导数在弹性与边际中的应用

盛继中

摘 要： 本文主要研究了经济活动中的弹性与边际.运用数学分析中的导数工具对弹性与边际进行了深入分析，同时，给出了在经济活动中的具体应用.

关键词： 导数 边际 弹性

一、函数的瞬时变化率——边际概念

值得注意的是经济函数大多是离散的不连续的，例如产品的销售量总是以整数变化而不会出现几分之几或零点几.所以从严格意义上讲大多数经济函数不可能用微积分的方法来处理.但是，如果经济总量非常大，突然增加一个或减少一个，这时发生的变化同总量相比就是很小的，所以，我们可以近似地认为，当经济总量很大时，这种变化是连续的，甚至是可微的.根据这个假定，我们就可以对经济函数引入瞬时变化率的概念.

那么企业产量达到多少时，才可以使企业获得最大利润呢？

由以上两段的分析可知，在获得最大利润的产量处，也必须要求边际收入等于边际成本，并且其边际收入的导数还要小于边际成本的导数.

二、函数的相关变化率——弹性

以上的边际分析中，无论是函数的增量还是函数变化率都是在绝对数量范围内的.但在现实经济活动的分析中，仅仅知道绝对变量与绝对变化率是不够的.例如，笔记本电脑每台大致10000元，普通MP3每部500元左右，若两者都涨价100元则它们价格的绝对变量都是100元，但是这一样吗？如果将他们与商品的原价格相比，笔记本电脑的价格涨了1%，而MP3的价格却涨了20%，显然，MP3价格的涨幅要比笔记本电脑的大得多，所以这次MP3价格的上涨会在大众消费群中的引起轩然大波，其销售量也会受到较大影响，相比较而言笔记本电脑的涨价却显得微不足道了.借由这个简单的例子我们觉得有必要研究一下函数的相关改变量与相关变化率.

我们举个例子加以说明：

例2：现在免费公共交通提倡者指出城市中交通拥挤的状况已引起了公众的极大的关注，若公共交通可以降价甚至免费，那么许多通勤者就会改乘公共交通工具而不使用私家车，交通堵塞可以得到缓解，城市的空气污染也会减轻.这种建议似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且减少城市中私家车的使用量从而达到最终目的呢？这就涉及了很多问题，其中之一就是公共交通工具比如说公交车的需求价格弹性有多少，即降低公交车的车价可以增加多少公交车的乘坐率？

若假设公交车的需求弹性是0.4，且计划将车价下调50%，让我们看一下这个措施将带来的怎样影响吧.

这个结果告诉我们在公交车需求弹性是0.4的情况下，公交车价下降50%只可以使乘客增加20%，即公交车的使用率提高的并不多，并且公交车行业的总收入还会因为降价减少30%.所以从这个方面来看，这个建议不是很有效.除非公交车的需求弹性被改变.

它所表达的就是若IC卡的价格继续上升到0.9元，则乘客会下降11.44%，收入却提高17.16%，也就是公交车的使用率下降的并不多，而且行业的收入还会上升17.16%，所以很不幸，继续提价还是存在很大可能的.

三、二元经济函数的边际与弹性

上面介绍的是一元经济函数的边际与弹性分析，但在实际经济分析中一个经济函数不可能只和一个经济变量有关，大多数的经济函数都和多个变量相联系，所以有必要讨论多元经济函数，仿照一元函数的方法就可以建立起相应的多元经济函数的边际与弹性.以下以二元函数为例举例进行说明.

1.二元函数的边际分析——边际成本

上式的意义为，在需求交叉价格弹性为0.1的假设下，当公交车的价格下降50%时会引起私家车的使用量下降5%，即这种收费的减少几乎不会对城市中的私家车使用量产生影响.根据这个结果，降低公交车的收费很难使私家车的使用者转变为公交车的使用者.所以结合例2中分析的结果，在给定的条件下，该措施并不能有效地缓解城市交通堵塞和环境污染的问题，还需考虑其他办法.

