X射线测厚仪刻度校正模型的研究

徐广铎，王立强，童建民

(清华大学 核能与新能源技术研究院，北京 102201)

X射线测厚仪在冶金行业板带材生产的厚度质量控制中得到广泛使用，其测量控制精度的高低将直接影响产品的质量等级。当X射线穿过被测物质时，射线与物质的相互作用使透射射线强度减弱，当其他条件固定时，透射射线强度由被测物质厚度唯一决定，若已知射线的衰减规律，通过测量透射射线强度即可得到被测物质厚度，这即是X射线测厚的基本原理。当射线为单能窄束时，射线衰减遵循指数定律，但X射线能量具有一定的范围分布，在实际测量系统中也不满足窄束测量条件，所以射线强度随被测物质厚度的变化并不遵循指数衰减规律。因此，在实用中通常需先测量若干厚度已知的标定片进行标定，再通过拟合或插值等方法得到射线强度与被测板材厚度的关系，这种方法的精度取决于标准片的厚度间距，当采用足够多的标准片使厚度间距足够小时，能达到很高的精度。文献[1]提出了一种描述宽束单能γ射线衰减的非线性模型，文献[2]将上述方法应用于薄膜X射线测厚仪中。文献[3-4]在瑞美公司生产的RM312型X射线板形仪中采用了分段多项式拟合的方法进行厚度刻度校正。但文献[1]的方法不能直接应用到非薄膜的X射线测厚仪的刻度校正中，线性插值与文献[3-4]中的多项式拟合法虽可达到一定的测量精度，但刻度校正过程中需较多的标定片，给系统维护稳定运行带来不便。

本文研究一种新的刻度校正数学模型，并通过实验数据处理将该刻度校正模型方法与文献中提出的3种方法进行对比，比较4种方法随刻度校正数据点减少，其测量精度和稳定性的变化情况。

1 新的刻度校正非线性模型

文献[1]对单能γ射线测厚仪提出了一种非线性模型，本文模型在其模型基础上，扩展到X射线测厚系统。一般测厚仪中使用的X射线能量具有能谱分布、非单能，而测量系统也通常不满足窄束条件，因此射线在透射中存在硬化和散射现象，使X射线的衰减情况非常复杂，不能用指数衰减定律准确描述，需进行修正，为此，设X射线穿过厚度为x的被测物质后的射线强度I满足：

I=I0e-μ(x)x

(1)

式中，μ(x)替代了指数衰减公式中的线性吸收系数。当X射线能谱分布一定时，测量同种材料物质，射线衰减情况与被测物质厚度一一对应，因此μ(x)为被测物质厚度x的函数，下面需确定μ(x)的形式。

由于射线的硬化和散射，μ(x)随物质厚度的增加而减小，最后趋近于一极值，即：

μ(x)=μ∞

(2)

满足式(2)的函数有很多，其中形式较简单的函数为：

(3)

为使式(2)成立，p(x)还需满足：

∞

p′(x)>0x∈(0,+∞)

(4)

上述模型非线性，难以求得解析解，需数值求解，对式(3)两边取对数得：

(5)

根据式(3)、(4)有：

μ(x)=μ∞μ0

(6)

将式(6)代入式(5)得：

(7)

μ0、μ∞的值取决于材料性质和射线能量，对于同种材料在相同射线能量下μ0、μ∞为确定的常数。

设对厚度为xi(i=1,2,…,n)的标定片进行校正测量时得到的透射射线强度为Ii，通过式(1)计算出μ(xi)，通过外延法确定μ∞，通过式(7)进行多项式拟合可得到p(x)、μ0与β，即确定了模型的所有参数。

将式(1)两边取对数可得：

(8)

若实验测得射线穿过某厚度为x的被测物质后的强度为I，根据标定点数据先选取射线衰减值最接近I的标定片的厚度为迭代初值x0，根据精度需选取迭代收敛判定阈值ε。按式(8)进行不动点迭代，式(8)可记为x=G(x)，迭代公式为xn+1=G(xn)，反复迭代直至xn+1-xn的绝对值小于ε，判定收敛，输出xn+1，即得到满足精度要求的x。

2 文献中3种校正方法模型

2.1 线性插值模型

若被测物厚度x在第i个标定片厚度xi附近，即x=xi+Δx，衰减后的射线强度I=Ii+ΔI，由式(1)可得：

Ii=I0e-μ(xi)xi

(9)

Ii+ΔI=I0e-μ(xi+Δx)(xi+Δx)

(10)

当Δx不大时，式(10)可近似为：

Ii+ΔI≈I0e-μ(xi)(xi+Δx)=

Iie-μ(xi)Δx=Ii[1-μ(xi)Δx]

(11)

进而得到：

(12)

于是被测厚度为：

(13)

这样测得透射射线强度I即可通过式(13)计算被测物厚度x。该方法计算简单，但为了达到要求的精度，要求标定片厚度间距足够小，从而需较多数量的标定片，使刻度校正工作十分繁琐。

2.2 单能射线非线性模型

对于单能宽束γ射线的衰减规律，文献[1]给出了一种非线性模型：

I=I0e-μ(x)x

(14)

其中，α、β为正常数。新非线性模型采用了与式(14)类似的公式，区别在于新模型中用多项式p(x)代替了式(14)中的-αx。式(14)在γ射线测厚仪刻度校正中取得了较好的效果。但γ射线为单能，透射中无硬化现象，因此式(14)用于描述X射线透射过程精度相对新模型精度较低。

2.3 多项式模型

以标定片厚度xi(i=1,2,…,n)为因变量，对应的射线强度对数值lnIi为自变量进行多项式拟合，则：

xi=PnlnIi

(15)

