具有随机资金流的一类效用优化问题研究

刘宣会　任芳国

摘 要 现实的金融市场上，当有重大信息出现时，会对股价产生冲击，使得股价产生跳跃，同时投资过程会有随机资金流的介入，考虑股价出现跳跃与随机资金流介入的投资组合优化问题，通过构造倒向-前向随机微分方程并结合随机最优控制理论研究了一般效用函数下的投资组合选择问题，获得最优投资组合策略，然后针对二次效用函数，给出显式表示的最优投资组合策略.

关键词 效用函数；投资组合优化；马尔科夫链；倒向前向随机微分方程；随机资金流

中图分类号 F830.48 文献标识码 A

1 引 言

连续时间的随机最优问题最早是由Merton^[1]提出的，在金融市场系数为确定性函数，而股票价格由Brown运动驱动时，运用动态规划的HJB方程分别给出了效用函数为对数和指数时显式表示的最优投资组合策略. 文献[2]发展一种鞅方法来解投资组合的效用优化问题，首先运用鞅的表示定理确保存在一个投资组合过程可以到达可容许的财富过程，然后运用凸分析得到最优的财富. 文献[3]研究了具有马尔科夫调制参数的连续时间均值方差投资组合选择问题，他们假设风险资产的价格是时间和马尔科夫调制参数的函数，而债券的价格不含马尔科夫调制参数，给出了最优投资组合策略和有效前沿，但不足之处是，他们允许财富过程取负值，理由是假若限制财富过程为正值对于采用随机控制来处理上述问题会带来很大的困难，文献[4-5]上考虑重要微观经济因素对股价的影响，建立具有负债因素与马尔科夫调制参数的连续时间的均值方差

投资组合模型，采用推广的随机LQ控制与随机极大值原理得到最优投资组合策略.

以上的研究一般是在风险资产价格由Brown驱动，金融市场系数包含马尔科夫调制参数与不包含马尔科夫调制参数的投资组合优化问题.但在现实的金融市场上，当有重大信息出现时，会对股价产生冲击，使得股价产生跳跃，同时投资过程会有随机资金流的介入，考虑以下两种情况：

① 股价出现跳跃，

②考虑具有随机资金流的介入.

研究一般的效用函数研究了投资组合优化问题，在这里提出一种倒向前向的随机微分方程，结合随机最优控制方法得到了一般的效用函数下的最优投资组合策略，然后对二次效用函数给出了显式表示的最优投资组合策略.

5 结 论

在股票的价格受布朗运动和泊松跳驱动，研究一般效用优化问题，通过构造倒向前向随机微分方程，运用随机控制方法，得到最优投资组合策略，然后运用上述结论给出了在二次效用函数下的最优投资组合策略.

参考文献

[1] R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-timecase[J]. Rev Econom.Statist， 1969， 51： 247-257.

[2] IKARATAZS. Optimal portfolio and consum-ption decisions for a small investor on a finite horizon[J]. SIAM J Control Optim，1987，25：1157-1586.

[3] ZHOUXUN-YU. Markowitzs Mean-Variance portfolio selection with regime switching：a continuous-timemodel[J].SIAM Control optim，2003，42（4）：1466-1482.

[4] Shu-xiang XIE. Continuous-time mean-variance portfolio selection with liability and regime switching[J]. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，45：148-155.

[5] G B DIMASI. Mean-Variance hedging of options of stocks with Markov volatility[J]. Theory Probab.Appl.，1994，39：173-181.endprint

摘 要 现实的金融市场上，当有重大信息出现时，会对股价产生冲击，使得股价产生跳跃，同时投资过程会有随机资金流的介入，考虑股价出现跳跃与随机资金流介入的投资组合优化问题，通过构造倒向-前向随机微分方程并结合随机最优控制理论研究了一般效用函数下的投资组合选择问题，获得最优投资组合策略，然后针对二次效用函数，给出显式表示的最优投资组合策略.

关键词 效用函数；投资组合优化；马尔科夫链；倒向前向随机微分方程；随机资金流

中图分类号 F830.48 文献标识码 A

1 引 言

连续时间的随机最优问题最早是由Merton^[1]提出的，在金融市场系数为确定性函数，而股票价格由Brown运动驱动时，运用动态规划的HJB方程分别给出了效用函数为对数和指数时显式表示的最优投资组合策略. 文献[2]发展一种鞅方法来解投资组合的效用优化问题，首先运用鞅的表示定理确保存在一个投资组合过程可以到达可容许的财富过程，然后运用凸分析得到最优的财富. 文献[3]研究了具有马尔科夫调制参数的连续时间均值方差投资组合选择问题，他们假设风险资产的价格是时间和马尔科夫调制参数的函数，而债券的价格不含马尔科夫调制参数，给出了最优投资组合策略和有效前沿，但不足之处是，他们允许财富过程取负值，理由是假若限制财富过程为正值对于采用随机控制来处理上述问题会带来很大的困难，文献[4-5]上考虑重要微观经济因素对股价的影响，建立具有负债因素与马尔科夫调制参数的连续时间的均值方差

投资组合模型，采用推广的随机LQ控制与随机极大值原理得到最优投资组合策略.

