问题驱动思考 比较感悟规律

许霜霜+陈道远

【教学内容】人教版小学数学六年级上册第2、3页。

【教学目标】

1.借助生活实例，让学生在具体的情境中探索确定位置的方法，进一步理解数对的意义，并能在方格纸上用“数对”确定位置。

2.在过程中感受规则对确定位置的影响，通过统一规则探寻数对的规律，发展学生的空间观念，并增强其运用所学知识解决实际问题的能力。

3.体会数对的现实价值，体验数对学习的乐趣。

【教学实录】

一、激活生活经验，初步感知数对

1.任务驱动

师：今天，我们继续来学习确定位置的知识，你能用简洁、准确的方式记录自己现在所坐的位置吗？（学生在1号学习纸上独立完成任务）

2.集体反馈：展示学生的几种不同的表示方式。

师：简单说一说自己记录的位置是什么意思？

生1：我在第3排第5个。（生2、3、4、5类同，略）

生6：图中横的线表示组，竖的线表示在这组中的第几个，我在2组第3个。

师：这么多不同的记录方式，有什么相同点？

通过学生动手实践，学生已有基本感悟：需要两个元素才能确定位置。

3.规范形式

师：他们都有一个共同的地方，就是都含有两个数字，一个是表示竖的数字，另一个表示横的数字。在数学上，竖排称为“列”，横排称为“行”。这样的一对数，就叫作“数对”，并用（2，3）表示，读作“数对2，3”。

请你再次用数对的方法记录你所在的位置，写在旁边，并且读一读。

（评析：用自己喜欢的方式表示自己所在的位置，是直观表征“数对”的过程，这不仅让教师了解了学生的认知基础，也加深了学生对数对意义的直觉认知。学生依据各自的生活经验，写出了各种位置的表示形式，再在各种富有个性的反馈中，寻找共性，凸显对数对意义的深入理解，并在多样化的深层剖析的基础上实现数学规范化。）

二、寻找“张亮”位置，感受规则对位置的影响

1.任务驱动

师：刚才同学们都找到了自己的位置，也会用数对的形式记录自己的位置，张亮同学也有自己的位置，他的位置可用（2，3）来表示，请标出张亮的位置。（生独立完成2号学习纸上的任务）

2.反馈交流

（1）整体感知、分类反馈。有同学在方格里面标出了张亮的位置，有同学在交叉点上标出了张亮的位置。

①先看下面的表示：

图1 图2 图3

师：同一个张亮，所在的位置已经确定，怎么会表示出了这么多不同的位置？

生：大家观察的角度不一样，有些是从下往上看，有些是从左往右看。

师：让我们具体来看一看第一幅，这位同学是怎么寻找张亮的位置的？

生：从左往右数第一列、第二列，从下往上数第一行、第二行、第三行……（出示图4）

师：那第二位同学又是在怎样的规则下找到张亮的位置的呢，能标出来让大家一眼就看明白吗？（标出图5）

图4 图5

明确：在不同的规则下，张亮的位置就不一样了。

师：同学们在自己的规则下，都找到了张亮的位置，在一个集体中，大家都用自己的规则来确定位置，那会怎么样？

生：那就不能确定了，会乱糟糟的。

生：我们要统一一个标准，才能让大家相互都看得明白。

师：多好的建议啊，也就是我们要有一个规则，在这样的平面图中，一般的规则都是从左往右为第一列、第二列，从下往上为第一行、第二行。在练习的时候，同学们也要看清楚规则咯。