另外，利用交叉价格偏弹性还可以判别两种商品是互补品还是替代商品.若两种商品的需求交叉价格弹性为正值，则两种商品之间为替代关系，即两种商品可以相互替代来满足消费者的某种需求，比如水果中的苹果和梨；若需求交叉弹性为负值，则两种商品之间为互补关系，即两种商品必须同时使用才能满足消费者的某种需求，如照相机和胶卷；若需求交叉弹性为零，则两种商品间无相关关系.

其余的弹性还有供给价格弹性、需求收入弹性等，被广泛地运用于各种经济变量之间，对经济活动的分析起到了重要的作用.

四、边际和弹性的联系与区别

以上结果表示p=4时，价格上升1%，总收益将降低1.286%，价格增加一个单位，总收益将减少18个单位.

由上面的解题看出，边际与弹性随着p点的不同而不同，是一个局部性的概念，掌握“边际”与“弹性”的概念，注意它们的区别与联系，在市场管理和制定商品价格、确定生产量等方面都具有重要的经济意义.

参考文献：

[1]全国金融联考研究组.金融联考大纲[M].金程教育出版社，2005.

[2]张从军，李辉，等.常见经济问题的数学解析[M].东南大学出版社，2004.

[3]高鸿业.西方经济学[M].中国人民大学出版社，2004.endprint

摘 要： 本文主要研究了经济活动中的弹性与边际.运用数学分析中的导数工具对弹性与边际进行了深入分析，同时，给出了在经济活动中的具体应用.

关键词： 导数 边际 弹性

一、函数的瞬时变化率——边际概念

值得注意的是经济函数大多是离散的不连续的，例如产品的销售量总是以整数变化而不会出现几分之几或零点几.所以从严格意义上讲大多数经济函数不可能用微积分的方法来处理.但是，如果经济总量非常大，突然增加一个或减少一个，这时发生的变化同总量相比就是很小的，所以，我们可以近似地认为，当经济总量很大时，这种变化是连续的，甚至是可微的.根据这个假定，我们就可以对经济函数引入瞬时变化率的概念.

那么企业产量达到多少时，才可以使企业获得最大利润呢？

由以上两段的分析可知，在获得最大利润的产量处，也必须要求边际收入等于边际成本，并且其边际收入的导数还要小于边际成本的导数.

二、函数的相关变化率——弹性

以上的边际分析中，无论是函数的增量还是函数变化率都是在绝对数量范围内的.但在现实经济活动的分析中，仅仅知道绝对变量与绝对变化率是不够的.例如，笔记本电脑每台大致10000元，普通MP3每部500元左右，若两者都涨价100元则它们价格的绝对变量都是100元，但是这一样吗？如果将他们与商品的原价格相比，笔记本电脑的价格涨了1%，而MP3的价格却涨了20%，显然，MP3价格的涨幅要比笔记本电脑的大得多，所以这次MP3价格的上涨会在大众消费群中的引起轩然大波，其销售量也会受到较大影响，相比较而言笔记本电脑的涨价却显得微不足道了.借由这个简单的例子我们觉得有必要研究一下函数的相关改变量与相关变化率.

我们举个例子加以说明：

例2：现在免费公共交通提倡者指出城市中交通拥挤的状况已引起了公众的极大的关注，若公共交通可以降价甚至免费，那么许多通勤者就会改乘公共交通工具而不使用私家车，交通堵塞可以得到缓解，城市的空气污染也会减轻.这种建议似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且减少城市中私家车的使用量从而达到最终目的呢？这就涉及了很多问题，其中之一就是公共交通工具比如说公交车的需求价格弹性有多少，即降低公交车的车价可以增加多少公交车的乘坐率？

若假设公交车的需求弹性是0.4，且计划将车价下调50%，让我们看一下这个措施将带来的怎样影响吧.

