数学，能赋予儿童什么？

黄红成

数学，能够赋予儿童什么？改变儿童什么？这个问题，笔者一直在探寻。曾经的认识是，数学是人类建构的产物。“学习就是在作结构的建构。”作为工具性学科，数学教学常常展现出其工具作用的一面：传授数学知识，让儿童形成数学技能，积累数学活动经验和数学思想，学生在知识体系、认知能力、语言表达等“认知结构”方面得到建立和发展。然而在《乘法分配律》的教学研讨中，让笔者又有了新的感悟：数学教学，在改变儿童的内部世界（认知结构、认识观、价值观等）的同时，也需要影响儿童的生活世界。

一、 常规教学及困惑

关于《乘法分配律》的教学，教师一般结合买服装的例题，让学生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，简单比较后，再让学生举例、交流，进而借助多组算式的分析凸显算式的特征和个中隐藏的规律，最后让学生感悟和总结出“两个数的和乘第三个数，可以把这两个数分别乘第三个数，再把两个积加起来”，并用符号和字母来表示，使乘法分配律的教学由图象性表征过渡到符号性表征。

作为一种关系结构，乘法分配律的两边是以不同数量的节点（具体的数或项）和联线（运算）组合而成。在特定的情境中，没有其他关系或结构的影响下，表示乘法分配律的关系结构一般是相对稳定的。但是如果受乘法交换律之类的关系结构的影响，由于两个关系结构的节点的数量和联结的方式比较相似，所以学生很容易将乘法分配律的关系结构纳入到乘法交换律的结构中去，造成关系结构的错乱和混淆。比如把（4×12）×25错误地与4×25+12×25等同起来。而且时间间隔得越长，学生在常规学习中获得的一点点感悟，就会逐渐变得模糊起来，以致出现“张冠李戴”的错误。

二、 教学改进及思考

如何避免“感悟”式教学带来的缺憾，帮助学生牢固而清晰地掌握乘法分配律，笔者进行了下面的实践探索。

改进教学一：

1.出示问题一：王大伯家有两块长方形菜地，第一块长10米，宽6米；第二块长8米，宽6米。两块菜地共多少平方米？

学生列式，说明两种不同算法的意义。

师：这种先分别求出两块菜地的面积，再算出共有多少平方米的思路，老师把它称为分着算。既然有分着算，你肯定会联想到什么算？怎样合着算呢？

生：合着算，不知道。

课件动画演示两个长方形合并成一个长方形的过程。如下图1和图2。

图1 图2

师：为什么能够合成一个大长方形？

生：因为两个长方形的宽是相同的。

师：从图中能看出两种列式思路吗？这两种列式的结果怎样？

学生回答。

板书：10×6+8×6=（10+8）×6

师：借助大长方形咱们找到解决问题的新思路，而且也能看出两道算式的结果是相等的。

2.出示例题（已改为“问题二”，如图3）。

学生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

师：通过计算或根据算式的意义都能说明两边的结果是相等的。不过，同学们有没有想过，能不能结合刚才的长方形来说明两种思路，判断结果的大小呢？

依次出示图4中的两个长方形。

师：老师这儿有两个长方形。第一个长方形长45，宽是25，45×25算的是什么？长方形的面积就可以表示45×25的积。那么65×25可以用一个怎样的长方形面积来表示呢？

生：用长65、宽25的长方形面积表示。

师：把这两个积相加，求出两个长方形的面积共是多少，这是分着算。能合着算吗？把这两个长方形怎样变化就能得到另一种思路啊？

生：合起来。

师：把什么重合？因为两个长方形的宽是？

生：相等的。

师：合起来怎么算？65+45在哪儿？就是大长方形的什么？25是什么？两个长方形的面积有没有变？面积的和会不会变？所以两道算式的结果？（出示图5）

师：借助长方形，不计算，咱们得到了两种解题思路，都能看出结果是相等的。

……

教学改进二：

练习环节，出示下图：

窗户 广告牌

冰箱 地砖

师：生活中也有乘法分配律，你找到了吗？

学生结合图片中的图形解释乘法分配律。

如果把儿童的数学学习看成是一种教师伴随的旅行，每天的数学学习看作是茫茫旅行中的一段。那么，儿童的学习行为可以看成是旅行中的行走方式，学生之于其中的“改变、丰富、发展”可以看作行走的“成效”，两者的表现就成为教学效果的呈现方式。从上面的教学中我们可以看出，数学教学不仅改变了儿童内在的认知结构，而且影响了儿童的数学行走方式和生活世界。