②练习：在统一的规则中，用数对表示孙洋（5，2）、李明（4，5）的位置。

③再看下面这位学生的表示方法，请这位同学来说一说为什么要这样表示张亮的位置？其他同学思考这种方法表示与前面介绍的方法有什么不同？

生：我是把第一条竖线看成第一列，第二条竖线看成第二列，横着的第一条线看成第一行。（生标出规则）

师：这位同学的想法很有创意，在这样的规则下，张亮的位置就变成了一个交叉点。

（2）沟通联系。

师：其实不管是用方格这一区域来表示位置，还是用交叉点来表示位置，他们之间是统一而又有联系的。（课件动画演示区域到点的演变过程）

（3）巩固练习。

①辨析（6，5）和（5，6）表示的意义。

师：还是在这样的规则中，图中A点的位置可以怎么表示？为什么？

生：A点用（6，5）表示，因为A在第6列第5行。

师：6表示什么？5表示什么？

生：6表示在第6列，5表示第5行。

师：5也表示0～5行之间的距离，那能不能用（5，6）来表示呢？

生：不能，因为（5，6）表示的是第5列第6行。

生：他们的意义完全不一样。

师：说得真好，虽然都是5和6两个数字，它们前后位置的不同所表示的意思是完全不一样的。

②请独立完成小练笔中的1、2两题。

（评析：这一环节中许老师精心设计了一个引发学生认知冲突的问题情境，在一个开放式的情境中让学生去寻找“张亮”的位置，结果找出了许多张亮的位置，充分运用比较的方法，借助直观的素材—区域图—表示出的位置之间的比较，区域图和交叉点上表示位置的比较，让学生从中不仅感悟到“规则”对确定位置的重要性，同时还沟通了区域来表示位置与交叉点来表示位置之间的联系，让学生更直观地认识到两者之间既是有区别的，更是有联系的，渗透了辩证的思想。）

三、探寻数对规律、渗透数学思想

1.探寻列相同的规律endprint

师：刚才同学们都能准确用数对来表示某点的位置。现在我们来做一个小游戏活动，老师说数对，请听到表示自己位置的数对的同学站起来。

师：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）

游戏结束，师将上述数对在方格图上标出，要求学生思考这样的数对的特点。

师：这些同学的位置和相对应的这些数对有什么特点？

生：他们的列相同。

生：他们的第一个数字都是3，第二个数字从下往上看都加1。

生：这些数对所在的位置连起来是一条直线。

在坐标图中，将这些点连成一条直线。

师引导：想一想：在这条直线上还有哪些数对表示的位置？

生大胆地说：（3，0）（3，7）（3，100）…

概括：可用（3，Y）来表示这条直线上任意的点的位置。能否用一个式子表示这条线的特点？（X=3）

2.探寻行相同的规律

师：一个点的位置是（0，3），它要进行移动，听老师说的数对，闭眼想象它的移动过程，用手指比画出来。点向右平移1格（1，3），再向右平移一格（2，3），继续（3，3）（4，3）（5，3）。

生睁开眼睛，课件出示点的位置和数对。

师：点（0，3）在运动的过程中形成怎样的一个图形？

生：是横着的一条线。

师：这样的一些点的数对有什么特点？

生：都在第3行，第二个数字都是3。

生：第一个数字逐个加1。

师：在这条线上还可以说出其他的一些数对吗？

生：（8，3）（9，3）（100，3）…

生：只要第二个数字是3就好了。

师追问：那你能用一个数对来表示这条直线上任一点的位置吗？

概括：可用（X，3）来表示这条直线上任意的点的位置。能否用一个式子表示这条线的特点？（Y=3）

3.探寻连成斜线数对的规律

师：请（a，a）位置的同学站起来。

毫无意外，每次教学都是全班起立。

师：请站着的同学思考一下这个数对的特点。

在教师的引导下，陆续有学生开始坐下来。

师：站着的同学，为什么你们站起来？

生：因为a可以表示任何数。

师：（面对坐下去的同学）那你们为什么坐下去了？

生：a是可以表示任何数，但是列和行都是a，说明两个数字要相同。

师：那你能举例出几个例子吗？

生：（0，0）（1，1）（2，2）…

经过该位学生的解释，大部分的人都坐了下来，仅剩下列行数字相同的一些学生。

师：想象这些数对位置连成的图形会是怎样的？用手比画一下。

生：是斜着的一条线。

师：你能否也用一个式子表示这种数对的特点呢？（X=Y）

4.想象推理，巩固练习

①闭眼想象：A（3，2），B（6，2）连成线段，向上平移两格，平移后A、B分别在什么位置？

②想象推理：看下图，用数对表示B、D的位置。

③小结：通过以上那个两题的解答，你能找到什么规律？

生：上下平移时，行变列不变；左右平移时，列变行不变。

（评析：本环节的教学中通过游戏、想象、推理等多种形式加深学生对数对的理解，特别是借助想象，想象坐标中的各个点连成的线形状，想象一条线段平移后的位置，想象图形平移后各个点的位置，有效地发展学生的空间观念和推理能力。同时恰到好处地结合具体内容渗透数形结合思想与函数思想。）

