兰勃特投影在高速铁路测量中的应用

2014-07-25姚连璧

铁道勘察 2014年6期

关键词：圆锥高斯高速铁路

王璇姚连璧

(同济大学测绘与地理信息学院，上海 200092)

兰勃特投影在高速铁路测量中的应用

王璇姚连璧

(同济大学测绘与地理信息学院，上海 200092)

介绍兰勃特投影的定义、变形特点以及在高速铁路测量中的处理方法，以国内某段高铁GPS控制网为例，将国内高速铁路测量中常用的具有高程抵偿面的高斯投影法和兰勃特投影方法进行比较与分析，得出了有益的结论：在东西走向的线路工程中，特别是投影变形要求高的高速铁路测量中，采用兰勃特投影会取得更好的效果。

高速铁路 GPS控制网投影变形兰勃特投影

1 概述

目前，我国正在大规模建设高速铁路，其高速性和平顺性对于测量提出了更高的要求，对于时速在250～350 km的高速铁路，边长投影变形规定小于10 mm/km[1]。为满足投影边长规定，必须建立工程独立坐标系以限制投影变形，目前主要采用任意中央子午线、任意高程面的高斯投影处理方法[2]，该方法和国家平面坐标系的投影方式一致，方便坐标转换。高斯投影的变形特点是距中央子午线越远变形越大，所以高斯投影适合南北走向的线路工程，对于东西走向的线路工程，则需划分成多个投影带才能满足投影变形要求。过多的分带导致坐标换带计算工作繁重，加大了工作量。文献[3]和文献[4]中提出采用斜轴墨卡托投影建立工程独立坐标系，可以大大减少沿高斯投影的长度变形。考虑到兰勃特投影变形与经度无关、沿经度方向变形小的特点，文献[5]提出了在一般的铁路工程独立坐标系中采用兰勃特投影，既能满足投影长度变形要求，又能减少分带，但是只对普通的铁路工程进行分析，没有考虑到投影变形要求更高的高速铁路，也没有考虑兰勃特投影对高程归化变形的抵偿效果。本文主要对兰勃特投影在高速铁路测量中的应用进行分析，比较了高斯投影和兰勃特投影两种处理方法的投影结果，指出了兰勃特投影在抵偿高程归化变形方面的不足，认为在东西走向的高速铁路工程中，采用兰勃特投影比较有利。

2 兰勃特投影

2.1 兰勃特投影的概念

兰勃特投影是由德国数学家兰勃特拟定的，故称为兰勃特投影。兰勃特投影[6]是一种无角度变形的正形正轴圆锥投影，将正圆锥套在地球椭球上，使圆锥面相切或相割于椭球面，根据正形投影的投影条件，将椭球投影到圆锥面上，纬线沿着母线展开成为同心圆，经线沿着母线展开成为指向两极的辐射直线。根据圆锥面与椭球面相切或相割的关系，分为兰勃特切圆锥投影和兰勃特割圆锥投影。

2.2 兰勃特投影变形公式

切圆锥投影

(1)

式中：

β=sinB0

ρ=ρ0eβ(q0-q)

ρ0=N0cotB0

m切——切圆锥投影长度比；

β——由兰勃特投影条件决定的常系数；

q——待求边的等量纬度；

N——待求边对应的卯酉圈的曲率半径；

ρ——待求边所在纬线的极距；

ρ0——标准纬线的极距。

由以上公式看出，兰勃特投影长度变形与经度无关，只与纬度有关，离标准纬线越远的点，投影变形越大。因此，兰勃特投影对于东西走向、南北跨越非常窄的铁路工程非常适合，能够有效的控制投影变形，减少分带，克服高斯投影分带多、计算量大的缺点。

3 算例分析

以国内某段高速铁路GPS控制网为例，探讨兰勃特投影在高速铁路测量中的应用。该段线路全长184.65 km，线路东西经差为2°13′，南北跨越纬度约为18′9″，平均海拔63 m，最大高差为88 m，铁路设计时速为300 km，投影变形限差为10 mm/km。

如图1所示，该段线路呈东西走向，东西方向跨越里程长，南北跨越纬度差很小，且平均海拔不高，高程起伏不大，高程归化引起的变形对于综合投影变形影响不明显[7]，主要考虑投影方式引起的变形。

