探求最佳策略 优化学生思维——“称球问题”的教学课例及反思

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(秀州中学分校 浙江嘉兴 314000)

数学经典问题是在历史长河中形成，并对数学的发展、应用和教学等方面起过或仍起着重要作用的问题．数学经典问题往往由于其深刻性、趣味性，让学生充满新奇.通过数学经典问题的研究，可以激发学生数学学习兴趣，深刻领悟数学思想．

“12球称重问题”是一个适合初中学生研究的问题，是让学生学习和领悟分类讨论、转化化归、代换等数学思想的好素材．在数学竞赛课堂上，笔者经过研究，决定从2个球的称重开始引导学生研究，通过一个个精心设计的问题，激起学生的求知欲，在不断地挑战中探索称球的方法．

1 课堂实录

1.1 巧妙铺垫，自然引入

师：同学们，在数学中，我们可以比较2个数的大小；在生活中，我们也可以比较2个量的大小．现在有2个球，如何比较它们的轻重？

生1：用手来掂量，用天平，用弹簧秤……

师：如果A球重于B球，B球重于C球，如何比较A球和C球的轻重？

生2：A球重于C球．

师：我们有没有用到天平啊？

(全体学生笑了.)

师：要比较若干个球的轻重，除了用到天平等衡器外，我们也可以用数学方法，比如刚才就是用到了不等式中的“传递性”，这需要我们开动脑筋.现在有外观相同的若干个球，其中有1个次品球，重量与正品球有细微的差别，手头有一架没有砝码的天平，我们来研究如何用最少的次数来寻找次品．

(教师板书课题“称球问题”.)

师：我们先来看问题，2个球中有1个次品，且已知次品偏重．(问题1)

生3：称量1次，天平向下倾斜的一方为次品．

师：好．若3个球呢？(问题2)

生4：1次．

师：如何称量？

生4：先任意称量2个球，若平衡，则第3个球为次品；若不平衡，则向下倾斜的一方为次品．

师：很好！若不知次品的轻重呢？(问题3)

生5：2次．

师：如何称量？

生5：先任意称量2个球，若平衡，则第3个球为次品，将次品和正品称量1次即可知次品的轻重；若不平衡，则说明第3个球为正品，将正品和前2个球中任意一球称量1次，便可分析出结论．

1.2 适度拓展，拾阶而上

师：很好！下面我们讨论的问题都需要指出次品的轻重．下面看第4个问题，若有6个球呢(问题4)？

(教师引导学生独立思考后讨论，安静的教室一下子热闹起来.)

生6：2次不行，至少3次．

师：说说你的方案．

生6：分3组，每组2个．把2个球放天平左边，另2个球放右边，若平衡，则次品在剩下的2个球中，再称2次一定可找到次品并知轻重；若不平衡，则次品在已比较的4个球中；第2次称时，可以分别拿下1个球，再分别放上2个正品，若平衡，则次品在拿下的2个球中，否则就在另外2个球中，再称1次，必能找到次品并知轻重．

生7：我把6个球编号，分别记为1，2，3，4，5，6．把1，2号球放天平左边，3，4号球放天平右边，若平衡，则次品为5或6号球，再称2次一定可找到次品并知轻重；若不平衡，将3，4号球分别换成5，6号球：(1)若平衡，次品为3或4号球；(2)若不平衡，次品为1或2号球，再称量1次，可以找到次品并知轻重．

生8：生7的方法就是把2个球捆绑在一起，在解决问题3的基础上，再称量1次就可以了．

师：这3位同学都很棒！他们采用了“代换”的思想，生7还将球进行编号，这为我们解决问题带来了方便，生8将这个问题和问题3联系起来，这引导我们解决问题要学会“转化化归”．“转化化归”，就是将一个陌生的问题转化为熟悉的问题，或者将一个未解决的问题转化为已解决的问题．

师：我们再来思考，能否减少称量次数，或者在某些情况下减少次数？

生7：在我刚才的称量方法中，若平衡，则似乎不能减少次数；若不平衡，可能可以减少次数……

生9：可以的，不妨设3,4号球的一侧向下倾斜，将3号球取下，1号球移到右侧，5号球放左侧．若平衡，则说明3号球为次品且偏重；若左侧向下倾斜，则说明1号球为次品且偏轻，若右侧仍向下倾斜则说明2号球偏轻或4号球偏重，需称量第3次．

师：很棒！求最不利情况下的次数，也就是求得的次数必须能够保证问题解决，充分运用数学思想以减少称量的次数(包括局部减少称量的次数)是我们所追求的．生9采用这种创造性的方法在局部取得了很好的效果，希望同学们在后面的讨论中再接再厉．

1.3 认知冲突，体验过程

师：下面我们来看“12球称重问题”，12个球中有1个次品且不知次品轻重，称几次可以找到次品并知轻重?(问题5)

生10：4次．

师：说说你的方案．

生11：将12个球分为3组，每组4个，按问题3的解决方法，称2次可找到次品在哪一组并知轻重，再把4个球分2组，分别运用问题1的解决方法即可，共4次．

(生11的回答博得一片掌声.)

