构建数学模型,巧解四边形折叠问题

文/黄广川

将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，考查了学生的探究能力、空间想象能力、抽象思维能力及逻辑推理能力。因此越来越受到各省中考命题者的青睐。在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培养学生识图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。然而通过合理的归纳总结利用现有的数学模型能解决大部分此类问题。这就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，它有一个基本的应用就是已知一边和另外两边的关系求边。

如图1，已知AC=5，AB比BC大1。我们可以根据勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知边。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如图2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通过具体的例子来体会这两种模型在折叠问题中的巧妙应用吧。

例1.（2012深圳）如图3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

（1）求证：四边形AFCE为菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我们可以轻松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因为折叠对应线段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四边相等得到四边形AFCE为菱形。

证明：∵折叠

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四边形AFCE为菱形。

例2.（2012湖北黄石）如图4所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因为折叠对应线段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根据勾股定理的应用，已知一边AD′，和另外两边的关系AF+D′F=8求边。

解：设AF=x cm，则DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（宝安二模）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点F重合，BF交AD与点M，过点C做CE⊥BF于点E，交AD于点G，则MG的长是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根据勾股定理利用已知一边和另两边的关系求得边AM，由△AMB~△DCG利用边的比例关系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：设AM长为x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

则32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案为：■

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是要传授给学生数学思想、数学意识、数学方法，把知识转换为能力，因此，希望通过本文的小小启示提高学生观察、归纳、整理数学知识的能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生空间想象能力、抽象思维能力及逻辑推理能力。

编辑 谢尾合

endprint

将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，考查了学生的探究能力、空间想象能力、抽象思维能力及逻辑推理能力。因此越来越受到各省中考命题者的青睐。在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培养学生识图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。然而通过合理的归纳总结利用现有的数学模型能解决大部分此类问题。这就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，它有一个基本的应用就是已知一边和另外两边的关系求边。

如图1，已知AC=5，AB比BC大1。我们可以根据勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知边。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如图2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通过具体的例子来体会这两种模型在折叠问题中的巧妙应用吧。

例1.（2012深圳）如图3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

（1）求证：四边形AFCE为菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我们可以轻松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因为折叠对应线段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四边相等得到四边形AFCE为菱形。

证明：∵折叠

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四边形AFCE为菱形。

例2.（2012湖北黄石）如图4所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因为折叠对应线段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根据勾股定理的应用，已知一边AD′，和另外两边的关系AF+D′F=8求边。

解：设AF=x cm，则DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（宝安二模）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点F重合，BF交AD与点M，过点C做CE⊥BF于点E，交AD于点G，则MG的长是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根据勾股定理利用已知一边和另两边的关系求得边AM，由△AMB~△DCG利用边的比例关系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：设AM长为x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

则32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案为：■

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是要传授给学生数学思想、数学意识、数学方法，把知识转换为能力，因此，希望通过本文的小小启示提高学生观察、归纳、整理数学知识的能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生空间想象能力、抽象思维能力及逻辑推理能力。

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将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，考查了学生的探究能力、空间想象能力、抽象思维能力及逻辑推理能力。因此越来越受到各省中考命题者的青睐。在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培养学生识图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。然而通过合理的归纳总结利用现有的数学模型能解决大部分此类问题。这就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，它有一个基本的应用就是已知一边和另外两边的关系求边。

如图1，已知AC=5，AB比BC大1。我们可以根据勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知边。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如图2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通过具体的例子来体会这两种模型在折叠问题中的巧妙应用吧。

例1.（2012深圳）如图3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

（1）求证：四边形AFCE为菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我们可以轻松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因为折叠对应线段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四边相等得到四边形AFCE为菱形。

证明：∵折叠

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四边形AFCE为菱形。

例2.（2012湖北黄石）如图4所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因为折叠对应线段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根据勾股定理的应用，已知一边AD′，和另外两边的关系AF+D′F=8求边。

解：设AF=x cm，则DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（宝安二模）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点F重合，BF交AD与点M，过点C做CE⊥BF于点E，交AD于点G，则MG的长是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根据勾股定理利用已知一边和另两边的关系求得边AM，由△AMB~△DCG利用边的比例关系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：设AM长为x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

则32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案为：■

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是要传授给学生数学思想、数学意识、数学方法，把知识转换为能力，因此，希望通过本文的小小启示提高学生观察、归纳、整理数学知识的能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生空间想象能力、抽象思维能力及逻辑推理能力。

编辑 谢尾合

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