重视角在解三角函数题中的作用

文/薛存义

摘 要：三角函数是高考数学中的一个重要知识点，它有其自身的特殊性，角的应用会对解三角函数题起到积极作用。

关键词：三角函数；角；例题

三角函数在江苏高考中占到了很大的分值，而由于三角函数公式繁多，学生记忆比较困难，就更不用提灵活运用公式去处理题目。今天笔者希望能够通过一些题目，提供关于三角函数的学习方法。

因为三角函数是一个特殊的函数，也就是说它既具有三角函数的特性，也具有函数的性质。而三角函数区别于其他的函数就在于它的自变量是角，所以求解三角函数的题目时可以抓住“角”，以此来把握解三角函数题的思路，灵活运用公式。下面通过几个例题从不同的侧面来阐述重视角的作用对解题的好处。

例1.设sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：运用两角和的正弦公式对sin（■+θ）=■展开，求出sinα+cosα=■，然后再两边平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通过观察已知角和未知角之间的关系，发现已知角■+α的两倍减去■等于未知角2α，再运用诱导公式和二倍角公式直接解题。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

点评：这题思路一和思路二都可以将题目解出来，但是从思路二的解题过程，可以清晰地发现这道题目使用的公式，使我们用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江苏高考题）设α为锐角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：运用两角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再与sin2α+cos2α=1联立方程组，求出sinα和cosα，进而求出sin2α和cos2α，再利用两角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通过观察，发现已知角■+α与未知角2α+■满足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以现在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此时，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）满足同角三角函数直接的关系；对于cos2（■+α）可运用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

点评：思路一，从理论上讲是可行的，但在解■cosα-■sinα=■与sin2α+cos2α=1形成的方程组时，发现运算量很大，根本无法很快求出sinα和cosα，更加不要说求出sin2α和cos2α了。但如果运用思路二，就可以很清晰地求出函数的值，而且运算量也不是很大，同时也可以有的放矢地使用公式。

从上述两道例题，可以清晰地看出通过观察已知角和未知角直接的关系去求解三角函数题，不仅可以简化计算，而且可以使我们更灵活地运用公式。所以，在解三角函数题时要重视角的作用。

编辑 董慧红

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摘 要：三角函数是高考数学中的一个重要知识点，它有其自身的特殊性，角的应用会对解三角函数题起到积极作用。

关键词：三角函数；角；例题

三角函数在江苏高考中占到了很大的分值，而由于三角函数公式繁多，学生记忆比较困难，就更不用提灵活运用公式去处理题目。今天笔者希望能够通过一些题目，提供关于三角函数的学习方法。

因为三角函数是一个特殊的函数，也就是说它既具有三角函数的特性，也具有函数的性质。而三角函数区别于其他的函数就在于它的自变量是角，所以求解三角函数的题目时可以抓住“角”，以此来把握解三角函数题的思路，灵活运用公式。下面通过几个例题从不同的侧面来阐述重视角的作用对解题的好处。

例1.设sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：运用两角和的正弦公式对sin（■+θ）=■展开，求出sinα+cosα=■，然后再两边平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通过观察已知角和未知角之间的关系，发现已知角■+α的两倍减去■等于未知角2α，再运用诱导公式和二倍角公式直接解题。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

点评：这题思路一和思路二都可以将题目解出来，但是从思路二的解题过程，可以清晰地发现这道题目使用的公式，使我们用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江苏高考题）设α为锐角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：运用两角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再与sin2α+cos2α=1联立方程组，求出sinα和cosα，进而求出sin2α和cos2α，再利用两角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通过观察，发现已知角■+α与未知角2α+■满足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以现在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此时，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）满足同角三角函数直接的关系；对于cos2（■+α）可运用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

点评：思路一，从理论上讲是可行的，但在解■cosα-■sinα=■与sin2α+cos2α=1形成的方程组时，发现运算量很大，根本无法很快求出sinα和cosα，更加不要说求出sin2α和cos2α了。但如果运用思路二，就可以很清晰地求出函数的值，而且运算量也不是很大，同时也可以有的放矢地使用公式。

从上述两道例题，可以清晰地看出通过观察已知角和未知角直接的关系去求解三角函数题，不仅可以简化计算，而且可以使我们更灵活地运用公式。所以，在解三角函数题时要重视角的作用。

编辑 董慧红

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摘 要：三角函数是高考数学中的一个重要知识点，它有其自身的特殊性，角的应用会对解三角函数题起到积极作用。

关键词：三角函数；角；例题

三角函数在江苏高考中占到了很大的分值，而由于三角函数公式繁多，学生记忆比较困难，就更不用提灵活运用公式去处理题目。今天笔者希望能够通过一些题目，提供关于三角函数的学习方法。

因为三角函数是一个特殊的函数，也就是说它既具有三角函数的特性，也具有函数的性质。而三角函数区别于其他的函数就在于它的自变量是角，所以求解三角函数的题目时可以抓住“角”，以此来把握解三角函数题的思路，灵活运用公式。下面通过几个例题从不同的侧面来阐述重视角的作用对解题的好处。

例1.设sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：运用两角和的正弦公式对sin（■+θ）=■展开，求出sinα+cosα=■，然后再两边平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通过观察已知角和未知角之间的关系，发现已知角■+α的两倍减去■等于未知角2α，再运用诱导公式和二倍角公式直接解题。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

点评：这题思路一和思路二都可以将题目解出来，但是从思路二的解题过程，可以清晰地发现这道题目使用的公式，使我们用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江苏高考题）设α为锐角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：运用两角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再与sin2α+cos2α=1联立方程组，求出sinα和cosα，进而求出sin2α和cos2α，再利用两角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通过观察，发现已知角■+α与未知角2α+■满足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以现在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此时，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）满足同角三角函数直接的关系；对于cos2（■+α）可运用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

点评：思路一，从理论上讲是可行的，但在解■cosα-■sinα=■与sin2α+cos2α=1形成的方程组时，发现运算量很大，根本无法很快求出sinα和cosα，更加不要说求出sin2α和cos2α了。但如果运用思路二，就可以很清晰地求出函数的值，而且运算量也不是很大，同时也可以有的放矢地使用公式。

从上述两道例题，可以清晰地看出通过观察已知角和未知角直接的关系去求解三角函数题，不仅可以简化计算，而且可以使我们更灵活地运用公式。所以，在解三角函数题时要重视角的作用。

编辑 董慧红

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