大学数学课程研究型教学对教材编写的要求

韩效杰，胡洪安

（1.机械工业出版社 高等教育分社，北京100037；2.周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口466001）

1 研究型教学的发展情况

2005年教育部《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》［1]明确指出：“积极推动研究型教学，提高大学生的创新能力.”有的高校在研究型教学的探索过程中，采取了减少班容量，配备更多辅导教师的方式来提高教学质量.而多数高校在教师资源紧张、课时繁重的现实情况下，只能采取大班研究型教学的模式.这种大班研究型教学的模式，在美国很多高校已经探索实施了10多年时间.中科院外籍院士、哈佛大学的讲座教授Mazur博士，在哈佛大学全校物理课程中实施的大班研究型教学法——PI教学法［2]，是很成功的教学模式，在教学界影响很大.密歇根州立大学杰出教授Bauer博士，专门针对大学物理大班研究型教学编写了配套教材［3]，在美国市场占有率多年排在前三位.

在数学课程大班研究型教学方面，国外已经开展并系统研究了10多年时间.例如，都柏林理工大学Marisa Llorens教授开展大班研究型教学，并利用在线视频来分发研究问题［4]；荷兰HANZE应用技术大学的DingNing教授开展了统计学大班研究型教学［5]；加州大学圣地亚哥分校在“数学141（微积分初步）”课程中使用投票器进行大班研究型教学［6]；Carroll学院在线性代数课程中使用讨论加投票的方式进行研究型教学［7].

国内对数学课程大班研究型教学的研究和实践也很丰富.例如，大连理工大学在高等数学课程中进行了研究型教学［8]；南华大学在数学课程中进行了研究型教学的尝试［9]；哈尔滨工业大学研究了研究型教学的管理建模［10]；电子科技大学在线性代数课程中尝试了研究型教学［11]；大连海洋大学在公共数学选修课中尝试了研究型教学［12].

研究型教学将在更大范围内展开，而市场上的主要教材还没有就此做好准备.

2 研究型教学模式对教材的要求

2.1 教学模式决定了教材在教学环节中扮演的角色

研究型教学是课堂时间大部分由学生的“研究活动”和“交流活动”占用的教学方式.而传统课堂教学模式的课堂时间主要由教师传授知识的活动占用.

教师的角色在不同教学模式下有很大差异.研究型教学模式下，教师在课堂上的角色是一个综合的角色.教师在课堂上的主要时间，用来组织学研活动、发现学生学习的弱点、控制学生自主学习和交流的时间和节奏等.而在传统教学模式下，教师在课堂上的角色主要是知识的传授者，教师在课堂上的主要时间，花在把教学大纲的知识内容详细讲授给学生的活动上.因此，由传统教学模式转变为研究型教学模式，教师的工作内容发生了根本变化.

教材在教学环节中扮演的角色在不同教学模式下有很大差异.在研究型教学模式下，教材是学生学习大纲知识的主要渠道，学生在上课前就要把这一个教学环节应该掌握的知识在课前进行预习，并自主做各种练习.学生在课堂上的时间，主要都花在研究和交流上.教师提出的研究问题，要求学生对定义或者定理有准确和深入的理解.虽然用于研究型教学的题目难度不高，一般学生在理解所学知识的情况下，有能力在课堂上利用三至五分钟的时间解决.但是学生如果没有进行预习，想要在课堂上临时学习再去解决问题，几乎是行不通的.传统教学模式下，教材主要是用来辅助教师讲授的，学生在课堂上先听教师讲解，课后再阅读教材时已经听过老师的讲授，教材并不是学生第一次获取知识的渠道.

2.2 教材编写的具体建议

鉴于在研究型教学中，教师角色和教材角色有很大转变，教材应该主要面向学生自学的需求编写.对于数学教材来说，这需要在很多方面进行改革.