其中，Pn为n次多项式。

为了保证精度，一般采用五次多项式拟合，当厚度跨度范围较大时需分段拟合，理论上不分段时至少需6片标定片，分段拟合时所需标定片数量加倍，因实用中多采用多项式拟合，标定工作量较大。

3 不同模型数据处理结果的对比分析

通过实验室的X光机测厚仪对0～4.1 cm厚度区间内已知厚度的25块标定片进行了标定测量，其射线强度为20位ADC转换后的测量数值(已扣除本底零点数值)(表1)。X光机电压为80 keV，电流为0.8 mA，滤片为0.2 mm不锈钢片，经过滤片后X射线能谱形状近似为具有一定能量宽度的正态分布的曲线，标定片为铁片，所有标定片采用同一材料制成。

从上述测量值中选取不同的数据点分别采用前文所述的各刻度校正模型求解被测物质的厚度，根据计算厚度与已知厚度求出各模型厚度测量的均方差和相对偏差，对比各模型的精度。改变所取数据点重复上述计算，考察不同情况下各模型的精度变化，比较各模型在数据点变化时的稳定性。

3.1 选择全部数据点时各模型计算结果对比

选取所有数据点，分别采用新非线性模型、单能射线非线性模型和多项式模型进行拟合，新非线性模型中p(x)选取三次以上多项式拟合精度较高。为使模型简单，下面以三次多项式拟合结果进行对比，结果示于图1。可看出，多项式模型与新非线性模型的拟合精度相近，单能射线非线性模型的误差明显大于前两者。

3.2 选择部分数据点时各模型计算结果对比

实际应用中，由于工作环境的变化，需定时刻度校正，因此希望能简化刻度校正过程，使用少量的标定片确定射线的衰减曲线，为检验在减少标定片个数时各模型精度，选取部分数据点，使用不同模型进行拟合并对比计算结果。选取数据点时，考虑不同数量数据点及数据点的不同分布等多种情况，并考察当数据点不包含整个厚度区间时的对刻度区间外部数据点计算的误差，以检验各模型的稳定性。

表1 X射线测厚仪标定测量数据

图1 各拟合模型的相对误差

1) 数据点包含全厚度区间

数据点包含最小厚度点和最大厚度点，其中空载数据在各模型中作为常数参与计算。首先按厚度均匀选取数据点，数据个数分别取4、5、6、8、10，按各模型进行计算，计算结果列于表2。由表2可看出，新非线性模型在数据点减少时计算的相对误差基本稳定，多项式模型的计算误差随选取数据点不同有小幅波动，但变化幅度较小并在精度上略优于新非线性模型。单能非线性模型计算的相对误差基本稳定，线性插值法计算的相对误差随数据点的减少明显增大，这两者相对误差较前两模型均较大。

考虑非均匀选取数据点的情况，分别取5和7数据点，考察数据点集中在厚度较小、较大区间时各模型的误差，结果列于表3。由表3可看出，对于非均匀数据点，新非线性模型的计算误差与均匀选取时相比变化很小，稳定性高，而多项式模型计算误差变化相对较大，但总体上两模型精度相当。线性插值模型和单能非线性模型的计算误差仍较大。

2) 数据点不包含全厚度区间

在射线测厚中，若被测物厚度超出标定范围时通常会有较大的误差，因此考察当数据点不包含整个厚度区间时的各模型对外延部分数据点的计算误差。分别选取4和6数据点，考察数据点不含最大厚度、不含最小厚度和二者均不含时的情况，计算结果列于表4。从表4可看出，当选取数据点不包含全厚度区间时，各模型计算结果的误差均增大，而新非线性模型的精度变化相对较小，并在多数情况下优于其他模型。误差的增大主要来自于选取厚度区间外的数据点，图2对比了当选取不同数据点时，新非线性模型和多项式模型拟合结果在各数据点的相对误差。从图2可看出，在标定范围外两个模型计算结果的相对误差均会增大，对于多项式模型，超出标定范围时误差显著增加，并呈发散趋势，而新非线性模型在标定范围外误差稳定，无发散现象，在标定范围外各数据点的相对误差均在1%以内。

表2 均匀选取数据点时各模型均方相对误差

表3 非均匀选取数据点时各模型均方相对误差

表4 数据点不包含全厚度区间时各模型均方相对误差

a——[1 4 7 10 13 15]；b——[9 12 15 18 21 25]；c——[1 7 13 19]；d——[8 14 20 25]

4 结论

本文通过实验室X光机测厚仪对已知厚度的25块标定片的测量数据，对比了选取不同标定数据时各模型拟合结果的精度，当数据点足够多时，多项式模型的精度略优于本文的新非线性模型，然而当数据点减少且分布不均匀时，多项式模型的误差显著增加，新非线性模型精度基本稳定，并在多数情况下优于多项式模型，通常只取4数据点即能以较高精度确定衰减曲线。当测量厚度在标定范围外时，新非线性模型的精度显著优于其他模型。

参考文献：

[1] SHIRAKAWA Y. A build-up treatment for thickness gauging of steel platesbased on gamma-ray transmission[J]．Applied Radiation and Isotopes, 2000, 53(4-5): 581-586.

[2] 陆永耕. X射线测厚原理模型分析与实验[J]. 上海电机学院学报，2008，11(3)：177-180.

LU Yonggeng. Analysis of the calculation model of X-ray thickness gauge and the experiment[J]. Journal of Shanghai Dianji University, 2008, 11(3): 177-180(in Chinese).

[3] RM312 instantaneous profile gauge engineering manual issue 2.2[M]. Gloucester: Thermo Radiometrie Limited, 2002: 66-88.

[4] RM312 instantaneous profile gauge technician’s manual issue 3[M]. Gloucester: Thermo Radiometrie Limited, 2005: 51.