这个结果告诉我们在公交车需求弹性是0.4的情况下，公交车价下降50%只可以使乘客增加20%，即公交车的使用率提高的并不多，并且公交车行业的总收入还会因为降价减少30%.所以从这个方面来看，这个建议不是很有效.除非公交车的需求弹性被改变.

它所表达的就是若IC卡的价格继续上升到0.9元，则乘客会下降11.44%，收入却提高17.16%，也就是公交车的使用率下降的并不多，而且行业的收入还会上升17.16%，所以很不幸，继续提价还是存在很大可能的.

三、二元经济函数的边际与弹性

上面介绍的是一元经济函数的边际与弹性分析，但在实际经济分析中一个经济函数不可能只和一个经济变量有关，大多数的经济函数都和多个变量相联系，所以有必要讨论多元经济函数，仿照一元函数的方法就可以建立起相应的多元经济函数的边际与弹性.以下以二元函数为例举例进行说明.

1.二元函数的边际分析——边际成本

上式的意义为，在需求交叉价格弹性为0.1的假设下，当公交车的价格下降50%时会引起私家车的使用量下降5%，即这种收费的减少几乎不会对城市中的私家车使用量产生影响.根据这个结果，降低公交车的收费很难使私家车的使用者转变为公交车的使用者.所以结合例2中分析的结果，在给定的条件下，该措施并不能有效地缓解城市交通堵塞和环境污染的问题，还需考虑其他办法.

另外，利用交叉价格偏弹性还可以判别两种商品是互补品还是替代商品.若两种商品的需求交叉价格弹性为正值，则两种商品之间为替代关系，即两种商品可以相互替代来满足消费者的某种需求，比如水果中的苹果和梨；若需求交叉弹性为负值，则两种商品之间为互补关系，即两种商品必须同时使用才能满足消费者的某种需求，如照相机和胶卷；若需求交叉弹性为零，则两种商品间无相关关系.

其余的弹性还有供给价格弹性、需求收入弹性等，被广泛地运用于各种经济变量之间，对经济活动的分析起到了重要的作用.

四、边际和弹性的联系与区别

以上结果表示p=4时，价格上升1%，总收益将降低1.286%，价格增加一个单位，总收益将减少18个单位.

由上面的解题看出，边际与弹性随着p点的不同而不同，是一个局部性的概念，掌握“边际”与“弹性”的概念，注意它们的区别与联系，在市场管理和制定商品价格、确定生产量等方面都具有重要的经济意义.

参考文献：

[1]全国金融联考研究组.金融联考大纲[M].金程教育出版社，2005.

[2]张从军，李辉，等.常见经济问题的数学解析[M].东南大学出版社，2004.

[3]高鸿业.西方经济学[M].中国人民大学出版社，2004.endprint

摘 要： 本文主要研究了经济活动中的弹性与边际.运用数学分析中的导数工具对弹性与边际进行了深入分析，同时，给出了在经济活动中的具体应用.

关键词： 导数 边际 弹性

一、函数的瞬时变化率——边际概念

值得注意的是经济函数大多是离散的不连续的，例如产品的销售量总是以整数变化而不会出现几分之几或零点几.所以从严格意义上讲大多数经济函数不可能用微积分的方法来处理.但是，如果经济总量非常大，突然增加一个或减少一个，这时发生的变化同总量相比就是很小的，所以，我们可以近似地认为，当经济总量很大时，这种变化是连续的，甚至是可微的.根据这个假定，我们就可以对经济函数引入瞬时变化率的概念.

那么企业产量达到多少时，才可以使企业获得最大利润呢？

由以上两段的分析可知，在获得最大利润的产量处，也必须要求边际收入等于边际成本，并且其边际收入的导数还要小于边际成本的导数.

