算法，给出城区主干线上的结点间最短路径，并通过构建欧拉回路，给出最优巡回运输路径。

相关知识：无向连通图，一笔画问题，欧拉回路，历遍性最短路，最大流，Dijkstra、Floyd、Edmonds、Fleury 等算法。

教师活动：布置任务，提供必要的知识和软件指导，协助组员分工，引导学生顺利完成任务。

学生活动：明确任务目标，根据自身特点组队，制定实施计划并分工合作，完成任务。

（1）基本知识与软件的学习阶段；

（2）数据的收集与整理阶段；

（3）城区主干线图论模型的构建；

（4）利用Dijkstra和Floyd算法计算出结点间最短路径；

（5）利用Edmonds和Fleury求最小权理想匹配和欧拉巡回。

项目推广：车载导航仪、中心选址问题、最佳灾情巡视路线等。

项目2：（管网设计问题）由于城市化进程的进一步加快，人口的快速增长，城市对电力电缆、通信电缆、给水排水管线、燃气管理等维持城市生命力的各种市政管线的需求量日益剧增。地下管廊将各类公用管线集中容纳于一体，并留有供检修人员行走通道的隧道。地下管廊设有专门的检修口、吊装口和监测系统，实施统一规划、设计、建设和管理，彻底改变以往各自建设、各自管理的零乱局面。而且避免了酸碱物质的腐蚀，延长了管线的使用寿命。但地下管廊的开发初期需要投入的费用较大,为缓解财政压力,可以利用图论理论求出城区主干线的最小生成树，使总修建长度之和最小。请结合实际城区，求城区主干线上的最小生成树，优化城市地下管网布局。

相关知识：最小生成树，Prim、Kruska算法。

教师活动：布置任务，提供必要的知识和软件指导，协助组员分工，引导学生顺利完成任务。

学生活动：明确任务目标，根据自身特点组队，制定实施计划并分工合作，完成任务。

（1）基本知识与软件的学习阶段；

（2）数据的收集与整理阶段；

（3）城区主干线图论模型的构建；

（4）利用Prim和Kruska算法求最小生成树。

项目推广：居民点自来水管的铺设、n个城市之间交通路线、通信联络网设计等。

六、结束语

实践表明，项目教学法作为一种突破传统教学理念的高效的教学方法，它在强调学生知识及经验的基础上，让学生在合作研究的道路上迅速前进，引导学生努力在实践中发现新知识，掌握新内容，提高学生数学理论水平和实操技能，突出学生本位思想，注重创新与实践能力的培养，让高职学生学到有价值的数学知识，为学生以后的发展奠定扎实的基础。

[1] 姜启源,谢金星.一项成功的高等教育改革实践——数学建模教学与竞赛活动的探索与实践[J].中国高教研究,2011,(12).

[2] 许世建,张翌呜,宋中山.让理论回归于现实生活——高职数学课程运用项目教学法的尝试[J].职教论坛，2008,（7）.