运筹与优化课程中的案例式教学及数学建模教学探讨

帅维成

帅维成/四川民族学院讲师，硕士（四川甘孜626001）。

数学作为一门重要科学，是人类文明进步的产物，在工程技术、军事等众多领域中起着决定性作用，成为解决实际问题的重要工具。由于现代科学技术的不断发展与进步，数学出现许多新的分支，比如控制理论、模糊数学、突变论、分形几何、统筹学等。运筹学综合科学课的知识、结合数学方法解决实际中的问题，对大工程的运行控制以及对未来世界的预测都有很大贡献。为了适应经济与科技的不断发展，运筹与优化课程中的教学方式也应适应社会的进步，在运筹学课程教学中加入案例式教学和数学建模教学正是基于这样的出发点。

数学建模是指通过对实际背景问题的分析，了解研究对象的内在规律，运用数学语言、方法把它体现出来，并对它进行运算、讲解，为决策者提供量化决策依据的过程。现如今，随着科技的发展，数学建模被广泛应用，在当代数学中有突出地位。数学建模实际是人们通过数学来改造自然、征服自然的过程，是把数学当作工具解决问题的教学方法。运筹学是在实际应用中通过分析引入决策变量，构建目标函数和条件，建立数学模型，并对不同的数学模型进行不同的算法。运筹学最早起源于20世纪30年代末，围绕着军事领域的实际问题开展的，二战后逐渐在工业中得以发展，现如今，运筹学在生产管理、工程技术、军事作战等方面也被广泛运用[1]。运筹学是研究解决实际问题的数学方法的一门应用科学。运筹与优化课程提高了学生对数学知识和计算机技术的分析与运用，增强了学生通过数学来解决问题的能力，具有抽象性、准确性、演绎性行、预测性等特点。

一、运筹与优化课程教学改革是教育教学改革发展的必然

随着经济的发展、教育的不断进步，传统的运筹学中的“五规划”“五论”已不再适应当前的学校教育。教学方法、理念陈旧，以教师为中心、以课本为中心的教学模式已经不能满足教育的需要。课堂上，教师注重知识的传播，却忽视了方法的传授；填鸭式的教学理念占教学的统治地位，学生难以理解抽象的理论，不能学以致用；教材和课程的滞后导致教学过程过于理论化，偏重于数学方法和技巧，实用性偏低。

运筹学不同于纯数学，纯数学的教学方式不适合运筹学，运筹学是运筹学与最优化两部分相结合。与数学分析、高等代数、概率论等基础课不同，它用定量的方法来解决实际当中出现的问题，涉及多门学科，表格多、图形多、模型多、算法多、案例多、理论推导少、知识量比较大、难度大且不易理解。学习这门学科要学习比较抽象的理论基础、算法原理以及算法框架，这让学生缺乏主动性与积极性，特别是非本专业的学生对运筹与优化课程提不起兴趣，无法将其与实践相结合。

运筹学中每一个分支都有特殊的数学模式结构以及解法，比较灵活多变，要想充分理解就比较难，传统的教学方式是以教师的“教”为主，课堂上教师对算法的介绍和理论的指导不能使学生对它们进行充分的理解。大部分学生采用死记硬背的方法。然而，这种不理解就导致在上机实践中就不能有效的运用，学生面对问题时就比较盲目[2]。如果这样下去，很多学生就会产生厌学心理，积极性无法得到提高，学术不精，不仅影响教学质量，而且学生毕业后无法适应工作要求，难以找到满意的工作。这就要求在运筹与优化的课程中融入教学及建模教育，将数学建模思想融入运筹与优化课程中作为教学改革的突破口，进行案例式教学，通过“掌握概念、介绍原理、淡化原理、注重方法、突出实用”的指导思想，结合计算机和数学工具软件的应用，通过运筹学的知识和方法来解决实际问题，以学生为主体来提高学生对学习的兴趣，调动他们的学习积极性。