2.2.1 增加情境创设

在传统教学模式中，教师在讲授一个数学概念或者定理之前，总会想办法创设一种情景，将学生引入到一个对某种数学工具的需求上.这一般会通过一个有针对性的问题.有时是具体的数学问题，比如，讲解矩阵的对角化之前，通过提出矩阵的多次幂的数学问题，来把学生引入一个情景，该情景需要把矩阵对角化来简化计算.有时是实际生产或社会生活的问题，比如，在讲解得出自然对数e的极限时，通过提出一个储蓄问题，即问存款按月结息复利、按天结息复利、按小时结息复利……，按无穷小时段结息并计算复利时，利息到底应该有多少，是无穷大还是收敛到一个具体的数值.这就把学生引入到需要求一个极限的情景中，这个极限即可得出自然对数e.

在自学时，学生主要通过阅读教材来学习.因此，教材就要努力在重要数学定义和定理的前面，增加情景创设的内容.相比以前的教材，就要在这些方面增加篇幅，用生动的语言、精美准确的图片等手段，来形成如同教师亲授一样的情景模式.

2.2.2 详细给出归纳分析步骤

在传统教学模式中，教师在讲授一个数学定理或者命题时，总会进行一些分析和归纳，针对问题的特点，引导学生进行一些思考，走一些“弯路”，经过一些努力之后，才把问题解决.解决问题之后，再把推理的过程整理成一个完善的、演绎的证明或者解答过程.学生在这个过程中，参与了从分析到归纳，再到整理演绎的全过程，能够比较好地获得分析解决问题的能力.

在自学时，需要使学生通过阅读教材，也能获得这种能力.为传统教学模式编写的教材，就不能满足这种需要.因为，传统的教材往往强调系统性和演绎性.对于已经在教师引导下进行了分析和归纳的学生来说，教材中给出的证明越完美、越顺畅越好，因为越是这样，越能够高效地进行复习和总结吸收.

因此，针对研究型教学编写的教材，要把循序渐进的分析和归纳的过程，尽可能地展现给学生.2.2.3 增加嵌入式提问

在传统教学模式中，教师在讲授的过程中，会安排一些小的提问，来引起学生的思考.有的问题是类比的，比如函数极限和数列极限性质的异同，多元函数可微和一元函数可微的异同.有的问题是抽象的，比如讲解数域时，问能不能把“＋”仅仅视为一种符号来考虑代数关系的性质，这时1＋1＝2是唯一的吗？有的问题是反直觉的，比如讲解集合的势时，（1，2）和（1，4）哪个区间包含的实数更多？等等.

在自学时，学生就需要教材上恰当的地方出现这样的嵌入式提问.因为学生在通过阅读教材学习时，思维主要以记忆和理解为主，容易自我限制在一个范围内，不容易自主提出问题.传统教材嵌入这类问题的往往很少，因为这类问题在学生听老师讲解之后再接触时，大多不如第一次接触问题时那么有效.有的甚至完全失去了作用.

因此，针对研究型教学编写的教材，要在合适的地方，频繁地嵌入一些问题，使学生自主学习时能够进行更多思考.

2.2.4 增加来龙去脉的介绍和历史传承

在传统教学模式中，教师在讲授的过程中，会穿插一些来龙去脉的介绍，来提醒学生数学研究和发展的本来面目，并非是教材上那种完美的形态.比如，在讲微积分符号时，介绍莱布尼茨发明的符号如何促进了微积分的发展.比如，泰勒公式的发现在当时的学界产生了非常大的影响，因为人们发现了一种用多项式逼近可微函数的强大的工具.在介绍用极限求圆周率时，可以介绍祖冲之计算圆周率时使用的计数方式.在讲解矩阵理论时，可以介绍行列式的概念在历史上先于矩阵而出现.

因此，针对研究型教学编写的教材，要把教师在课堂上的这种安排，以及教师想讲授的，但是限于课堂时间不能如愿的内容，吸收进来，使学生自主学习时能够以发展的眼光来看待数学，并提高学生怀疑的动力和勇气.