改变一：用模型思想观照数学。数学模型是一种数学结构。一个概念，就是若干对象由某种特定关系结合组成的结构。而且在学生的知识体系和认知结构中，数学概念和结构常以符号、图式、模型等方式存在于儿童的头脑中。可见，数学概念教学的效果取决于是否建立了有助于儿童数学理解的数学模型，和特定关系组成的结构是否清晰、稳固。如果教学方式不妥、教学手段单一，学生对概念的感知不够深刻，很难准确把握对象的本质特征，建构起清晰的认知结构。在上面的教学中，笔者采用了帮助学生建构数学模型的方式展开教学，学生借助直观的图形演示，发现乘法分配律两边的特征，通过沟通知识间联系的形式建立节点间的关系，借助符号和图式等方式固化学生的认知结构，并能长时间地储存在记忆中。

改变二：用数学感觉意识生活。认知结构除了有助于信息的存贮、记忆和操作处理外，还有促进理解的功能。学习一个数学概念、原理、法则、性质、规律，如果在心理上组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，就实现理解了。“乘法分配律”的学习的混淆与运用的偏差，本质上说就是学生没有理解这一运算规律。上述教学中，学生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因为笔者并没有将教学停止于帮助学生建构数学模型，也没有局限在单一的书本练习，而是在运用中，适时地让学生反复再现能够表示乘法分配律的模型，并结合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的图案，让学生感悟生活中的“乘法分配律”。这样，就可以刺激学生有意识地从众多的生活对象中寻找数学规律，以致能够自觉地运用个体数学感觉来意识生活中的事物。试想，有了这样的学习方式，学生还会把乘法分配律与其他规律混淆吗？还不会运用规律正确解决问题吗？

丰富了儿童的认知结构，也影响儿童的生活世界！这不仅是数学教学的目标，也是数学教学的至高追求，更应该是数学馈赠给儿童的最好“礼物”！

【责任编辑：陈国庆】endprint

数学，能够赋予儿童什么？改变儿童什么？这个问题，笔者一直在探寻。曾经的认识是，数学是人类建构的产物。“学习就是在作结构的建构。”作为工具性学科，数学教学常常展现出其工具作用的一面：传授数学知识，让儿童形成数学技能，积累数学活动经验和数学思想，学生在知识体系、认知能力、语言表达等“认知结构”方面得到建立和发展。然而在《乘法分配律》的教学研讨中，让笔者又有了新的感悟：数学教学，在改变儿童的内部世界（认知结构、认识观、价值观等）的同时，也需要影响儿童的生活世界。

一、 常规教学及困惑

关于《乘法分配律》的教学，教师一般结合买服装的例题，让学生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，简单比较后，再让学生举例、交流，进而借助多组算式的分析凸显算式的特征和个中隐藏的规律，最后让学生感悟和总结出“两个数的和乘第三个数，可以把这两个数分别乘第三个数，再把两个积加起来”，并用符号和字母来表示，使乘法分配律的教学由图象性表征过渡到符号性表征。

作为一种关系结构，乘法分配律的两边是以不同数量的节点（具体的数或项）和联线（运算）组合而成。在特定的情境中，没有其他关系或结构的影响下，表示乘法分配律的关系结构一般是相对稳定的。但是如果受乘法交换律之类的关系结构的影响，由于两个关系结构的节点的数量和联结的方式比较相似，所以学生很容易将乘法分配律的关系结构纳入到乘法交换律的结构中去，造成关系结构的错乱和混淆。比如把（4×12）×25错误地与4×25+12×25等同起来。而且时间间隔得越长，学生在常规学习中获得的一点点感悟，就会逐渐变得模糊起来，以致出现“张冠李戴”的错误。

二、 教学改进及思考

如何避免“感悟”式教学带来的缺憾，帮助学生牢固而清晰地掌握乘法分配律，笔者进行了下面的实践探索。

改进教学一：

1.出示问题一：王大伯家有两块长方形菜地，第一块长10米，宽6米；第二块长8米，宽6米。两块菜地共多少平方米？

学生列式，说明两种不同算法的意义。

师：这种先分别求出两块菜地的面积，再算出共有多少平方米的思路，老师把它称为分着算。既然有分着算，你肯定会联想到什么算？怎样合着算呢？

生：合着算，不知道。

课件动画演示两个长方形合并成一个长方形的过程。如下图1和图2。

图1 图2

师：为什么能够合成一个大长方形？

生：因为两个长方形的宽是相同的。

师：从图中能看出两种列式思路吗？这两种列式的结果怎样？

学生回答。

板书：10×6+8×6=（10+8）×6

师：借助大长方形咱们找到解决问题的新思路，而且也能看出两道算式的结果是相等的。

2.出示例题（已改为“问题二”，如图3）。

学生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

师：通过计算或根据算式的意义都能说明两边的结果是相等的。不过，同学们有没有想过，能不能结合刚才的长方形来说明两种思路，判断结果的大小呢？

依次出示图4中的两个长方形。

师：老师这儿有两个长方形。第一个长方形长45，宽是25，45×25算的是什么？长方形的面积就可以表示45×25的积。那么65×25可以用一个怎样的长方形面积来表示呢？

