局部环上n阶矩阵的{1}-逆作成的群

吴 炎，杨其强

(琼州学院理工学院，海南 三亚 572022)

局部环上n阶矩阵的{1}-逆作成的群

吴 炎，杨其强

(琼州学院理工学院，海南 三亚 572022)

研究了有单位元的可换局部环上n阶可对角化的矩阵A的{1}-逆集中的子群及其构造问题，运用矩阵和群方法，给出了这个矩阵A的{1}-逆集AP{1}-中元素的乘法封闭的条件，获得了矩阵A的{1}-逆集AP{1}中的子集作成群的充要条件，以及这些子群的结构定理及相关结果.

可换局部环；广义逆矩阵；矩阵群；LU分解

1 预备知识

矩阵广义逆的应用十分广泛，在统计学、控制工程、力学、生物学等诸多领域都有较好的应用.如文献[1]利用{1}-逆等解决了水果模糊图像的恢复问题.近年来许多学者在自反广义逆的逆反律、分块矩阵广义逆的块独立性、广义逆的线性组合、推广形式的矩阵及其结构和性质等交叉拓展方面开展了研究，也做了不少工作[2-11].最近我们曾在文献[5]中初步讨论了广义逆矩阵半群中的子集及其元素的一些性质，在本文中我们将进一步研究n阶矩阵A的{1}-逆集AP{1}中的矩阵子群的存在和构造及相关问题，通过运用矩阵和群方法，得到了矩阵A存在{1}-逆且其{1}-逆的乘法封闭的条件，以及集合AP{1}中子集关于其乘法作成群的充要条件及相关结构，推广了矩阵群和矩阵广义逆的相关理论.

文中假设R是有单位元1的可换局部环，m是R的唯一极大理想，用R*=R-m表示R中可逆元乘法群，用Z+表示正整数集，Mn(R)(或Mn(m))表示元素在R(或m)中的所有n阶矩阵构成的集合，GLn(R)表示R上n阶一般线性群，用I(n)和0(n)分别表示n阶单位矩阵和n阶零矩阵.用H≤G表示群H是群G的子群.易见，若设t∈R；a∈R*；u，b∈m；A∈GLn(R)；B∈Mn(R)；D∈Mn(m).则有a±u∈R*；b±u，tu∈m；A±D∈GLn(R)；tD，bA∈Mn(m).若是a∈R，a2=a，则有a=0或a=1.因此，若U=diag{d1，…，dn}(di∈R*，i=1，…，n)，且U2=U，则有di=1(i=1，2，…，n)，U=I(n).

我们知道，若假设A∈Mn(R)，则把满足矩阵方程

AXA=A

(1)

的矩阵X(∈Mn(R))称为A的{1}-逆，这里用A{1}表示A的所有{1}-逆矩阵所构成的集合.

2 n阶可对角化矩阵存在{1}-逆且其{1}-逆的乘法封闭的条件

假设A(∈Mn(R))是一个可对角化的矩阵，即

PAP-1=diag{U，D，0}=C.

(2)

特别当(2)式中的D=0，U=I(r)时，A的任意一个{1}-逆矩阵X为

其中：X12∈Mr×(n-r)(R)，X21∈M(n-r)×r(R)，X22∈Mn-r(R).

由引理2.1，可设A=P-1diag{U，0(n-r)}P，U=diag{d1，…，dr}∈GLr(R)，且

引理2.2 设A=P-1diag{U，0(n-r)}P，U=diag{d1，…，dr}∈GLr(R)，且

(3)

XY∈AP{1}⟺(U-1)2+X12Y21=U-1.

特别的，当U=I(r)时(此时U-1=I(r))，则上式右边(U-1)2=U-1=I(r)，于是有

XY=AP{1}⟺X12Y21=0.

证明 由满足(3)式的X，Y(∈AP{1})，经直接计算有

(4)

若XY∈AP{1}，则由(4)式及引理2.1得到(U-1)2+X12Y21=U-1.

反之，如果(3)式所给矩阵X，Y满足(U-1)2+X12Y21=U-1，则由(4)式及引理2.1有

3 AP{1}中的子群及相关结果

我们约定，只讨论满足如下条件的矩阵A(∈Mn(R))：

A=P-1diag{I(r)，0(n-r)}P.

(5)

于是由引理2.1可得

(6)

其中：P是GLn(R)中取定不变的可逆矩阵，X12∈Mr×(n-r)(R)，X21∈M(n-r)×r(R)，X22∈Mn-r(R).

引理3.1[5]设A=P-1diag{I(r)，0(n-r)}P，且

(7)

(8)

(9)

则显然有Y∈AP{1}.由于有

(10)

(11)

(12)

(13)

同理可得YX=I，于是(7)式中的矩阵X可逆且X-1=Y∈AP{1}∩GLn(R).

定理3.1 设A=P-1diag{I(r)，0(n-r)}P，且

如果对于任意X，Y∈H有XY∈AP{1}，那么H对于其矩阵的乘法作成一个群.

