地面岩(矿)层厚度计算公式的数学推导

沈 权，张靖华

(云南省地质勘查开发局第一地质大队，云南 曲靖 655000)

1 概 述

地面岩(矿)层厚度计算公式是地质工作者常用的、基本的岩(矿)层厚度计算公式，以下简称“公式”。但它的数学推导来源，许多地质工作者都不甚了解，本文用数学方法系统地推导，并阐明岩(矿)层真厚度、地表实测岩(矿)层长度、岩(矿)层倾角、地面坡角、岩(矿)层走向法线与岩(矿)层实测线的交角及岩(矿)层走向与岩(矿)层实测线的交角之间的数学关系，证明“公式”的可靠性及其数学的严谨性。笔者将以严谨的数学推导该“公式”以飨读者。

2 地面岩(矿)层厚度计算公式公式推导

岩(矿)层厚度计算公式：H=l·(sinα·cosβ·sinω±sinβ·cosα)

(1)

或：H=l·(sinα·cosβ·cosγ±sinβ·cosα)

(2)

公式中：H：岩(矿)层真厚度；

I：地表实测岩(矿)层长度；

α：岩(矿)层倾角；

β：地面坡角；

γ：岩(矿)层走向法线与岩(矿)层实测线的交角

ω：岩(矿)层走向与岩(矿)层实测线的交角

上述公式(1)、(2)是地质工作者常用的、基本的岩(矿)层厚度计算公式，本文就此把公式(1)、(2)数学推导展开如下：

为了公式(1)、(2)推导更容易理解，先要和读者共同复习几个普通地质学中的基本概念。

岩(矿)层真厚度：简称真厚度，指层状或似层状地质体(地层、岩层、矿层等)上、下界面之间的垂直距离(图1中的H，AE线段)；([1]：地质词典，下同)。

岩(矿)层走向：简称走向，某构造面或地质体的界面与水平参考面的交线称为走向线，而走向线两端的延伸方向即为走向(图1中的BC线)；

岩(矿)层倾向：简称倾向，垂直于走向线，沿地质界面倾斜向下的方向所引的直线称为倾斜线，倾斜线在水平面上的投影所指的界面倾斜方向称为倾向(图1中的CA线)；

岩(矿)层倾角：简称倾角，垂直地质界面走向的横切面上所测定的此界面(图1ADCE面)与水平

参考面(图1，ABC面)之间的两面角，即倾斜线(图1，DE线)与其水平投影线(图1，AC线)之间的夹角(图1，α角)。

(1)地面坡度与岩(矿)层倾向同向(图1)“公式”推导：

图1 地面坡度与岩(矿)层倾向同向的立体图

由地表实测导线长度l(AF线)和实测地面坡角β组成垂直水平面的△ABF中∠B为直角，则△ABF为直角三角形，即

AB=l·cosβ

①

在△ACB中，BC为走向线，AC为倾向线，按上述走向和倾向的定义BC与AC相互垂直则△ACB为直角三角形。在△ACB中，AC=AB·sinω，在△ACB中∠ω和∠γ互为余角，或为AC=AB·cosγ。代入①，

则AC=l·cosβ·sinω，或AC=l·cosβ·cosγ

②

在△ABF中，BF=l·sinβ

BFDC面为长方形∴BF=DC，DC=l·sinβ

③

同理⊿ACD为垂直走向平面(即倾向垂面)中的直角三角形，根据勾股弦定理([2])：

④

在倾向垂面的直角三角形ACD中，设∠DAC为β′，据几何定理：平行线间同位角、内、外错角及对顶角相等，则∠ADE=α-β′，在△AED中，AE(H)=AD·sin(α-β′)。

代入④

⑤

根据三角函数加法定理，则：sin(α-β′)=sinα·cosβ′-cosα·sinβ′，代入

⑤

⑥

代入⑥

真厚度H=l·(sinα·cosβ·sinω-sinβ·cosα)

(1)

∠ω和∠互为余角，当选用岩(矿)层走向法线与岩(矿)层实测线的交角γ时公式为：

真厚度H=l·(sinα·cosβ·cosγ-sinβ·cosα)

(2)

特例：

当地面坡角β=0°时：cosβ= cos0°= 1，sinβ= sin0°= 0，sinβ·cosα=0，

代入(1)或(2)

则真厚度H=l·(sinα·sinω)或H=l·(sinα·cosγ)

当岩(矿)层走向与岩(矿)层实测线的交角ω=90°，γ=0°和β=0°时，

sinω= sin90°=1，cosγ= cos0°=1，代入(1)或(2)

则真厚度H=l·sinα

(2)地面坡度与岩(矿)层倾向相反(图2)。

图2 地面坡度与岩(矿)层倾向相反的立体图

推导同上，在△AED中，∠DAE=α+β′，则：

真厚度H=l·(sinα·cosβ·sinω+sinβ·cosα)

∠ω和∠互为余角，当选用岩(矿)层走向法线与岩(矿)层实测线的交角γ时公式为：真厚度H=l·(sinα·cosβ·cosγ+sinβ·cosα)

3 结 语

当地质工作者完全了解“公式”具有数学的严谨性时，又知其所以然后，在运用“公式”计算岩(矿)层厚度时将充满信心，在野外收集各种计算参数时将更加主动和准确。

参 考 文 献

[1]地质矿产部《地质词典》办公室编辑.地质词典 [M].北京：地质出版社，1983.

[2]戴春陶等.中学生数学词典[M].内蒙古人民出版.1982.