生：用长65、宽25的长方形面积表示。

师：把这两个积相加，求出两个长方形的面积共是多少，这是分着算。能合着算吗？把这两个长方形怎样变化就能得到另一种思路啊？

生：合起来。

师：把什么重合？因为两个长方形的宽是？

生：相等的。

师：合起来怎么算？65+45在哪儿？就是大长方形的什么？25是什么？两个长方形的面积有没有变？面积的和会不会变？所以两道算式的结果？（出示图5）

师：借助长方形，不计算，咱们得到了两种解题思路，都能看出结果是相等的。

……

教学改进二：

练习环节，出示下图：

窗户 广告牌

冰箱 地砖

师：生活中也有乘法分配律，你找到了吗？

学生结合图片中的图形解释乘法分配律。

如果把儿童的数学学习看成是一种教师伴随的旅行，每天的数学学习看作是茫茫旅行中的一段。那么，儿童的学习行为可以看成是旅行中的行走方式，学生之于其中的“改变、丰富、发展”可以看作行走的“成效”，两者的表现就成为教学效果的呈现方式。从上面的教学中我们可以看出，数学教学不仅改变了儿童内在的认知结构，而且影响了儿童的数学行走方式和生活世界。

改变一：用模型思想观照数学。数学模型是一种数学结构。一个概念，就是若干对象由某种特定关系结合组成的结构。而且在学生的知识体系和认知结构中，数学概念和结构常以符号、图式、模型等方式存在于儿童的头脑中。可见，数学概念教学的效果取决于是否建立了有助于儿童数学理解的数学模型，和特定关系组成的结构是否清晰、稳固。如果教学方式不妥、教学手段单一，学生对概念的感知不够深刻，很难准确把握对象的本质特征，建构起清晰的认知结构。在上面的教学中，笔者采用了帮助学生建构数学模型的方式展开教学，学生借助直观的图形演示，发现乘法分配律两边的特征，通过沟通知识间联系的形式建立节点间的关系，借助符号和图式等方式固化学生的认知结构，并能长时间地储存在记忆中。

改变二：用数学感觉意识生活。认知结构除了有助于信息的存贮、记忆和操作处理外，还有促进理解的功能。学习一个数学概念、原理、法则、性质、规律，如果在心理上组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，就实现理解了。“乘法分配律”的学习的混淆与运用的偏差，本质上说就是学生没有理解这一运算规律。上述教学中，学生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因为笔者并没有将教学停止于帮助学生建构数学模型，也没有局限在单一的书本练习，而是在运用中，适时地让学生反复再现能够表示乘法分配律的模型，并结合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的图案，让学生感悟生活中的“乘法分配律”。这样，就可以刺激学生有意识地从众多的生活对象中寻找数学规律，以致能够自觉地运用个体数学感觉来意识生活中的事物。试想，有了这样的学习方式，学生还会把乘法分配律与其他规律混淆吗？还不会运用规律正确解决问题吗？

丰富了儿童的认知结构，也影响儿童的生活世界！这不仅是数学教学的目标，也是数学教学的至高追求，更应该是数学馈赠给儿童的最好“礼物”！

【责任编辑：陈国庆】endprint

数学，能够赋予儿童什么？改变儿童什么？这个问题，笔者一直在探寻。曾经的认识是，数学是人类建构的产物。“学习就是在作结构的建构。”作为工具性学科，数学教学常常展现出其工具作用的一面：传授数学知识，让儿童形成数学技能，积累数学活动经验和数学思想，学生在知识体系、认知能力、语言表达等“认知结构”方面得到建立和发展。然而在《乘法分配律》的教学研讨中，让笔者又有了新的感悟：数学教学，在改变儿童的内部世界（认知结构、认识观、价值观等）的同时，也需要影响儿童的生活世界。

一、 常规教学及困惑

关于《乘法分配律》的教学，教师一般结合买服装的例题，让学生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，简单比较后，再让学生举例、交流，进而借助多组算式的分析凸显算式的特征和个中隐藏的规律，最后让学生感悟和总结出“两个数的和乘第三个数，可以把这两个数分别乘第三个数，再把两个积加起来”，并用符号和字母来表示，使乘法分配律的教学由图象性表征过渡到符号性表征。

作为一种关系结构，乘法分配律的两边是以不同数量的节点（具体的数或项）和联线（运算）组合而成。在特定的情境中，没有其他关系或结构的影响下，表示乘法分配律的关系结构一般是相对稳定的。但是如果受乘法交换律之类的关系结构的影响，由于两个关系结构的节点的数量和联结的方式比较相似，所以学生很容易将乘法分配律的关系结构纳入到乘法交换律的结构中去，造成关系结构的错乱和混淆。比如把（4×12）×25错误地与4×25+12×25等同起来。而且时间间隔得越长，学生在常规学习中获得的一点点感悟，就会逐渐变得模糊起来，以致出现“张冠李戴”的错误。