2.2.5 具体介绍数学的应用

在传统教学模式中，教师在讲授的过程中，对数学应用的介绍一般比较模糊，往往只有教学大纲上有的较为明确的应用才会具体介绍.而对于数学在其他领域的应用，往往只是提到在哪个领域有所应用，而没有明确说明如何应用.比如，教师经常讲数学在天气预报领域得到很好的应用，而实际的情况是，天气预报领域应用数学是非常晚的事情，直到20世纪才开始尝试，到大规模计算机的成本降低后才开始减少人工预报的工作量，而现在很多国家的天气预报依然采取专家投票的方式，而不是利用大规模数据进行数学建模.

因此，针对研究型教学编写的教材，书中的数学应用的介绍要么不介绍，要么就要具体一些，至少要保证不使学生产生盲目的情感性的好恶.2.2.6 结合云计算、二维码、移动和网络技术

传统教材中，很多内容安排受到篇幅、版式等等纸质书的限制.而在当前校园中，校园网络基础设施建设已经非常完善，学生手中的智能手机、平板电脑等设备也非常普遍，这就为纸质教材的延伸提供了有利的契机.

一些由于篇幅、颜色或者尺寸等原因不方便放在纸质书上的素材，可以放在云端，利用二维码来给出链接.学生可以利用智能手机或者平板电脑等带有摄像头的设备，通过扫描书上给出的二维码来访问这些资源.

对于书中的习题，可以在习题旁边给出二维码链接，通过链接学生在做完练习之后可以直接通过扫描二维码得到建议答案来验证自己的计算.对于有疑问的同学，可以通过点击某个按钮来得到关于该题目的分步骤的提示，还可以通过点击某个按钮来获得题目的详细解答.

3 结语

教材编写是一项需要长期坚持努力、厚积薄发型的工作.编写周期往往长达一至两年，而更新版次往往要经过三至五年的努力.因此，在编写教材之前，认清教学领域里针对研究型教学发生的变化十分重要.只有针对研究型教学的需求，根据学生和教师需求，提升每一个细节的使用体验，才能编写出符合时代要求的好教材.

［1]中华人民共和国教育部.关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见［EB／OL].［2014-02-15].http：／／www.moe.gov.cn／pubicfiles／business／htmlfiles／moe／moe-307／200505／7444.html.

［2]Catherine H.Crouch，Eric Mazur.Peer Instruction：Ten years of experience and results［J].American Journal of Physics，2001，69：970.

［3]Wolfgang Bauer，Gary Westfall.University Physics with Modern Physics［M].NY：McGraw-Hill，2010.

［4]llorens M.Use of on-line video for mathematics peer instruction：apilot experience［C].Valencia：IATED，INTED，2013.

［5]Ning Ding，Xiaoyan Xu.Using peer instruction with hints in introductory business statistics［J].Journal of International Education in Business，2014，7（1）：60-71.

［6]Rasmussen Chris.Math 141Precalculus［EB／OL].［2004-02-11].http：／／sdsu-dspace.calstate.edu／handle／10211.3／108203.

［7]Kelly Clinea，Holly Zulloa，Jonathan Duncanbc，et al.Creating discussions with classroom voting in linear algebra［J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，2013，8：1093.

［8]梅建琴，邓玉萍.浅谈《高等数学》中的研究型教学方法［J].课程教育研究，2013（4）：125.

［9]朱晖，王红勇.大学数学研究型教学模式探索［J].课程教育研究，2013（22）：156.

［10]葛虹，冯玉强，韩伟一.基于研究型教学理念的数据分析与管理建模课程建设［J].大学数学，2013（1）：61-66.

［11]李红，李厚彪，黄廷祝.《线性代数》研究型教学初探［J].大学数学，2013（4）：151-154.

［12]张丽梅，赵学达.普通高校涉海专业公共数学选修课教学的改革探讨［J].大学教育，2013（3）：109-110.