2.5维C/SiC复合材料板弹性参数识别方法研究

陆 韬， 姜 东， 吴邵庆， 费庆国

(1. 东南大学 工程力学系,南京 210096;2. 江苏省工程力学分析重点实验室,南京 210096)

2.5维C/SiC复合材料板弹性参数识别方法研究

陆 韬1,2， 姜 东1,2， 吴邵庆1,2， 费庆国1,2

(1. 东南大学 工程力学系,南京 210096;2. 江苏省工程力学分析重点实验室,南京 210096)

以大型商业有限元软件NASTRAN为计算平台，提出了基于模态试验结果的2.5维C/SiC复合材料板弹性参数识别方法。基于复合材料板的模态试验结果，采用模型修正的思想构造优化问题，其中目标函数定义为实测模态频率与计算频率之差的平方和，将以刚度平均法获得的复合材料弹性参数的理论预测值作为优化问题的初值，充分利用了材料参数的先验信息，然后对材料参数进行灵敏度分析，通过迭代求解识别出复合材料板的弹性参数。识别后，C/SiC复合材料板第1-4阶模态频率的复现精度明显提高，并能保证第5-8阶模态频率的预示精度。研究结果表明，方法能准确识别2.5维编织C/SiC复合材料的弹性参数，并为复合材料等效建模以及进一步动态特性研究提供参考。

C/SiC复合材料；弹性参数识别；刚度平均法；模型修正

新型2.5维编织C/SiC复合材料具有比重小、比强度和比模量大等优点，克服了2维编织复合材料层间性能差和3维编织复合材料制作工艺复杂、成本高、生产周期长等缺点，具有较好的综合性能，在航空航天、交通、建筑等领域得到了广泛的应用[1]，对其等效弹性参数的研究是力学分析的基础。

对2.5维编织复合材料等效弹性参数的研究主要有理论分析、有限元计算和静力试验等手段。Dalmaz等[2]从理论分析角度出发，基于Esheby模型预测了材料的等效弹性模量。董伟锋等[3-4]分别采用刚度平均法和有限元法预测了2.5维编织复合材料的弹性性能及其随编织参数的变化规律。郑君等[5]基于经纱矩形截面，纬纱双凸透镜截面假设，分析了2.5维编织复合材料的细观结构，建立了该复合材料的单胞几何模型。孔春元等[6]预测了微观尺度和单胞尺度模型下2.5维编织C/SiC复合材料的刚度。李双蓓等[7]开展了基于有限元法的正交各向异性复合材料结构的建模及弹性参数识别。然而，理论分析方法与有限元建模预测方法需要基于一定的假设，有待于试验数据验证；静力试验能获得复合材料板面内弹性模量，而面外弹性模量和剪切模量较难通过试验测量直接得到。为了得到经过试验数据验证的准确的等效弹性参数，考虑间接方法，利用试验数据来识别初始有限元模型，以获得较为准确可信的复合材料弹性参数。复合材料板的模态试验结果精度较高，对材料的损伤较小，利用复合材料板的模态试验结果识别其弹性参数具有较好的实用价值。

利用模态试验结果通过灵敏度方法识别材料弹性参数时，参数初值的选取会影响最终识别结果的精度[7]，本文基于对2.5维编织C/SiC复合材料细观结构的理论研究，采用刚度平均法获得近似的弹性参数，作为基于模态试验数据进行材料弹性参数识别的初值，利用该初值进行复合材料板有限元模型的模态分析，进而根据板的模态试验结果，采用基于灵敏度分析的模型修正方法，识别2.5维编织C/SiC复合材料板的等效弹性参数。

1 理论基础

1.1 2.5维C/SiC复合材料弹性参数等效理论

根据经纱与纬纱排列方式的不同，2.5维编织复合材料分为层与层浅交弯联和层与层浅交直联两种结构形式，浅交直联复合材料细观几何如图1所示，红色方框内为其单胞模型。

从细观结构出发分析复合材料的力学性能，单胞内纱线的几何形状应满足如下假设[5]：

(1) 纬纱的截面为双凸透镜形状，且沿长度方向是均匀的，截面形状保持不变；

(2) 经纱的截面为矩形，编织轨迹可以由圆弧和与(圆圈表示纬纱，曲线表示经纱)

其相切的直线连接而成；以正弦曲线形状稳定、均匀排列，且变形率一致。

图1 浅交直联复合材料细观几何形状(圆圈表示纬纱，曲线表示经纱)Fig.1 Mesoscopic geometry of straight-joint composites

图2 分析模型的局部坐标系示意图Fig.2 Diagram of local coordinates of analytical model

将纤维束看作横观各向同性材料，选取2.5维编织复合材料的Y-Z截面进行分析，图2为分析模型的坐标示意图。基于细观几何假设，纬纱纤维束方向垂直于Y-Z平面沿X轴，其材料的主方向与整体坐标系的方向正交，经纱纤维束在Y-Z平面内沿正弦曲线分布，θ为经纱切线表征角，取其纤维束长度方向为3方向，则1-2面为各向同性面。