二、函数的相关变化率——弹性

以上的边际分析中，无论是函数的增量还是函数变化率都是在绝对数量范围内的.但在现实经济活动的分析中，仅仅知道绝对变量与绝对变化率是不够的.例如，笔记本电脑每台大致10000元，普通MP3每部500元左右，若两者都涨价100元则它们价格的绝对变量都是100元，但是这一样吗？如果将他们与商品的原价格相比，笔记本电脑的价格涨了1%，而MP3的价格却涨了20%，显然，MP3价格的涨幅要比笔记本电脑的大得多，所以这次MP3价格的上涨会在大众消费群中的引起轩然大波，其销售量也会受到较大影响，相比较而言笔记本电脑的涨价却显得微不足道了.借由这个简单的例子我们觉得有必要研究一下函数的相关改变量与相关变化率.

我们举个例子加以说明：

例2：现在免费公共交通提倡者指出城市中交通拥挤的状况已引起了公众的极大的关注，若公共交通可以降价甚至免费，那么许多通勤者就会改乘公共交通工具而不使用私家车，交通堵塞可以得到缓解，城市的空气污染也会减轻.这种建议似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且减少城市中私家车的使用量从而达到最终目的呢？这就涉及了很多问题，其中之一就是公共交通工具比如说公交车的需求价格弹性有多少，即降低公交车的车价可以增加多少公交车的乘坐率？

若假设公交车的需求弹性是0.4，且计划将车价下调50%，让我们看一下这个措施将带来的怎样影响吧.

这个结果告诉我们在公交车需求弹性是0.4的情况下，公交车价下降50%只可以使乘客增加20%，即公交车的使用率提高的并不多，并且公交车行业的总收入还会因为降价减少30%.所以从这个方面来看，这个建议不是很有效.除非公交车的需求弹性被改变.

它所表达的就是若IC卡的价格继续上升到0.9元，则乘客会下降11.44%，收入却提高17.16%，也就是公交车的使用率下降的并不多，而且行业的收入还会上升17.16%，所以很不幸，继续提价还是存在很大可能的.

三、二元经济函数的边际与弹性

上面介绍的是一元经济函数的边际与弹性分析，但在实际经济分析中一个经济函数不可能只和一个经济变量有关，大多数的经济函数都和多个变量相联系，所以有必要讨论多元经济函数，仿照一元函数的方法就可以建立起相应的多元经济函数的边际与弹性.以下以二元函数为例举例进行说明.

1.二元函数的边际分析——边际成本

上式的意义为，在需求交叉价格弹性为0.1的假设下，当公交车的价格下降50%时会引起私家车的使用量下降5%，即这种收费的减少几乎不会对城市中的私家车使用量产生影响.根据这个结果，降低公交车的收费很难使私家车的使用者转变为公交车的使用者.所以结合例2中分析的结果，在给定的条件下，该措施并不能有效地缓解城市交通堵塞和环境污染的问题，还需考虑其他办法.

另外，利用交叉价格偏弹性还可以判别两种商品是互补品还是替代商品.若两种商品的需求交叉价格弹性为正值，则两种商品之间为替代关系，即两种商品可以相互替代来满足消费者的某种需求，比如水果中的苹果和梨；若需求交叉弹性为负值，则两种商品之间为互补关系，即两种商品必须同时使用才能满足消费者的某种需求，如照相机和胶卷；若需求交叉弹性为零，则两种商品间无相关关系.

其余的弹性还有供给价格弹性、需求收入弹性等，被广泛地运用于各种经济变量之间，对经济活动的分析起到了重要的作用.

四、边际和弹性的联系与区别

以上结果表示p=4时，价格上升1%，总收益将降低1.286%，价格增加一个单位，总收益将减少18个单位.

由上面的解题看出，边际与弹性随着p点的不同而不同，是一个局部性的概念，掌握“边际”与“弹性”的概念，注意它们的区别与联系，在市场管理和制定商品价格、确定生产量等方面都具有重要的经济意义.

参考文献：

[1]全国金融联考研究组.金融联考大纲[M].金程教育出版社，2005.

[2]张从军，李辉，等.常见经济问题的数学解析[M].东南大学出版社，2004.

[3]高鸿业.西方经济学[M].中国人民大学出版社，2004.endprint