基于LMIs的核电站蒸汽发生器水位控制策略研究

周道曦，吴 婕，马晓茜

(1.华南理工大学 电力学院，广东 广州 510640；2.广东省能源高效清洁利用重点实验室，广东 广州 510640)

蒸汽发生器(SG)是核电站的重要设备，其水位控制对核电站的稳定安全运行至关重要。近年来，已有学者运用不同控制手段对核电站SG的水位控制进行了研究[1-5]，但传统线性建模及控制方案所遇到的主要困难来自于SG系统的不确定性、噪声影响和负荷的大范围变动带来的不稳定性。

H∞鲁棒控制已被应用于SG水位控制[6-7]，其与PID控制相结合对于某些对象体现了较好的控制性能[8-9]，但其控制系统设计中仍有待完善的方面：基于精确模型的机组控制策略不能应对系统由于建模误差或系统参数变化引发的不确定性。有学者在保证系统稳定性的前提下，借助线性矩阵不等式(LMIs)实现了对控制对象的跟踪控制[10-12]。跟踪控制在使H∞鲁棒控制快速追踪设定值方面有较佳性能，但将跟踪控制引入到SG的水位控制的研究较少。

线性系统的极点在复平面所处的位置决定了系统的稳态及动态特性。对于系统极点接近不稳定区域的对象，极点配置法已被证明为一种有效的控制策略，且极点配置的可解性问题可等价于LMIs的可行性问题[13-15]。SG水位控制过程中出现的不稳定性，其中一个重要原因在于系统的极点接近不稳定区域，如何综合利用极点配置和鲁棒控制系统对具不确定性的SG水位进行设计，目前鲜有文献报道。

本文针对具有一定不确定性的SG水位模型，通过分析其极点特性，借助LMIs设计状态反馈H∞鲁棒控制器、基于极点配置的H∞控制器以及H∞跟踪控制器，并借助Matlab的LMIs工具箱进行求解，在不同工况点下通过仿真对控制效果进行验证和比较，得出不同典型工况点下控制策略的特性，旨为核电站蒸汽发生器水位控制策略的选择提供参考。

1 核电站蒸汽发生器模型

针对Irving提出的SG水位简化传递函数模型[1]：

(1)

上述大部分参数是随着负荷变化的(表1)。

表1 SG模型参数在各稳定工作点的取值

考虑系统不确定性，改写式(1)为状态空间方程：

(2)

式中：x(t)=[x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)]T为状态变量；qe(t)为控制输入(u(t))；qv(t)为扰动量；y(t)为SG水位；z(t)为控制输出；w(t)为扰动输入；A、B1、B2、C1、C2、D1、D2为系统矩阵，其表达式为：

其中：

a22=-1/τ2，a33=-2/τ1，

b21=-G2/τ2，b31=G3，

c11=-G1，c21=G2/τ2

ΔA和ΔB1代表系统中存在的不确定性，假定其具有如下形式[16]：

ΔA(t)=H1F(t)E1,ΔB1(t)=H2F(t)E2

(3)

式中：F(t)∈Rα×β为一未知函数矩阵，称为不确定参数矩阵，满足FT(t)F(t)≤I，I为适当维数的单位矩阵；H1、H2、E1、E2为具有适当维数的常数矩阵。

2 控制器设计

2.1 H∞鲁棒状态反馈控制器

本节目的是设计H∞鲁棒状态反馈控制器u(t)=Kfx，使得对所有的不确定性，闭环系统

(4)

是渐进稳定的，且对于给定的H∞鲁棒性能指标正实数γ，有：

(5)

满足上述要求的增益Kf称为系统(2)的一个H∞状态反馈控制律[11]。

将u(t)=Kfx代入式(2)即可得到式(4)。下面引出定理1。

定理1[17]对于闭环系统(4)，存在一个形如u(t)=Kfx的状态反馈H∞控制器的重要条件是存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε1>0、ε2>0，以及H∞性能指标γ，使得以下矩阵不等式：

(6)

成立(式中*表示矩阵的对称元素)。若不等式存在可行解，状态反馈H∞控制器增益为：

Kf=YX-1

(7)

