极限式中待定常数的几种题型和求法

张小华

【摘要】本文主要通过一些典型例题讲解了含有待定常数的极限式的几种题型和求解相关待定常数的方法。包括：有理函数极限式，分式函数极限式和根式极限式中的待定常数，以及利用结论、命题、数学定理、法则和性质等方法来求解待定常数。

【关键词】函数 极限式待定常数

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0146-02

已知一极限式，求其待定常数的题型有下述几类：

题型一 求有理函数的极限式中的待定常数

常用下述极限结果求之，其中：a0≠0 ，b0≠0：

■■=a■b■，n=m0，n＜m∞，n＞m（结论1）

应用上述结果时，应注意x→∞ 这一极限过程，当然对x→±∞也适用，但当x趋于有限值时，上述结论不再成立，还应注意m,n为任意实数。

例1：已知在（-∞，+∞）上f′■(x)=■+1，且■（■-ax-b)=■[f(x+1)-f(x)]，则

(A) a=1，b=0 (B) a=0，b=1 (C) a=1，b=1 (D)a=1，b=-2

解：由拉格朗日中值定理得到：

f(x+1)-f(x)=f′(ξ)=■+1，ξ∈(x，x+1).当x→∞时，有ξ→∞因而■[f(x+1)-f(x)]=■（■+1）=1，于是有■（■-ax-b）=■■=■■=1， 由（结论1）有1-a=0，-(a+b)=1，解之得a=1，b=-2，仅（D）入选

注意 ：因■f(x)不一定存在，极限■[f(x+1)-f(x)]不一定为0

例2：设a＞0，a≠1，且■xp(a■-a■)=1na，则p=▁▁▁。

解 ：a■-a■=a■(a■-1)=a■(a■-1)，当x→+∞时，

a■→1,a■-1~■1na，故原式左端=■xpa■(a■-1)=■■由（结论1）知当p=2时，原式左端=■■=1na

题型二 确定分式函数极限式中的参数

求法一 用下述命题求之

已知■■=A（x0与A均为常数），且■Q（x)=0[或■P（x)=0]，则P（x)[或Q（x)]必为无穷小量，即■P（x)=0[■Q（x)=0]

上述命题可说成分式极限存在，而分母（或分子）的极限为零，则分子（或分母）的极限也必为零。

先由上述命题推知分子（或分母）的极限为零，从而建立待求参数所满足的（第1个）方程。

如有多个待求参数，可多次使用洛必达法则（每次使用都要验证是否满足洛必达法则的条件）得到多个其分子（或分母）极限为零的等式，从而得到多个待求参数所满足的多个方程，直接由这些方程能求出待求参数为止。

例3 ： 若■■(cosx-b）=5,则a=▁，b=▁

解：因■■=5，■sinx(cosx-b）=0，由上述命題知■（ex-a）=0，则a=■ex=1

当x→0时，sinx~x,ex-1~x，此时有■■=■■=■（cosx-b)=5

故b=■cosx-5)=1-5=-4

例4 ：已知■■=1，求a，b，c.

解：■x■=0，且■■=1，由上述命题知，必有■（axsinx+bcosx+c）=0即b+c=0，于是使用洛必达法则得到原式（■）=■■=■■（■）=■■=■■=1(*)因■12x■=0，由上述命题知必有■[(2a-b)cosx-axsinx]=0，即■(2a-b)cosx=■(2a-b）=0，因而b=2a，将b=2a代入(*)式得到■■=■■=-■=1即a=-12，从而b=2a=-24，c=-b=24

注意：上例中各式每次使用洛必达法则后，其分子极限总为零，据此求出待定常数。

求法二 利用无穷小的性质求之

这里的无穷小性质是指，有界变量与无穷小之积为无穷小；在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；在极限的乘除运算中等价无穷小可以代换。

例5：设■■=2，其中a2+c2≠0，则必有

（A)b=4d (B)b=-4d (C)a=4c (D)a=-4c

解：因x→0时，tanx是与x等价的无穷小，1-cosx是与■等价的无穷小，a≠0,所以b(1-cosx)在x→0时是较atanx高阶的无穷小；在x→0时，1n（1-2x)与-2x是等价无穷小，1-e-x■=-(e-x■-1)与x2是等价无穷小，c≠0,故d(1-e-x■)在x→0时是较c1n（1-2x)高阶无穷小，根据无穷小的性质：在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去，得到原式=■■=■■=-■=2，故a=-4c，仅（D）入选。

题型三求∞±∞型的根式极限中的待定常数

一般可用两种方法确定之。一是直接将所给无理式有理化，求出极限式中所含待定常数；

二是先提出无穷大因子，将∞±∞化为■型，然后由极限存在的条件求出待求常数。

例6：设■（αx+■-β)=0，求α，β

解法1： 原式=■[α+■-β/x]/(1/x)=0，因为，■(1/x)=0，故必有■（α+■-β/x）=0，而■（α+■-β/x）=α+1，故1+α=0，从而α=-1，将α=-1代入给定极限式得到■（■-x-β)=0，于是β=■（■-x）=■■=■■=■=-■

解法2：β=l■（αx+■）=l■■=l■■因β为常数，而上式右端分母的的最高方幂为1，因而有α2-1=0，此时有β=l■■=l■■=■=β,于是α≠1，有α+1=0，故α=-1，从而β=-1/2.

参考文献：

[1]数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1995．

[2]张敏捷．函数极限的几种特殊求法[J].黄石理工学院学报，2008，4(24)：56-58．

[3]高等数学辅导[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[4]薛嘉庆．高等数学题库精编[M]．东北大学出版社，2000年3月第1版．