四、联系生活实际，拓展数学视野

1.介绍数对的发明者：笛卡尔

2.数对在生活中的应用

①围棋中的数对（4，三） （16，十三）

②国际象棋中的数对（g，5）（e，3）

③地图中地理位置的确定：杭州富阳市大源镇（东经120度 ，北纬30度）

（评析：介绍笛卡尔“数对”的发明历史与数对在生活中的运用，让学生了解数学的文化，拓展其视野，从而进一步感悟数学与生活的联系，激发学好数学的情感。）

【总评】

1.递进式的问题驱动，凸显数学教学中的思维训练重点

数学是思维的科学，许老师在本节课的教学中，借助任务驱动的形式，向学生抛出一个又一个的学习任务，学生在完成一个又一个任务的过程中，不断地发生认知冲突，“同一个张亮为什么会有不同的位置？”“方格图表示与交叉点表示的联系区别”“请（a，a）位置的同学站起来”“怎样用式子表示这条直线的特点？”，学生也就在化解这些冲突中，锻炼了思维，提高了数学能力。

2.多样化教学方法的运用，凸显课堂教学的有效性

基于学生经验的学习，易引起思维的共鸣。本课通过让学生用自己喜欢的方式来表示自己所坐的位置，不仅从中了解了学生的认知基础，也为新知的学习提供了学习材料。在教学中教师多次运用操作、游戏等活动引导学生学习，借助想象图形的形状、想象推理等形式发展空间观念，在比较“不同表示形式中的共性”中感悟到要用两个数量表示位置，在比较“张亮的位置的不同表示方法”中感悟制定规则的重要，在比较“区域表示法与交叉点表示法”中感悟它们的差异与联系，在比较“特殊的系列数对”后探索它们的特点，在比较“平移前后长方形各顶点数对”后探寻其规律。同时，教师采用学练结合的方式，边学边练边巩固，学生在这样的课堂中学习，学科知识在增加，思维品质在提升。

3.紧密联系生活，适时渗透数学思想文化

数学的产生源自于生活实践，数学的教学同样离不开实际生活。在本节课的教学中，数学知识的引入、数学问题的探究、数学知识的拓展，都紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让学生在生活中看到数学。让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，在获得对数学知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。在学生经历生活问题数学化的过程中，适时地渗透函数思想、数形结合思想、辩证统一思想，最后适当补充了相关的数学历史文化方面的知识，既拓展了学生的视野，又提升了学生的数学素养。

（浙江省杭州市和睦小学 310011）endprint

师：刚才同学们都能准确用数对来表示某点的位置。现在我们来做一个小游戏活动，老师说数对，请听到表示自己位置的数对的同学站起来。

师：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）

游戏结束，师将上述数对在方格图上标出，要求学生思考这样的数对的特点。

师：这些同学的位置和相对应的这些数对有什么特点？

生：他们的列相同。

生：他们的第一个数字都是3，第二个数字从下往上看都加1。

生：这些数对所在的位置连起来是一条直线。

在坐标图中，将这些点连成一条直线。

师引导：想一想：在这条直线上还有哪些数对表示的位置？

生大胆地说：（3，0）（3，7）（3，100）…

概括：可用（3，Y）来表示这条直线上任意的点的位置。能否用一个式子表示这条线的特点？（X=3）

2.探寻行相同的规律

师：一个点的位置是（0，3），它要进行移动，听老师说的数对，闭眼想象它的移动过程，用手指比画出来。点向右平移1格（1，3），再向右平移一格（2，3），继续（3，3）（4，3）（5，3）。