师：2位同学回答得很好，他们不但用自己的思考解决了问题，也充分运用了前面的方法，体现了转化化归的思想．请大家再思考一下，能否再减少次数呢？

(一石激起千层浪，学生积极思考……)

1.4 创生智慧，水到渠成

生12：我能够在平衡的时候减少称量次数，第2次称量(1，2，3)与(9，10，11)．若平衡，则12号球为次品，再通过第3次称量可知与正品的轻重；若不平衡，则次品在(9，10，11)中且知次品的轻重，用问题2的解决方法确定次品．

生13：在不平衡时，不妨设(5，6，7，8)一侧向下倾斜，将5，6，7号球取下，1，2，3号球移到右侧，9，10，11号球放左侧．若平衡，则说明5，6，7号球之一为次品且偏重，还需称量1次；若左侧向下倾斜，则说明1，2，3号球之一为次品且偏轻，也还需称量1次；若右侧仍向下倾斜则说明4号球偏轻或8号球偏重，再需称量1次即可．

生14：老师，我的方案与生13不一样，在不平衡时，不妨设(5，6，7，8)一侧向下倾斜，将左侧球调整为(3，5，9,10)，右侧球调整为(1，2，6,7)．若平衡，则说明4号球偏轻或8号球偏重，再称1次即可；若左侧向下倾斜，则说明1，2号球之一偏轻或5号球偏重，将1，2号球再比较1次即可；若右侧仍向下倾斜则说明3号球偏轻或6，7号球之一偏重，将6，7号球再比较一次即可．

生15：老师，在不平衡时，不妨设(5，6，7，8)一侧向下倾斜，接下来，我只需在天平2侧各放3个球．将左侧球调整为(3，4，5)，右侧球调整为(1，2，6)．若平衡，则说明7，8号球之一为次品且次品偏重，再称1次即可；若左侧向下倾斜，则说明1，2号球之一偏轻或5号球偏重，将1，2号球再比较1次即可；若右侧仍向下倾斜则说明3，4号球之一偏轻或6号球偏重，将3，4号球再比较一次即可．

1.5 反思总结，举一反三

师：太好了！在同学们的共同努力下，我们不仅解决了这个问题，而且有了多种解法，在这些解法中，涉及到分类讨论、转化化归、代换等重要的思想方法，值得同学们用心去体会.

(学生谈体会与感想.)

师：12个球改为39个球，又如何呢？留作同学们课后思考．称球问题是一个非常经典的数学问题，有兴趣的同学可以就一般的n个球深入研究．

2 课后反思

本节课是一节数学思维实验课，以称球问题为载体，以发展学生数学思维为主线，通过精心设计问题，激发了学生的求知欲．在课堂上通过教师的适时点拨，引导学生积极参与，领悟了数学思想，提升了数学能力，促进了学生数学学习方式的转变．

2.1 激发兴趣，开放问题引入

本节课从一个开放性问题出发，激起学生思考．对于“如何比较2个球质量的大小”有各种各样的答案，学生往往从“衡器”的角度回答，但教师巧妙地将话锋一转，从“传递性”——数学思维方法的角度加以说明．如果仅仅从“衡器”的角度回答，这样的课堂也许不是数学课了，数学课的关注点应该是数学，教师在使学生思维“急转弯”的同时集中到“数学的课堂上”．

2.2 由易到难，体现螺旋上升

根据范德维尔的理论，好的数学问题对学生应该是具有挑战性的，也是可以达到的．这需要教师精心设计问题，本节课从5个环环相扣问题的提出到解决，以“问题链”的形式出现，到最后还是以问题结束，这些问题的设置，呈螺旋上升趋势．这些问题既为学生解决“12球称重问题”作好了铺垫，又有利于学生在问题解决后升华思维，提高能力．

2.3 适时引导，探求最佳策略

在教师的引导下，由学生主动探求最佳解题策略，在学生思维受挫的情况下，教师巧妙地将解决问题的难点逐步化解，使学生能通过自己的努力在从无解法到有想法，从有想法到具体落实，从局部优化到整体优化的过程中激发了探索的欲望，有效地找到了问题解决的方法，品尝到了成功的喜悦．

2.4 体验过程，渗透数学思想

本节课从2个球的问题出发，进而探索3个球、6个球到12个球的问题，最后布置了39个球的问题作为课外作业，同时提出n个球的问题供学有余力的学生思考，让学生体验和了解科学的探索过程．在问题的解决过程中，渗透了多种数学思想和方法：如在称量过程中，要根据天平的倾斜进行分类讨论；球由少到多体现了从特殊到一般的研究方法；将6个球分3组，转化为3个球的问题体现了化归的思想；称12个球，第一次8个球不平衡，将天平左右盘上的部分球与正品球进行轮换对调，体现了代换的思想；从球的数目增加到n个球问题的提出，为学生后续学习归纳法思想做好准备．

2.5 师生合作，转变学习方式

在本节课中，教师为学生营造了一个有利于创新思维发展的良好环境，课内师生、生生多边互动.在教师的问题引导下，学生自主探求、合作学习，在讨论中发挥他们思维的潜能，竞相发表各自的意见，在学生的积极参与和主动探索中成功地解决“12球称重问题”，真正做到了“带着问题走进教室，带着问题走出教室”，有效地激发了学生的学习兴趣，促进了学生学习方式的改变，提高了学习效率．