“变”中找“定”——浅析平面向量几何法

● (云和中学 浙江云和 323600)

物质世界中的万事万物都处在相互作用的普遍联系之中，都处在不断产生、不断消亡的运动、变化和发展的永恒过程之中，运动是永恒的、静止是相对的，运动和静止之间存在普遍的联系.在数学中也是如此，我们经常会遇到一些变化和运动的问题，而合理的分析和利用变化中的不变性，让“变”与“定”有机地结合起来，对于解决问题往往能起到一针见血的作用.下面结合平面向量几何法的教学实践浅析“变”与“定”之间的对立统一关系.

平面向量丰富了高中数学内容，同时作为工具性知识，可以与很多知识联系.平面向量具有双“二维”性，即本身有方向、大小，运算有代数、几何，大大地提高了学生学习这块知识的能力要求.在高考中大多以选择题和填空题的形式出现，题目灵活、多变，部分题目以能力立意命题，要求学生有一定的数形结合思想和能力.教师在平面向量的课堂教学和复习中经常会用到向量的几何法，渗透数形结合的思想，但学生对于数形结合能力的掌握却不一定到位，“光有思想没有能力”是很多学生在学习平面向量时的困惑.

在平面向量的几何法中，紧扣向量运动变化中的定性，结合定值，合理作图，可以使很多抽象的问题变得直观、具体，易于切中要害，立竿见影.平面向量的几何运算中往往涉及长度、夹角、和、差、数量积、投影等概念和知识点，如能把握上述量中的不变量，就可以轻松地在变化和运动中求解一类定值和最值问题.

1 向量的长度为定值问题

在平面向量的教学中，有这样的问题：把平面内所有的单位向量移到同一起点，则终点构成什么样的图形？答案是单位圆.这类问题中向量的方向任意变化，而长度为定值，可以结合到定点的距离等于定值的点的轨迹为圆，数形结合几何作图，利用圆的性质解决问题.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

图1 图2

2 2个向量的夹角为定值问题

平面向量的方向一般不单独考查，但2个或多个平面向量放在一起研究时，由于有了参照物，就可以研究2个向量的夹角问题.当2个向量的夹角为定值时，可以结合同弧(弦)所对的圆周角相等作出点的轨迹，数形结合解决问题.

例2(1)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是______.

(2010年浙江省数学高考理科试题)

(2011年全国数学高考试题)

故

图3 图4

3 平面向量基本定理和三点共线问题

平面内任意2个非零不共线向量都可以作为一组基底，平面内任意一个向量都可以由这一组基底唯一线性表示，平面向量基本定理中蕴含着基底的思想和意识.特别是在一些数量积运算中，把已知信息最多的2个向量作为一组基底，先将要进行数量积运算的2个向量转换成用基底线性表示，再用基底线性表示结果来进行数量积运算，可以起到以不变应万变的效果.平面向量基本定理的一种特殊情况，当向量的起点相同，基底线性表示的系数和为1时，就有了3个向量的终点在同一直线上的三点共线问题.这类问题要求对线性表示的系数有敏锐的观察力和简单的处理技巧，只要方法到位，就可以将代数运算转换成几何运算，减少不必要的化简过程，较好地从几何角度理解和诠释问题的背景.

图5 图6

4 向量数量积问题中投影为定值问题

向量的数量积运算包括几何法和坐标法，在几何法中，a·b=|a||b|cos，可以看出运算中需要知道2个向量的模和2个向量的夹角等基本量，但如果模或夹角不定时，就很难利用公式来解决问题了.在向量数量积的运算中,我们往往会忽略数量积的几何意义，|b|cos的几何意义为向量b在向量a方向上的投影，因此|a||b|cos的几何意义便是向量a的模与向量b在向量a方向上投影的乘积.在部分模和夹角都是变量的问题中若能合理地运用数量积的几何意义，则能使运动问题变得直观、具体.

图7 图8

例4(1)已知a是平面内的单位向量，=，求a·b的值.

(2012年浙江省数学高考调研试题)

因此

5 数量积运算中2个向量的和或差为定值问题

极化恒等式是泛函分析中的知识，它表示内积可以由它诱导出的范数来表示.极化恒等式在高中平面向量中的简化应用为恒等式

而这个公式可以更加形象地记忆为“积化和差”公式.在平面向量求数量积的问题中，若2个向量都是变量，而2个向量的和或差为定值，可以利用“积化和差”公式减少变量个数或转化成为研究定值问题.

(2012年浙江省数学高考理科试题)

图9 图10

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省数学高考理科试题)

“变”与“定”是对立的，“变”与“定”又是统一的.合理地处理好“变”与“定”之间对立统一的关系，能更深刻地理解数学，更科学地看待变化，更清晰地认识世界.