以上的研究一般是在风险资产价格由Brown驱动，金融市场系数包含马尔科夫调制参数与不包含马尔科夫调制参数的投资组合优化问题.但在现实的金融市场上，当有重大信息出现时，会对股价产生冲击，使得股价产生跳跃，同时投资过程会有随机资金流的介入，考虑以下两种情况：

① 股价出现跳跃，

②考虑具有随机资金流的介入.

研究一般的效用函数研究了投资组合优化问题，在这里提出一种倒向前向的随机微分方程，结合随机最优控制方法得到了一般的效用函数下的最优投资组合策略，然后对二次效用函数给出了显式表示的最优投资组合策略.

5 结 论

在股票的价格受布朗运动和泊松跳驱动，研究一般效用优化问题，通过构造倒向前向随机微分方程，运用随机控制方法，得到最优投资组合策略，然后运用上述结论给出了在二次效用函数下的最优投资组合策略.

参考文献

[1] R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-timecase[J]. Rev Econom.Statist， 1969， 51： 247-257.

[2] IKARATAZS. Optimal portfolio and consum-ption decisions for a small investor on a finite horizon[J]. SIAM J Control Optim，1987，25：1157-1586.

[3] ZHOUXUN-YU. Markowitzs Mean-Variance portfolio selection with regime switching：a continuous-timemodel[J].SIAM Control optim，2003，42（4）：1466-1482.

[4] Shu-xiang XIE. Continuous-time mean-variance portfolio selection with liability and regime switching[J]. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，45：148-155.

[5] G B DIMASI. Mean-Variance hedging of options of stocks with Markov volatility[J]. Theory Probab.Appl.，1994，39：173-181.endprint

摘 要 现实的金融市场上，当有重大信息出现时，会对股价产生冲击，使得股价产生跳跃，同时投资过程会有随机资金流的介入，考虑股价出现跳跃与随机资金流介入的投资组合优化问题，通过构造倒向-前向随机微分方程并结合随机最优控制理论研究了一般效用函数下的投资组合选择问题，获得最优投资组合策略，然后针对二次效用函数，给出显式表示的最优投资组合策略.

关键词 效用函数；投资组合优化；马尔科夫链；倒向前向随机微分方程；随机资金流

中图分类号 F830.48 文献标识码 A

1 引 言

连续时间的随机最优问题最早是由Merton^[1]提出的，在金融市场系数为确定性函数，而股票价格由Brown运动驱动时，运用动态规划的HJB方程分别给出了效用函数为对数和指数时显式表示的最优投资组合策略. 文献[2]发展一种鞅方法来解投资组合的效用优化问题，首先运用鞅的表示定理确保存在一个投资组合过程可以到达可容许的财富过程，然后运用凸分析得到最优的财富. 文献[3]研究了具有马尔科夫调制参数的连续时间均值方差投资组合选择问题，他们假设风险资产的价格是时间和马尔科夫调制参数的函数，而债券的价格不含马尔科夫调制参数，给出了最优投资组合策略和有效前沿，但不足之处是，他们允许财富过程取负值，理由是假若限制财富过程为正值对于采用随机控制来处理上述问题会带来很大的困难，文献[4-5]上考虑重要微观经济因素对股价的影响，建立具有负债因素与马尔科夫调制参数的连续时间的均值方差

投资组合模型，采用推广的随机LQ控制与随机极大值原理得到最优投资组合策略.

以上的研究一般是在风险资产价格由Brown驱动，金融市场系数包含马尔科夫调制参数与不包含马尔科夫调制参数的投资组合优化问题.但在现实的金融市场上，当有重大信息出现时，会对股价产生冲击，使得股价产生跳跃，同时投资过程会有随机资金流的介入，考虑以下两种情况：

① 股价出现跳跃，

②考虑具有随机资金流的介入.

研究一般的效用函数研究了投资组合优化问题，在这里提出一种倒向前向的随机微分方程，结合随机最优控制方法得到了一般的效用函数下的最优投资组合策略，然后对二次效用函数给出了显式表示的最优投资组合策略.

5 结 论

在股票的价格受布朗运动和泊松跳驱动，研究一般效用优化问题，通过构造倒向前向随机微分方程，运用随机控制方法，得到最优投资组合策略，然后运用上述结论给出了在二次效用函数下的最优投资组合策略.

参考文献

[1] R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-timecase[J]. Rev Econom.Statist， 1969， 51： 247-257.

[2] IKARATAZS. Optimal portfolio and consum-ption decisions for a small investor on a finite horizon[J]. SIAM J Control Optim，1987，25：1157-1586.

[3] ZHOUXUN-YU. Markowitzs Mean-Variance portfolio selection with regime switching：a continuous-timemodel[J].SIAM Control optim，2003，42（4）：1466-1482.

[4] Shu-xiang XIE. Continuous-time mean-variance portfolio selection with liability and regime switching[J]. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，45：148-155.

[5] G B DIMASI. Mean-Variance hedging of options of stocks with Markov volatility[J]. Theory Probab.Appl.，1994，39：173-181.endprint