一道德国奥林匹克赛题的再探究

● (双林中学高三(7)班 浙江湖州 313012)

题目求最小的常数c,使得对所有实数x,y，有

1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2).(1)

(2008年德国奥林匹克数学竞赛试题)

文献[1]中着重研讨了式(1)解法的思维形成过程，与学生的思维有较大差距.下面是笔者的思路和想法，请广大师生批评指正.

1 解法探究

笔者利用二次函数的恒等问题尝试求解这道赛题：

解式(1)⟺ (1+x2)(1+y2)+2xy-(xy)2≤c(1+x2)(1+y2)⟺

2xy-(xy)2≤(c-1)(1+x2)(1+y2).

(2)

因为式(2)的左边可以取正值，所以c>1.注意到式(2)是关于x,y的对称式，利用基本不等式

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

(当且仅当bc=ad时,等号成立)，把式(2)右边“缩小”为

(c-1)(1+x2)(1+y2)≥(c-1)(1+xy)2

(当且仅当x=y时,等号成立),于是式(2)恒成立只需

2xy-(xy)2≤(c-1)(1+xy)2(3)

恒成立(当x=y时,等号成立)，即c(xy)2+2(c-2)xy+(c-1)≥0恒成立(当x=y时,等号成立).于是

Δ=4(c-2)2-4c(c-1)≤0(其中c>1),

2 自然推广

文献[1]还建立了如下的推广：

推广1已知0

m+(x+y)2≤(n+x2)(n+y2).

笔者顺应“二次函数恒等问题”的思维方式，顺利获得如下更一般的探究：

推广2已知m>0,n>0,求最小常数c，使得对所有的实数x,y，有

m+n(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2).(4)

解将式(4)化为 (m+n)+2nxy-n(xy)2≤(c-n)(1+x2)(1+y2),

(5)

注意到式(5)的左边=m-n(1-xy)2(其中m>0,n>0)可以取正值，知c>n.因此，要使式(5)恒成立只需

m-n+2nxy-n(xy)2≤(c-n)(1+xy)2(6)

恒成立(当x=y时,等号成立)，即

c(xy)2+2(c-2n)xy+c-m≥0(7)

恒成立(当x=y时,等号成立).于是

Δ=4(c-2n)2-4c(c-m)≤0(其中c>n)

解得

若m≥2n>0，则应把思维退回到“原点”:在式(4)中，令极端值x=y=0，得c≥m.而当c≥m(≥2n)时，式(4)的右边≥m(1+x2+y2)=m+m(x2+y2)≥m+2n(x2+y2)≥m+n(x+y)2=式(4)的左边,故所求的cmin=m.

由此，我们获得了文献[1]中“推广”的推广(即推广2)与以下完备性结论：

定理已知m>0,n>0，且常数c使得对所有的实数x,y，都有

m+n(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)，

参 考 文 献

[1] 李歆.一道不等式题的探究[J].数学通讯：上半月，2013(11/12):108-110.