引理 1[16]对于适当维数的常数矩阵H和E及对称矩阵S，如果对于所有的F满足FT(t)F(t)≤I，矩阵不等式为：

S+HFE+ETFTHT<0

(8)

成立的条件是：当且仅当存在一个标量ε>0，满足：

S+εHHT+ε-1ETE<0

(9)

引理2[16](schur补定理) 对于给定的对称矩阵：

式中，Φ12=Φ21，且Φ11、Φ22为对称负定矩阵，则以下3个条件是等价的：

1)Φ11<0；

2.2 基于极点配置的H∞控制器

分析式(2)中矩阵A的极点，不难发现其比较接近复平面原点，这是SG水位控制较为复杂和困难的原因之一。

本节目的是设计基于极点配置的H∞状态反馈控制器，将具有一定不确定性的SG系统的所有极点配置在复平面左半平面一给定的圆域中，以保证其具有一定的稳态和动态性能。

下面引入定理2。

定理2[13]如果存在一个正定对称矩阵X和矩阵Y，以及正数ε1、ε2和ξ，满足以下矩阵不等式：

(10)

引理3[13]考虑带扰动的系统(4)，则每个系统特征值均位于O(d,r)内的充分条件是不等式：

(A+B1Kp+dI)X+X(A+B1Kp+dI)T+

(11)

存在正定对称的矩阵解X∈Rn×n，此时系统(4)是稳定的且能实现极点配置。

在定理2中，d和r分别代表配置极点所在圆域与复平面原点的距离和圆域半径，通过d和r的数值可确定系统极点所在圆域的大小。

2.3 H∞鲁棒跟踪控制器

由于H∞鲁棒状态反馈控制消除系统静态误差的性能较不理想，为改善控制器动态性能，本节将在2.1节的基础上，采用系统状态空间扩增维数的方法设计H∞鲁棒跟踪控制器[17]。同时，为便于比较控制效果，在2.1、2.2节提出的控制策略中均加入PID跟踪控制器。

考虑具有一定不确定性的系统(2)并设y(t)为水位输出信号，yref(t)为水位设定值，则闭环系统误差的积分形式为：

(12)

在式(2)上扩增一维误差积分项，可得到扩增后系统状态方程的确定部分：

(13)

或缩写为如下形式：

(14)

为使系统维数统一，方程中不确定参数常数矩阵H1、H2、E1和E2需相应扩增，扩增部分均为适当维数的零矩阵。

设Ki为扩增后的积分控制器增益，Kb为状态反馈控制器增益，对扩增后的系统(10)按2.1节设计H∞鲁棒状态反馈控制器，控制输入量形式为：

(15)

对应的跟踪控制系统如图1所示。

图1 SG的H∞鲁棒跟踪控制系统

至此，针对具有一定不确定性系统的H∞鲁棒跟踪控制器设计完毕。

3 仿真结果

以上3种控制策略，其参数的可解性问题均可转化为LMIs的可行性问题，经Matlab中包含的LMIs工具箱求解即可得到相应的控制增益。本节将基于表1所列的5个SG稳定工作点验证分析不同策略的控制效果。

本文利用Matlab的Simulink模块进行仿真试验，在试验中，5%、15%、30%、50%和100%负荷稳定工作点分别命名为1#～5#工况点。对于系统的不确定性所带来的参数变动，设定为±5%，鲁棒性能指标γ的取值在40～50之间变动。极点配置中参数r取值为10，d取值范围在0.5～1之间变动。

试验包括两项内容：水位跟踪及定值扰动。在稳定工作点参数下进行水位跟踪试验，设定水位在2 250 s时跃升500 mm，在跟踪进行至3 000 s时令扰动量蒸汽流量由稳定值跃升10%，借此考察不同控制策略的稳态及动态性能。