生睁开眼睛，课件出示点的位置和数对。

师：点（0，3）在运动的过程中形成怎样的一个图形？

生：是横着的一条线。

师：这样的一些点的数对有什么特点？

生：都在第3行，第二个数字都是3。

生：第一个数字逐个加1。

师：在这条线上还可以说出其他的一些数对吗？

生：（8，3）（9，3）（100，3）…

生：只要第二个数字是3就好了。

师追问：那你能用一个数对来表示这条直线上任一点的位置吗？

概括：可用（X，3）来表示这条直线上任意的点的位置。能否用一个式子表示这条线的特点？（Y=3）

3.探寻连成斜线数对的规律

师：请（a，a）位置的同学站起来。

毫无意外，每次教学都是全班起立。

师：请站着的同学思考一下这个数对的特点。

在教师的引导下，陆续有学生开始坐下来。

师：站着的同学，为什么你们站起来？

生：因为a可以表示任何数。

师：（面对坐下去的同学）那你们为什么坐下去了？

生：a是可以表示任何数，但是列和行都是a，说明两个数字要相同。

师：那你能举例出几个例子吗？

生：（0，0）（1，1）（2，2）…

经过该位学生的解释，大部分的人都坐了下来，仅剩下列行数字相同的一些学生。

师：想象这些数对位置连成的图形会是怎样的？用手比画一下。

生：是斜着的一条线。

师：你能否也用一个式子表示这种数对的特点呢？（X=Y）

4.想象推理，巩固练习

①闭眼想象：A（3，2），B（6，2）连成线段，向上平移两格，平移后A、B分别在什么位置？

②想象推理：看下图，用数对表示B、D的位置。

③小结：通过以上那个两题的解答，你能找到什么规律？

生：上下平移时，行变列不变；左右平移时，列变行不变。

（评析：本环节的教学中通过游戏、想象、推理等多种形式加深学生对数对的理解，特别是借助想象，想象坐标中的各个点连成的线形状，想象一条线段平移后的位置，想象图形平移后各个点的位置，有效地发展学生的空间观念和推理能力。同时恰到好处地结合具体内容渗透数形结合思想与函数思想。）

四、联系生活实际，拓展数学视野

1.介绍数对的发明者：笛卡尔

2.数对在生活中的应用

①围棋中的数对（4，三） （16，十三）

②国际象棋中的数对（g，5）（e，3）

③地图中地理位置的确定：杭州富阳市大源镇（东经120度 ，北纬30度）

（评析：介绍笛卡尔“数对”的发明历史与数对在生活中的运用，让学生了解数学的文化，拓展其视野，从而进一步感悟数学与生活的联系，激发学好数学的情感。）

【总评】

1.递进式的问题驱动，凸显数学教学中的思维训练重点

数学是思维的科学，许老师在本节课的教学中，借助任务驱动的形式，向学生抛出一个又一个的学习任务，学生在完成一个又一个任务的过程中，不断地发生认知冲突，“同一个张亮为什么会有不同的位置？”“方格图表示与交叉点表示的联系区别”“请（a，a）位置的同学站起来”“怎样用式子表示这条直线的特点？”，学生也就在化解这些冲突中，锻炼了思维，提高了数学能力。

2.多样化教学方法的运用，凸显课堂教学的有效性

基于学生经验的学习，易引起思维的共鸣。本课通过让学生用自己喜欢的方式来表示自己所坐的位置，不仅从中了解了学生的认知基础，也为新知的学习提供了学习材料。在教学中教师多次运用操作、游戏等活动引导学生学习，借助想象图形的形状、想象推理等形式发展空间观念，在比较“不同表示形式中的共性”中感悟到要用两个数量表示位置，在比较“张亮的位置的不同表示方法”中感悟制定规则的重要，在比较“区域表示法与交叉点表示法”中感悟它们的差异与联系，在比较“特殊的系列数对”后探索它们的特点，在比较“平移前后长方形各顶点数对”后探寻其规律。同时，教师采用学练结合的方式，边学边练边巩固，学生在这样的课堂中学习，学科知识在增加，思维品质在提升。

3.紧密联系生活，适时渗透数学思想文化

数学的产生源自于生活实践，数学的教学同样离不开实际生活。在本节课的教学中，数学知识的引入、数学问题的探究、数学知识的拓展，都紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让学生在生活中看到数学。让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，在获得对数学知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。在学生经历生活问题数学化的过程中，适时地渗透函数思想、数形结合思想、辩证统一思想，最后适当补充了相关的数学历史文化方面的知识，既拓展了学生的视野，又提升了学生的数学素养。

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师：刚才同学们都能准确用数对来表示某点的位置。现在我们来做一个小游戏活动，老师说数对，请听到表示自己位置的数对的同学站起来。

师：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）

游戏结束，师将上述数对在方格图上标出，要求学生思考这样的数对的特点。

师：这些同学的位置和相对应的这些数对有什么特点？

生：他们的列相同。

生：他们的第一个数字都是3，第二个数字从下往上看都加1。

生：这些数对所在的位置连起来是一条直线。

在坐标图中，将这些点连成一条直线。

师引导：想一想：在这条直线上还有哪些数对表示的位置？

生大胆地说：（3，0）（3，7）（3，100）…

概括：可用（3，Y）来表示这条直线上任意的点的位置。能否用一个式子表示这条线的特点？（X=3）

2.探寻行相同的规律

师：一个点的位置是（0，3），它要进行移动，听老师说的数对，闭眼想象它的移动过程，用手指比画出来。点向右平移1格（1，3），再向右平移一格（2，3），继续（3，3）（4，3）（5，3）。