将经纱纤维束的柔度矩阵沿经纱编织曲线积分，求其线平均值可得经纱的平均柔度矩阵[3]，纤维束的刚度矩阵可由柔度矩阵求逆得出。根据单元体内各组成纱线的空间取向，通过转轴矩阵将纱线局部坐标系(O-123)下的刚度矩阵转换到材料整体坐标系(O-123)下：

(i=j,w)

(1)

下标j、w分别表示经纱和纬纱，C′为局部坐标系下的刚度矩阵，T为应力转换矩阵。

假设复合材料孔洞只存在于基体中，Vj、Vw、Vk分别为经、纬纱线和孔洞的体积分数，Vm=1-Vj-Vw-Vk为基体的体积分数。由纱线和基体的刚度矩阵及各自的体积分数按照刚度平均法[8- 9]可求得复合材料的总体刚度矩阵为

C=VjCj+VwCw+VmCm

(2)

Cj、Cw、Cm分别为经纱、纬纱和基体在整体坐标系下的刚度矩阵。

2.5维编织复合材料假设为正交各向异性材料，用工程弹性常数表示的正交各向异性材料的刚度矩阵系数Cij为

(3)

刚度矩阵求逆得到柔度矩阵，由柔度矩阵系数Sij可以求得复合材料的弹性参数为

(4)

理论预测中纤维束几何形状的简化，纤维孔隙率的近似等不确定性因素导致分析得到的弹性参数必然存在误差，而模态试验结果可以较为准确的反映结构的动态特性，因而可以根据模态试验结果对复合材料的弹性参数进别。

1.2 基于灵敏度方法的弹性参数识别

以刚度平均法获得的弹性参数作为初值，建立复合材料结构的有限元模型，采用模型修正的思想，将弹性参数识别归结为如下的优化问题[10-12]：

(5)

其中εf={fE}-{fA(p)}，p代表设计参数，εf为复合材料结构动态特性的试验值{fE}与分析值{fA}的残差，称为残差项，VLB,VUB是弹性参数p的取值范围变化的上下限。Wε是加权矩阵，在一般情况下取Wε=[diag(fE)]-2。

假设弹性参数的真值为p，采用刚度平均法获得的初值为p0，则复合材料结构的特征值和振型矩阵Λ,Φ根据一阶泰勒公式在p0点展开为

(6)

其中∂*/∂pj代表矩阵*对第j个弹性参数的偏导，Δpj是弹性参数的修正量，N为弹性参数个数。

将式(6)的两个方程写成矩阵形式有：

SΔp=R

(7)

其中S是由特征值和模态振型对弹性参数的偏导构成的雅可比矩阵，一般称为灵敏度矩阵。Δp为弹性参数修正值向量，R是试验和计算动态特性的残差向量。

以上弹性参数识别方法可以表示为图3，对试验和计算得到的模态振型进行匹配，进行参数的灵敏度分析，选取合适的修正参数并迭代求解参数的修正量直至收敛，最终得到复合材料精确的弹性参数。

图3 复合材料弹性参数识别流程图Fig.3 Elastic parameter identification flowchart of the composites

2 2.5维C/SiC复合材料板的弹性参数识别

2.1 弹性参数等效分析

根据表1给出的2.5维编织复合材料中纤维和基体的性能参数，采用刚度平均法求得复合材料的弹性参数，如表2中所示。在有限元分析软件MSC/PATRAN中建立该2.5维编织C/SiC复合材料板的有限元模型，并进行自由边界条件下的模态分析，图4为复合材料板的前四阶振型图。

表1 2.5维编织复合材料中纤维和基体的性能参数

图4 复合材料板的前四阶振型图Fig.4 The first four modes of the composite plate

E11/GPaE22/GPaE33/GPaG12/GPaG23/GPaG31/GPaμ12μ23μ1393．67100．9479．5030．1428．5327．850．20．250．25

2.2 模态置信度分析

开展上述2.5维编织C/SiC复合材料板的模态试验，边界条件为自由-自由，采用锤击法施加激励力，施力方向和加速度传感器安装方向均垂直于板面，采用动态信号数据采集与分析仪获得板的各阶模态频率和振型，利用模态置信度(Modal Assurance Criterion，MAC)对基于有限元模型的模态分析结果与试验结果进行了相关性分析。模态置信度也称为振型相关系数，通常采用以下定义：

(8)

MACij代表试验模型第i阶振型与有限元模型第j阶振型之间的相关系数；Φ表示振型；上标e、a分别表示试验模型与有限元模型；i、j表示振型阶数；T代表共轭转置。当MAC值为1时，表示两个振型完全相关，为0则表示不相关。图5为试验与计算的前四阶模态置信度结果，可以看出各阶模态置信度均大于0.9，表明试验和计算前四阶模态振型匹配结果较好。

图5 试验与计算前四阶模态置信度Fig.5 MAC between the analytical model and experimental data

2.3 弹性参数灵敏度分析

首先由MSC/NASTRAN计算得到各阶模态频率对正交各向异性材料刚度系数的灵敏度，再根据公式(3)，由刚度系数对相应的弹性参数求偏导，即刚度系数对材料弹性参数的灵敏度如式(9)所示：