1#～5#工况点水位控制效果示于图2。

1#工况点下水位设定值跃升时，状态反馈H∞控制(下称鲁棒控制)的响应速度在3种控制策略中最快，但其超调量较大，无法快速跟踪水位设定值；极点配置鲁棒控制(下称极点控制)的响应速度与鲁棒控制相比稍慢，也产生一定超调，但能快速跟踪水位设定值，在3 600 s左右即稳定在设定值；鲁棒矩阵扩增跟踪控制(下称跟踪控制)的响应速度在三者之中最慢，但其超调量在三者之中最小，过渡平稳且无振荡，在4 000 s时基本实现了对水位的跟踪。在3 000 s时，可明显看出定值扰动给极点控制和跟踪控制下的水位带来的波动，但此波动对水位的跟踪影响较小；在2 250～3 500 s范围内，鲁棒控制下的水位一直处于振荡状态，故定值扰动给控制过程带来的影响不明显。当设定水位在4 250 s回到0 mm时，3种控制策略下的水位均出现了与3 250 s时相同的反向波动，这是因为给水流量忽然增大(减小)，SG内汽水混合物内能减少(增加)，导致体积暂时减小(增大)，水位反向变化。可看出，三者中跟踪控制受水位反向变化的影响最小。

在1#工况点，从稳定性的角度，跟踪控制在整个控制过程能平稳跟踪水位设定值，几乎未产生超调量，是3种控制策略中较优的；而从快速性的角度，跟踪控制表现较优。

在2#和3#工况点，随着负荷的增加，定值扰动量相应增大，但不同策略表现出的特性与1#工况点基本一致。

在4#工况点，不同策略体现出的特性与低负荷时不同。当水位设定值跃升时，响应速度最快的是鲁棒控制，其超调量及振荡较大，水位反向变化也较大。跟踪控制的响应速度较极点控制大，相应产生了较大的超调量。从时间上看，不同策略在接近4 000 s时，均能使水位稳定在设定值；从动态性能看，不同策略在水位跟踪的过程中产生了不同程度的振荡，其中极点控制振荡次数较少，超调量较小，动态性能较优。在3 000 s时，定值扰动使鲁棒控制产生了较大的振荡，也使跟踪控制下的水位产生了一定的振荡，但极点控制受其影响较小，体现了较好的鲁棒性。对于水位反向波动，极点控制也体现了较好的稳定性。

图2 1#～5#工况点水位控制效果

从稳定性的角度，极点控制能平缓接近水位设定值，超调量较小，其控制性能在此工况点是3种控制策略中较优的。

在5#工况点，定值扰动对水位的影响非常明显，这是因为随着负荷的上升，蒸汽流量增大，其扰动对水位的影响也逐渐增大。当水位设定值跃升时，响应速度从高到低依次为鲁棒控制、极点控制和跟踪控制。定值扰动使不同控制策略下的水位均产生了较大振荡，鲁棒控制与极点控制在3 800 s左右使水位稳定在设定值，但跟踪控制受扰动影响，在4 000 s尚未实现对水位的跟踪。这说明当扰动增大到一定程度，跟踪控制控制效果受到较大影响。

虽然极点控制在响应速度上稍慢于鲁棒控制，但其超调量较小，受水位反向波动影响也较小；与跟踪控制相比，极点控制在设定时间内能快速跟踪水位设定值。

综合1#～5#工况的仿真结果可知，在低负荷工况(5%、15%、30%)下极点控制能较快跟踪水位设定值，而跟踪控制表现出了较优的稳定性，上述工况点的仿真结果较为一致，实际应用中可采用同种控制策略；在中等负荷(50%)工况，极点控制体现了较好的稳定性和鲁棒性；在满负荷工况，定值扰动使水位产生了较大的振荡，影响了跟踪控制的控制效果，但极点控制仍表现出较好的稳定性和鲁棒性；鲁棒控制表现出较好的快速性。

4 结论

本文针对核电站蒸汽发生器(SG)水位模型，在系统具有一定不确定性的前提下，利用线性矩阵不等式(LMIs)设计了状态反馈H∞控制器，基于极点配置的H∞控制器以及H∞跟踪控制器，并在5%、15%、30%、50%和100%负荷稳定工作点考察了上述3种控制策略的特性。结果表明：在低负荷工况点，跟踪控制表现出了较好的稳定性和鲁棒性；鲁棒控制响应速度最快，但其稳定性和鲁棒性较为不足；极点控制在大多数工况点稳定性和响应速度介于其余两种控制策略之间，在中等及满负荷工况稳定性及鲁棒性较优。

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