生睁开眼睛，课件出示点的位置和数对。

师：点（0，3）在运动的过程中形成怎样的一个图形？

生：是横着的一条线。

师：这样的一些点的数对有什么特点？

生：都在第3行，第二个数字都是3。

生：第一个数字逐个加1。

师：在这条线上还可以说出其他的一些数对吗？

生：（8，3）（9，3）（100，3）…

生：只要第二个数字是3就好了。

师追问：那你能用一个数对来表示这条直线上任一点的位置吗？

概括：可用（X，3）来表示这条直线上任意的点的位置。能否用一个式子表示这条线的特点？（Y=3）

3.探寻连成斜线数对的规律

师：请（a，a）位置的同学站起来。

毫无意外，每次教学都是全班起立。

师：请站着的同学思考一下这个数对的特点。

在教师的引导下，陆续有学生开始坐下来。

师：站着的同学，为什么你们站起来？

生：因为a可以表示任何数。

师：（面对坐下去的同学）那你们为什么坐下去了？

生：a是可以表示任何数，但是列和行都是a，说明两个数字要相同。

师：那你能举例出几个例子吗？

生：（0，0）（1，1）（2，2）…

经过该位学生的解释，大部分的人都坐了下来，仅剩下列行数字相同的一些学生。

师：想象这些数对位置连成的图形会是怎样的？用手比画一下。

生：是斜着的一条线。

师：你能否也用一个式子表示这种数对的特点呢？（X=Y）

4.想象推理，巩固练习

①闭眼想象：A（3，2），B（6，2）连成线段，向上平移两格，平移后A、B分别在什么位置？

②想象推理：看下图，用数对表示B、D的位置。

③小结：通过以上那个两题的解答，你能找到什么规律？

生：上下平移时，行变列不变；左右平移时，列变行不变。

（评析：本环节的教学中通过游戏、想象、推理等多种形式加深学生对数对的理解，特别是借助想象，想象坐标中的各个点连成的线形状，想象一条线段平移后的位置，想象图形平移后各个点的位置，有效地发展学生的空间观念和推理能力。同时恰到好处地结合具体内容渗透数形结合思想与函数思想。）

四、联系生活实际，拓展数学视野

1.介绍数对的发明者：笛卡尔

2.数对在生活中的应用

①围棋中的数对（4，三） （16，十三）

②国际象棋中的数对（g，5）（e，3）

③地图中地理位置的确定：杭州富阳市大源镇（东经120度 ，北纬30度）

（评析：介绍笛卡尔“数对”的发明历史与数对在生活中的运用，让学生了解数学的文化，拓展其视野，从而进一步感悟数学与生活的联系，激发学好数学的情感。）

【总评】

1.递进式的问题驱动，凸显数学教学中的思维训练重点

数学是思维的科学，许老师在本节课的教学中，借助任务驱动的形式，向学生抛出一个又一个的学习任务，学生在完成一个又一个任务的过程中，不断地发生认知冲突，“同一个张亮为什么会有不同的位置？”“方格图表示与交叉点表示的联系区别”“请（a，a）位置的同学站起来”“怎样用式子表示这条直线的特点？”，学生也就在化解这些冲突中，锻炼了思维，提高了数学能力。

2.多样化教学方法的运用，凸显课堂教学的有效性

基于学生经验的学习，易引起思维的共鸣。本课通过让学生用自己喜欢的方式来表示自己所坐的位置，不仅从中了解了学生的认知基础，也为新知的学习提供了学习材料。在教学中教师多次运用操作、游戏等活动引导学生学习，借助想象图形的形状、想象推理等形式发展空间观念，在比较“不同表示形式中的共性”中感悟到要用两个数量表示位置，在比较“张亮的位置的不同表示方法”中感悟制定规则的重要，在比较“区域表示法与交叉点表示法”中感悟它们的差异与联系，在比较“特殊的系列数对”后探索它们的特点，在比较“平移前后长方形各顶点数对”后探寻其规律。同时，教师采用学练结合的方式，边学边练边巩固，学生在这样的课堂中学习，学科知识在增加，思维品质在提升。

3.紧密联系生活，适时渗透数学思想文化

数学的产生源自于生活实践，数学的教学同样离不开实际生活。在本节课的教学中，数学知识的引入、数学问题的探究、数学知识的拓展，都紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让学生在生活中看到数学。让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，在获得对数学知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。在学生经历生活问题数学化的过程中，适时地渗透函数思想、数形结合思想、辩证统一思想，最后适当补充了相关的数学历史文化方面的知识，既拓展了学生的视野，又提升了学生的数学素养。

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