Burr Type X分布参数的Bayes可靠性分析*

李 兰 平

(湖南财政经济学院 基础课部，长沙 410205)

0 引 言

Burr Type X分布是Burr(1942)最早提出的12种寿命分布之一[1]，在可靠性寿命试验和生存分析领域有着重要的应用.关于该分布的统计推断理论引起了很多学者的兴趣.文献[2]讨论了Burr Type X分布次序统计量的单样和双样预测问题；文献[3]讨论了含异常值的Burr Type X分布的Bayes预测问题；文献[4]在平方误差损失函数下讨论了Burr Type X分布作为可靠性寿命模型其失效率函数和可靠性函数的Bayes和经验Bayes估计问题；文献[5]研究了应力和强度均服从Burr Type X分布的应力强度干涉模型可靠度参数的估计；文献[6]研究了刻度Burr Type X分布模型下，应力、强度干涉模型可靠度参数的估计；文献[7]在含有污染数据情形下研究了Burr Type X分布模型下P(Y

设随机变量X为服从参数为θ的Burr Type X分布，相应的概率密度函数和分布函数分别为

f(x；θ)=2θxe-x2(1-e-x2)θ-1，x>0，θ>0

(1)

F(x；θ)=(1-e-x2)θ，x>0，θ>0

(2)

其中，θ>0为未知形状参数.

Bayes统计作为一类重要统计方法，已经被广泛应用到分布参数的统计推断中[8-10].此处将在平方误差和LINEX损失以及熵损失函数下讨论Burr Type X分布的未知形状参数θ的Bayes估计和经验Bayes估计问题.

1 极大似然估计

设X=(X1，X2，…，Xn)为来自Burr Type X分布(1)的容量为n的简单随机样本，x=(x1，x2，…，xn) 为相应的样本观测值，则给定样本观察值x=(x1，x2，…，xn)后参数θ的似然函数为

(3)

相应的对数似然函数

(4)

2 Bayes估计

在这一部分，将考虑在平方误差损失、LINEX损失和熵损失函数下讨论Burr Type X分布的参数Bayes估计问题.

(i) LINEX损失函数最早由Varian(1975)[10]提出，后由Zellner (1986)[11]应用到Bayes估计以及预测问题中，其函数表示形式为

L(Δ)=eaΔ-aΔ-1，a≠0

(5)

在LINEX损失式(5)下，参数θ的Bayes估计为

(6)

(ii) 熵损失函数为[12]

(7)

在熵损失函数下参数θ的Bayes估计为

(8)

定理1 设X=(X1，X2，…，Xn)为来自Burr Type X分布(1)的样本容量为n的简单随机样本，x=(x1，x2，…，xn) 为相应的样本观测值，t为T的观察值，并设参数θ的先验分布为伽玛分布Γ(α，β)，则

(i) 平方误差损失函数下，参数θ的Bayes估计为

(ii) LINEX损失函数下，参数θ的Bayes估计为

(iii) 熵损失函数下参数θ的Bayes估计为

证明由于参数θ的先验分布为共轭伽玛分布Γ(α，β)，即相应的概率密度函数为

再由式(3)及Bayes定理，参数θ的后验概率密度函数为

h(θ|x)∝l(θ)·π(θ；α，β)∝

θne-θtθα-1e-βθ∝θn+α-1e-(β+t)θ

(9)

从而θ的后验分布为Γ(n+α，β+t)，则有

(i) 在平方误差损失函数下，参数θ的Bayes估计为其后验均值，于是参数θ的Bayes估计为

(ii) 由式(9)有

于是在LINEX损失函数下，参数θ的Bayes估计为

(iii) 在熵损失函数下，参数θ的Bayes估计为

3 经验Bayes估计

在这一部分考虑参数θ的经验Bayes估计问题.以下设参数θ的先验分布为π(θ)=βe-βθ，θ>0，β>0.通过ML-II法获得超参数β的估计，进而可求得参数θ的经验Bayes估计.随机变量X的边缘概率密度函数为

基于m(x；β)，得到参数β的最大似然估计为

(10)

从而得到参数θ的经验Bayes估计分别为

(11)

4 数值模拟和结论

在这一部分，利用Monte Carlo数值模拟一组样本容量为20的样本观测值.

表1 θ=4的容量为20的Burr Type X样本观测值

(2) 给定先验参数值(α，β)=(3.0，1.0)，给定a=1和2，计算平方误差损失、LINEX损失和熵损失函数下得到的参数θ的Bayes估计分别为

由表1数值模拟例子和多次数值模拟知，随着样本容量n的增大，最大似然估计、Bayes估计和经验Bayes估计值都越来越接近真值，在有合适的先验分布选用时，建议采用Bayes估计或经验Bayes估计，否则建议采用最大似然估计.

参考文献：

[1] BURR I W. Cumulative Frequency Functions[J].Ann Math Statist，1942(13)：215-232

[2] SARTAWI H A，ABU-SALIH M S. Bayesian Prediction Bounds for the Burr Type X Model[J].Commun Statist Theory Methods，1991，20(7)：2307-2330

[3] JAHEEN Z F. Bayesian Approach to Prediction with Outliers from the Burr Type Model[J]. Microelectron Reliab，1995，35(1)：45-47

[4] JAHEEN Z F. Empirical Bayes Estimation of the Reliability and Failure Rate Functions of the Burr Type X Failure Rate Model[J].J Appl Statist Sci，1996，3(4)：281-288

[5] AHMAD K E，FAKHRY M E，JAHEEN Z F. Empirical Bayes Estimation of P(Y

[6] RAQAD M I，KUNDU D.Comparison of Different Estimators of P(Y

[7] KIM C，CHUNG Y. Bayesian Estimation of P(Y

[8] 王琪，李玮.对称熵损失函数下两参数广义指数分布形状参数的Bayes估计[J]. 重庆工商大学学报：自然科学版，2012(2)：1-4

[9] 任海平，宋允全.两个不同损失函数下一类分布族参数的Minimax估计[J].鲁东大学学报，2009，25(3)：201-205

[10] VARIAN H R. A Bayesian Approach to Real Estate Assessment[A].In：FIENBERG S E， ZELLNER A eds：Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J[C]. Savage North Holland：Amsterdam，1975：195-208

[11] ZELLNER A.Bayesian Estimation and Prediction Using Asymmetric Loss Functions[J]. J Amer Statist Assoc，1986(81)：446-451

[12] 张颂，王德辉.熵损失下定数Progressive删失情形Weibull分布尺度参数的估计[J].吉林大学学报：理学版，2011，50(2)：219-226