二、运筹与优化课程中案例式教学及数学建模教育的应用

案例式教学是比较适合运筹与优化课程算法多、模型多的教学方法，案例式教学具有趣味性以及实用性，可以把实际发生的问题延伸到课堂上，加强了师生间、生生之间的交流，通过探讨发现自己的错误，并进行反思、改正，提高了教学质量，学生的自主学习意识得到提高。案例式教学具有目的性、代表性、实用性、时效性、趣味性等特点。目的明确，理解起来比较容易，学生容易对案例提起兴趣。它是理论与实践之间的桥梁。在课堂上，教师可以在对一些重点知识进行讲解、指导之后让学生小组讨论，以此来体现学生的主体地位，增强创新意识。以学生为中心，教师做出相应的点评，也可以将整理、分析过的案例发给大家，分成若干小组，让学生进行讨论、评价，展示建立的数学模型和求解方法、分析结果，最后，教师来进行统一的讲解、分析、评价。还可以给不同的组不同的案例，让他们自己找相关案例，利用计算机将所学知识运用于案例中得出求解的方法。这些方法让学生可以容易地理解并利用所学知识，增强了学生的理解能力，提高了课堂效率和学生综合利用所学知识解决问题的能力，同时培养了学生的思维的广阔性、严密性、创新性，培养了学生对学习的兴趣和求知欲，完成了知识的扩展和延伸。

数学建模是一种运用数学思想、数学方法、数学知识来解决实际问题的过程，由于数学实际应用领域的专业性和复杂性使得学生在上学期间无法真正得到实践的机会，导致学生在学习时感到学无所用。运筹学课程以往的教学内容偏于理论学习，实践操作比较少，容易使学生觉得理论琐碎、计算复杂，学习压力大，产生厌学心理。运筹与优化课程是通过建立模型来解决实际问题的学科[3]，自20世纪70年代以来，随着社会与科技的发展，数学建模成为大学课堂的一门数学应用的方法课程。数学建模需要数学实验和数学软件课程为支撑，与之相适应的理论为指导。运筹与优化课程是基于提出理论的基础上，通过建模来解决问题的学科，而建立模型就是数学建模需要处理的问题，所以说，运筹优化课程与数学建模有着密切的联系。据统计，1992-2009年本科组的36道题目中，涉及优化方法的题目是最多的，约有21道题目，占到总数的70%，也就是说每年至少有一道此类的题目。因此，数学建模思想融入运筹与优化课堂教学中是十分必要的，后者可以看作是前者的深入学习，为实践性教学提供了素材，让学生可以学以致用，激发他们的学习热情。

要将数学建模思想更好地渗透到教学中，除了在教学目标、教学观念、教学方式等方面进行改革外，更要以案例式教学为着手点，是学生们养成善于建模、坚持建模的意识和习惯。教师们选择案例时，应以课堂内容和实际应用相结合为基础，将运筹与优化的思想方法与数学建模的思想方法融合在一起，以形象的建模思想来阐述抽象的理论，这样可以使学生们在学习理论的同时也学会如何实际运用。

三、在运筹与优化课程中实施案例式教学及数学建模教育应注意的问题

在运筹与优化课程中实施案例式教学要把握好实训内容的选取，合适的案例是数学建模教育能否成功的主要因素。要遵从适用性、创新性以及趣味性的原则选取教学案例，再根据上课时的实际情况讲解具体案例，通过课堂实践来加深对理论知识的了解和应用，学生可以通过对案例的讨论、求解来增强学习兴趣。教师在授课中应以学生为主体，多提一些与实际相关联、易于理解的案例，让学生进行分组讨论。也可以让学生可以提出相关的其他案例，以此加强自主学习意识。

经济和科技不断发展与进步的同时，教育为了适应社会的需要也在不断进行创新与改革，数学作为一门重要学科被广泛运用，统筹与优化课程的教育模式改革是时代发展的必然。在教学过程中，将数学建模思想融入运筹与优化教学的同时，进行案例式教学能起到很好的教学效果。可以让学生认识数学与其他科学发展的联系，把各个学科的知识联系在一起，并综合运用。培养学生良好的数学思维，真正体现学以致用。大学统筹与优化课程的教学改革促进了数学科学的可持续发展，是为国家、为社会培养数学人才的有效方法，也是高等教育适应社会发展的体现。

[1] 运筹学编写组.运筹学（第二版）[M].北京：清华大学出版社，1990.

[2] 韩中庚.数学建模方法及应用[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3] 韩中庚.浅谈数学建模与人才的培养[J].工程数学学报，2003，20（8）.