证明 由引理3.2可知H⊂AP{1}∩GLn(R)，又显然有I=P-1diag{I(r)，I(n-r)}P∈H≠∅，且对任意X∈H有IX=XI=X，故要证明H是一个群，只需证明以下两点：

(1) 对于任意X∈H，都有X-1∈H.

事实上，对于任意X∈H，由H中元素所满足的条件及引理3.2得到X，X-1∈AP{1}∩GLn(R)，且

(14)

(2) 对于任意X，Y∈H，有XY∈H.

对于任意X，Y∈H⊂AP{1}∩GLn(R)，由H中元素所满足的条件及结论(1)，有X-1，Y-1∈AP{1}∩GLn{R}.又由已知条件有XY∈AP{1}，而易见XY∈GLn(R)，故XY∈AP{1}∩GLn(R)，于是可设

推论3.1 设H是定理3.1确定的群，则AP{1}中如下子集对于其矩阵乘法作成H的子群：

证明 只需证(1)中H(X12)≤H(X12∈Mr×(n-r)(m))，其余同理可证.事实上，对于任意

(15)

(16)

由(15)和(16)式中L，U构作

K={L1U1|L1∈L，U1∈U，U-1L-1∈AP{1}}.

(17)

则由推论3.2的结论(1)有L≤H，U≤H，且易见K⊂AP{1}∩GLn(R).因此有下面的结论.

(18)

由此，经直接计算得到

(19)

(20)

故有U2∈U，也有

(21)

(22)

(23)

此外，由(22)式和(23)式还得到

(24)

(25)

(26)

(2) 显然I∈L，I∈U，I-1I-1=I∈AP{1}，故单位矩阵I=I·I∈K≠∅，且K⊂GLn(R).故要证明，在所给条件下K对其乘法作成群，且K=H，只需证明以下几点：

由(18)式中所给的L1和U1经直接计算得到：

(27)

(28)

(29)

于是有

(30)

(31)

(32)

(Ⅲ) 最后证明，H⊂K，K=H.事实上，对于任意X∈H，可设

(33)

(34)

其中

(35)

(36)

综合(Ⅱ)，(Ⅲ)的证明有H=K.

[1] 桂江生，应义斌.基于矩阵广义逆和奇异值分解的运动水果模糊图像恢复[J].生物数学学报，2006，21(1)：448-452.

[2] SHINOZAKI N，SIBUYA M.Further results on the reverse order law[J].Linear Algebra Appl，1979(27)：9-16.

[3] HONG YOU，JIANLONG CHEN.Generalized inverses of a sum of morphisms[J].Linear Algebra and its Applications，2001(338)：261-273.

[4] 刘淑丹，游宏.域上矩阵积的广义逆及自反广义逆的逆反律[J].数学年刊：A，2004，25(4)：523-530.

[5] 吴炎，张宗杰，符晓芳.局部环上矩阵广义逆半群的子集及其性质[J].数学的实践和认识，2011，41(6)：168-174.

[6] 袁晖坪.关于k-广义Hermite矩阵的研究[J].东北师大学报：自然科学版，2012，44(2)：5-8.

[7] 章里程，廖祖华.分块矩阵加权逆的块独立性[J].数学杂志，2010，30(5)：921-925.

[8] 吴炎.局部环上幂等矩阵线性组合的广义逆之间的关系[J].纯粹数学与应用数学，2012，28(2)：155-166.

[9] 吴炎，邱发儒，易文静.相似变换下方阵的拓展{I}-逆及其应用[J].河南大学学报：自然科学版，2010，40(6)：565-570.

[10] 盛中平.多项式系的子结式矩阵[J].东北师大学报：自然科学版，2013，45(2)：1-4.

[11] 吴炎.相似变换下幂零矩阵的{2，3}-逆的表示式[J].琼州学院学报，2013，20(5)：19-25.

Abstract:In this paper，we study the subgroups of the setAP{1} formed by some {1}-inverses of diagonalization matrixAof ordernover a commutative local ring with an identity and their structures.By using the methods of matrix and group，we give the conditions on the closure of multiplication in the setAP{1}.Furthermore，we also obtain some necessary and sufficient conditions that make the subsets of the setAP{1} into groups and some structure theorems about these subgroups and some relevant results.

Keywords:commutative local ring；generalized inverse matrix；matrix group；LU-decomposition

(责任编辑：陶 理)

Groups of {1}-inverses of matrixAof ordernover a local ring

WU Yan，YANG Qi-qiang

(School of Physics and Engineering，Qiongzhou University，Sanya 572022，China)

1000-1832(2014)03-0028-06

10.11672/dbsdzk2014-03-006

2013-07-31

海南省自然科学基金资助项目(113008).

吴炎(1964—)，男，教授，主要从事矩阵群和矩阵论及其应用研究.

O 151.21 [学科代码] 110·21

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