利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

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(桐乡市高级中学 浙江桐乡 314500)

椭圆是到2个定点F1,F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹，是到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比等于常数e(0

而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷地解题并看到问题的本质．

1 研究横坐标(或纵坐标)之间的关系

在压缩变换τ下，平面xOy上点P与原来x′O′y′平面上对应点P′的横坐标相同，即xP=xP′．

(2009年清华大学自主招生试题)

图1 图2

还原成圆x′2+y′2=a2(如图2).

(xP,yP)=λ(-xA,yR),

所以

⟺|AQ|·|AR|=2|OP|2

⟺|xQ+a|·|xA|=2|xP|2

⟺|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2.

(1)

设|O′R′|=d，由圆幂定理得

|Q′R′|·|A′R′|=d2-a2，

又d2+a2= |A′R′|2=

|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=

|A′Q′|·|A′R′|=d2-a2,

于是

|A′Q′|·|A′R′|=2a2，

即式(1)成立.

评注把椭圆还原成圆后，便可利用圆幂定理.

(1)求证：MN⊥AB；

(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程.

(2012年全国高中数学联赛贵州省预赛试题)

图3 图4

(1)证明MN⊥AB⟺xM=xN⟺M′N′⊥A′B′,

显然，因为A′B′是直径，所以

N′P′⊥A′M′,M′Q′⊥A′N′，

即B′是△A′M′N′的垂心，从而M′N′⊥A′B′.

又点P′,B′,R′,M′共圆，得

∠P′R′B′=∠P′M′B′，

即

从而

得

即

评注把椭圆还原成圆后，可利用圆中的角的关系证明相似.

2 研究直线的斜率

(1)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

(2)若∠APB=60°，求△PAB的面积．

图5 图6

评注把椭圆还原成圆后，可利用垂径定理.

3 研究封闭图形的面积

(2013年全国高中数学联赛山东省预赛试题)

图7

评注把椭圆还原成圆后，可得到以半径为腰的等腰三角形.

图8

例5以原点O为圆心、分别以a,b(a>b>0)为直径作2个圆.点Q是大圆半径OP与小圆的交点，过点P作AN⊥Ox,垂足为N，过点Q作QM⊥PN，垂足为M，记当半径OP绕点O旋转时点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2011年全国高中数学联赛河南省预赛试题)

评注把椭圆还原成圆后,便可发现以原点为重心的三角形就是圆内接正三角形.