例谈构造三角形在高中数学竞赛中的应用

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(东阳中学 浙江东阳 322100)

三角形是平面几何中最简单的图形之一.三角形的许多性质、定理，如内角和定理、边角不等关系、余弦定理、正弦定理、面积公式等是解决问题的基本工具.高中数学竞赛中的许多问题，可以根据已知条件转化为某种特殊的三角形，即构造三角形来解决，这是数形结合思想在解题中的充分体现，需要解题者对题目中的条件认真分析、实现转化，并通过丰富的想象力和创造力来完成构造.

1 构造三角形解求值问题

例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值.

(1991年全国高中数学联赛试题)

解因为10°+50°+40°+80°=180°，所以可构造一个以60°,40°,80°为内角的△ABC，其3条边长分别为a,b,c，如图2所示.在△ABC中，运用余弦定理得

a2+b2-2abccos60°=c2，

即

a2+b2-ab=c2，

由正弦定理得

sin280°+sin240°-sin40°sin80°=sin260°,

注：将正弦定理的结论a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入余弦定理结论得

sin2A=sin2B+sin2C-2sinAsinBcosA，

本例中sin280°+sin240°-sin40°sin80°=sin260°,恰为一个特例.

图1 图2 图3

2 构造三角形求最值问题

解将已知式变形为

3 构造三角形证明不等式问题

图4

例4正数a,b,c,A,B,C满足条件：a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA

(第21届全苏中学生数学竞赛试题)

分析抓住条件a+A=b+B=c+C=k，构造以k为边长的正△MNP来解决.

证明构造以k为边长的正△MNP，使得3条边满足条件MF=A,NE=B,PD=C,NF=a,PE=b,MD=c,如图4所示，则

S△DMF+S△FNE+S△EPD

从而

aB+bC+cA

分析本题若用代数方法将不等式化简，则比较繁琐，观察到当待证不等式右端小于等于0时，不等式显然成立，而当右端为大于0时，以a,b,c为边恰好构成一个三角形，而且右端的形式与海伦公式很接近.

证明当(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤0时，原不等式显然成立.

要证明上式可利用函数y=sinx的凹凸性，因为函数y=sinx在x∈(0,π)上是凹函数，从而

注：例4和例5中联想三角形中边的关系构造三角形，充分利用三角形的面积公式解题.

图5

4 构造三角形解数列问题

现在边A0An上取n-1个点，设为A1,A2,…,Ai,…,An-1,满足Ai-1Ai=ai(1≤i≤n),则A0An=Sn.于是对于A0An上任一点Ai，在△AA0Ai中,由余弦定理得

从而

5 构造三角形解方程

(2014年浙江省高中数学竞赛试题)

分析由方程的形式特点，联想勾股定理、余弦定理，可构造直角三角形.

图6

本文主要介绍了几例构造三角形解决的数学竞赛问题，通过构造三角形，可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化，激发学生的兴趣.但构造三角形解题并不是万能的，这需要合理地分析题目中的条件，并联想能否与三角形的有关性质产生联系.