(9)

将模态频率对刚度系数的灵敏度列向量和刚度系数对弹性参数的灵敏度列向量对应元素相乘，可求得模态频率对材料弹性参数的灵敏度矩阵，进一步求得前八阶计算模态频率对正交各向异性复合材料9个独立弹性参数的相对灵敏度如图6中所示：

图6 前八阶模态频率对弹性参数的相对灵敏度Fig.6 The relative sensitivity of the first eight modal frequencies to elastic parameters

由图6中的结果可以看出，复合材料板的面内弹性模量E11、E22以及剪切模量G12对各阶模态频率相对灵敏度较高。因此选择这三个弹性参数作为待识别的设计参数。

2.4 基于灵敏度方法的弹性参数识别

选取前四阶计算和试验模态进行弹性参数识别，以E11、E22、G12为待识别参数，利用在Matlab中编写的程序实现识别过程中的迭代优化计算。三个弹性参数和前四阶计算模态频率相对于初值随迭代次数的变化率分别如图7和图8中所示，弹性参数值和模态频率值在迭代25次后趋于收敛，且相对于初值的变化率绝对值分别在5%和2%以内，可见根据平均刚度法计算得到的材料参数初值能够粗略反映材料的弹性特征，经过试验模态数据识别后更加精确。

图7 弹性参数收敛曲线Fig.7 Convergence curves of elastic parameters

弹性参数值E11E22G12识别前/GPa识别后/GPa变化率/%93．6791．33-2．50100．9499．21-1．7130．1429．00-3．78

图8 前四阶模态频率收敛曲线Fig.8 Convergence curves of the first four modal frequencies

设计弹性参数E11、E22、G12理论预测值及识别后的值见表3。

为了验证弹性参数识别结果的准确性，将识别后的弹性参数值代入有限元模型重新进行模态分析，考察前8阶模态振型的模态置信度，1-4阶模态频率的复现精度，以及5-8阶模态频率的预示精度[13]。由图9可知，识别后的计算与试验模态振型匹配较好，各阶模态置信度均在0.9以上，由表4可得，1-4阶模态频率的复现误差平均值由2.24%减小到0.75%，5-8阶模态频率的预示误差平均值由2.45%减小到1.71%。以上结果说明识别后复合材料弹性参数更加准确。

图9 识别后试验与计算前八阶模态置信度Fig.9 Correlation between the identified model and experimental data

模态阶次12345678试验频率/Hz98．71158．48181．02271．98426．41473．61505．42531．87计算修正前/Hz100．40164．86183．73276．55442．43483．07501．24548．94频率误差/%1．714．041．511．683．762．00-0．833．21修正后/Hz98．56162．54181．72272．08436．32475．43502．17541．91误差/%-0．152．450．380．032．320．38-0．641．88

3 结 论

本文采用刚度平均法获得2.5维编织C/SiC复合材料的弹性参数，作为初始有限元模型的建模参数，根据初始有限元模型的模态分析结果以及复合材料板的模态试验结果，采用基于灵敏度方法的模型修正技术准确的识别了复合材料板弹性参数，识别得到的弹性参数能更好的反映结构的真实动态特性。相比于单纯的理论计算或者静力试验，应用本文中的方法能够识别对复合材料动态特性灵敏度较高的弹性参数，包括静力试验较难直接测得的面内剪切模量，能准确求得2.5维编织C/SiC复合材料准确的弹性性能，为2.5维编织C/SiC复合材料的精确等效建模以及进一步的动态特性研究提供了较好的参考价值。

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Elastic parameter identification of a 2.5D C/SiC composite plate

LU Tao1,2, JIANG Dong1,2, WU Shao-qing1,2, FEI Qing-guo1,2

(1. Department of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China;2. Jiangsu Provincial Key Laboratory of Engineering Mechanics, Nanjing 210096, China)

By using the large commercial finite element software NASTRAN, a method for elastic parameters identification of a 2.5D C/SiC composite plate based on modal test data was proposed here. An optimization problem was formulated with the model updating technique, its objective function was defined as the sum of squares of the discrepancies between measured and calculated modal frequencies, the initial values of the elastic parameters were obtained by adopting the stiffness averaging method making full use of the prior information of the material parameters. Finally, the accurate elastic parameters of the composite plate were identified through a iteration process by using the sensitivity analysis method. The accuracy of the first 1-4 modal frequencies of the C/SiC composite plate was significantly improved after identification, and the predictive accuracy of the 5-8 modal frequencies could also be guaranteed. Results showed that the proposed method can accurately identify the elastic parameters of the 2.5D C/SiC composite plate, and it can provide an effective reference for dynamic design and equivalently modeling of composite materials.

C/SiC composite material; elastic parameter identification; stiffness averaging method; model updating

国家自然科学基金(10902024)；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-11-0086)；江苏省自然科学基金(BK2010397)；航空科学基金(20090869009)

2013-04-09 修改稿收到日期：2013-05-15

陆韬 男，硕士生，1989年10月生

费庆国 男，博士生导师，1977年生

TB332

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.008