二、 教学改进及思考

如何避免“感悟”式教学带来的缺憾，帮助学生牢固而清晰地掌握乘法分配律，笔者进行了下面的实践探索。

改进教学一：

1.出示问题一：王大伯家有两块长方形菜地，第一块长10米，宽6米；第二块长8米，宽6米。两块菜地共多少平方米？

学生列式，说明两种不同算法的意义。

师：这种先分别求出两块菜地的面积，再算出共有多少平方米的思路，老师把它称为分着算。既然有分着算，你肯定会联想到什么算？怎样合着算呢？

生：合着算，不知道。

课件动画演示两个长方形合并成一个长方形的过程。如下图1和图2。

图1 图2

师：为什么能够合成一个大长方形？

生：因为两个长方形的宽是相同的。

师：从图中能看出两种列式思路吗？这两种列式的结果怎样？

学生回答。

板书：10×6+8×6=（10+8）×6

师：借助大长方形咱们找到解决问题的新思路，而且也能看出两道算式的结果是相等的。

2.出示例题（已改为“问题二”，如图3）。

学生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

师：通过计算或根据算式的意义都能说明两边的结果是相等的。不过，同学们有没有想过，能不能结合刚才的长方形来说明两种思路，判断结果的大小呢？

依次出示图4中的两个长方形。

师：老师这儿有两个长方形。第一个长方形长45，宽是25，45×25算的是什么？长方形的面积就可以表示45×25的积。那么65×25可以用一个怎样的长方形面积来表示呢？

生：用长65、宽25的长方形面积表示。

师：把这两个积相加，求出两个长方形的面积共是多少，这是分着算。能合着算吗？把这两个长方形怎样变化就能得到另一种思路啊？

生：合起来。

师：把什么重合？因为两个长方形的宽是？

生：相等的。

师：合起来怎么算？65+45在哪儿？就是大长方形的什么？25是什么？两个长方形的面积有没有变？面积的和会不会变？所以两道算式的结果？（出示图5）

师：借助长方形，不计算，咱们得到了两种解题思路，都能看出结果是相等的。

……

教学改进二：

练习环节，出示下图：

窗户 广告牌

冰箱 地砖

师：生活中也有乘法分配律，你找到了吗？

学生结合图片中的图形解释乘法分配律。

如果把儿童的数学学习看成是一种教师伴随的旅行，每天的数学学习看作是茫茫旅行中的一段。那么，儿童的学习行为可以看成是旅行中的行走方式，学生之于其中的“改变、丰富、发展”可以看作行走的“成效”，两者的表现就成为教学效果的呈现方式。从上面的教学中我们可以看出，数学教学不仅改变了儿童内在的认知结构，而且影响了儿童的数学行走方式和生活世界。

改变一：用模型思想观照数学。数学模型是一种数学结构。一个概念，就是若干对象由某种特定关系结合组成的结构。而且在学生的知识体系和认知结构中，数学概念和结构常以符号、图式、模型等方式存在于儿童的头脑中。可见，数学概念教学的效果取决于是否建立了有助于儿童数学理解的数学模型，和特定关系组成的结构是否清晰、稳固。如果教学方式不妥、教学手段单一，学生对概念的感知不够深刻，很难准确把握对象的本质特征，建构起清晰的认知结构。在上面的教学中，笔者采用了帮助学生建构数学模型的方式展开教学，学生借助直观的图形演示，发现乘法分配律两边的特征，通过沟通知识间联系的形式建立节点间的关系，借助符号和图式等方式固化学生的认知结构，并能长时间地储存在记忆中。

改变二：用数学感觉意识生活。认知结构除了有助于信息的存贮、记忆和操作处理外，还有促进理解的功能。学习一个数学概念、原理、法则、性质、规律，如果在心理上组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，就实现理解了。“乘法分配律”的学习的混淆与运用的偏差，本质上说就是学生没有理解这一运算规律。上述教学中，学生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因为笔者并没有将教学停止于帮助学生建构数学模型，也没有局限在单一的书本练习，而是在运用中，适时地让学生反复再现能够表示乘法分配律的模型，并结合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的图案，让学生感悟生活中的“乘法分配律”。这样，就可以刺激学生有意识地从众多的生活对象中寻找数学规律，以致能够自觉地运用个体数学感觉来意识生活中的事物。试想，有了这样的学习方式，学生还会把乘法分配律与其他规律混淆吗？还不会运用规律正确解决问题吗？

丰富了儿童的认知结构，也影响儿童的生活世界！这不仅是数学教学的目标，也是数学教学的至高追求，更应该是数学馈赠给儿童的最好“礼物”！

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