图1 线路示意

若采用任意中央子午线任意高程面的高斯投影法，为满足投影长度限差，则至少需要划分3个投影带。基于抵偿高程面的任意带高斯投影法划分投影带需要选择合适的中央子午线和抵偿高程面，根据投影变形长度限差10 mm/km的要求，高斯投影分带横坐标宽度不能超过57 km，最大高差不能超过127 m[8]。同时，考虑到高程归化变形可以抵偿部分投影变形的影响，大致可以将线路划分成3带，取平均高程面为高程抵偿面，取平均经度为中央子午线[9]，对于某些高程起伏大的地段，可以适合移动中央子午线，对于高程起伏小、投影带比较宽的投影带，可以适当调整投影高程面，使综合投影变形值满足要求。具体投影带设计参数如表1。

表1 高斯分带投影变形分析

整条线路的投影边长变形情况统计如图2。

图2 高斯分带投影变形统计

从图2可以看出，投影被分成3带，投影带边缘的变形值基本接近限差，所以采用任意中央子午线任意高程面的高斯投影法勉强可以达到10 mm/km的投影限差要求，但是存在着投影带数量多、投影带较窄以及投影带边缘变形非常大的问题。

下面采用兰勃特投影进行分析，该线路东西跨越180多公里，南北跨越非常小，纬差为18′9″，若采用兰勃特割圆锥投影，则两条标准线的设计会过于密集，大部分点集中在标准纬线附近，难以体现兰勃特投影投影变形的优势，可采用兰勃特切圆锥投影设计独立坐标系。

首先选取合适的投影参数：为使投影变形最小，一般选用平均纬度为标准纬线，平均经度为原点子午线经度，选取平均高程面为抵偿高程面，同时适当调整抵偿高程面使投影变形最小。为保证兰勃特投影平面直角坐标都为正值，设计合适的东偏移距和北偏移距[10]，具体设计参数如表2。

表2 兰勃特投影工程独立坐标系参数

投影结果如表3。

表3 兰勃特切圆锥投影工程独立坐标系设计

采用兰勃特切圆锥投影设计独立坐标系，全线只需设计一个投影带，无需分带，大大减少了计算量，避免了复杂的换带计算，最大变形值仅为3.4 mm/km，仅为高斯投影变形的三分之一左右，说明兰勃特投影变形效果明显优于高斯投影，综合高程归化变形的影响，整条线路的投影边长变形情况统计如图3。

图3 兰勃特投影综合变形统计

虚线区域内表示兰勃特投影变形的分布区间0～3.4 mm/km，综合高程归化变形以后，变形区间扩张了很多，兰勃特投影变形从0～3.4 mm/km变化到-7-7 mm/km，表明兰勃特投影对于高程归化变形影响的抵偿作用很弱，在高程起伏很小，高程归化影响不大的情况下，能够得到很好的变形效果，对于高程起伏在几百米之间的线路工程，投影变形值主要受到高程归化变形的影响，需要另作处理。

4 结论

兰勃特投影以标准纬线为中心向南北两侧展开，投影变形主要与纬差有关，离标准纬线越远，变形越大，东西走向、南北跨越小的线路工程刚好满足兰勃特投影变形特点，所以能够取得很好的投影效果。与此相反，高斯投影是以中央子午线为中心展开的，投影变形与经差有关，南北走向、东西跨越很小的线路工程刚好满足高斯投影变形的特点。综上所述，对于投影变形要求很高的线路工程，特别是高速铁路测量，可以根据线路的走向、分布特点选择合适的投影方式，而不必拘泥于单一的投影方式。

[1] 中铁二院.TB10601—2009高速铁路工程测量规范[S].北京：中国铁道出版社，2009

[2] 王国祥.基于工程椭球的地方坐标系换算模型比较分析[J].铁道勘察，2014(3):1-4

[3] 王解先，伍吉仓，高小兵.斜轴墨卡托投影及其在高铁建设工程中的应用[J].工程勘察，2011(8):69-72

[4] 刘灵杰，原玉磊，卫建东.斜墨卡托投影在高速铁路测量中的应用分析[J].测绘通报,2009(2):43-46

[5] 麦春.兰勃特投影在铁路工程独立坐标系设计中的应用[J].高速铁路技术，2011 2(2):22-24

[6] 孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉：武汉大学出版社，2010

[7] 曾学宏，杨燕.抵偿高程面任意带高斯投影坐标系统的变形分析与应用[J].测绘与空间地理信息，2014，37(2):198-200

[8] 朱开文，王占龙.工程独立坐标系的建立与国家坐标的转换[J].2010(5):57-60

[9] 杨元兴.抵偿高程面的选择与计算[J].城市勘测，2010(2):72-74

[10]周建东，谯生有.摩洛哥水工隧道工程独立坐标系的建立于应用[J].测绘技术装备，2013(2):36-38

ApplicationofLambertProjectioninsurveyonHighSpeedRailway

WANG Xuan YAO Lian-bi