例说中考正方形探究问题
2014-07-25黄细把
黄细把
在近几年中考试题中，经常遇到正方形探究问题。解答时，同学们要注意从正方形出发，灵活利用正方形的性质或判定。现举例说明。
一、探究结论型
例1（2013年辽宁省鞍山市中考题）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE。
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
分析（1）要证明CE＝CF，只需证明△CBE≌△CDF；（2）三条线段之间的和差问题通常转为两条线段相等问题。由BE＝DF，得BE＋GD＝DF＋GD＝GF。要探究GE＝BE＋GD是否成立，只需探究GE＝GF是否成立。
解（1）在正方形ABCD中，
因为BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，
所以△CBE≌△CDF（SAS）。
所以CE＝CF。
（2）GE＝BE＋GD成立。
因为△CBE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF。
因为∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，
所以∠BCE＋∠DCG＝45°，∠DCF＋∠DCG＝45°。
所以∠GCF＝45°＝∠GCE。
因为CF＝CE，GC＝GC，所以△CFG≌△CEG（SAS）。
所以GF＝GE。
因为GF＝DF＋GD，DF＝BE，所以GE＝BE＋GD。
二、探究条件型
例2 （2013年辽宁省铁岭市中考题）如图2，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE。
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由。
分析（1）因为OA＝OB，OE＝OD，所以四边形AEBD是平行四边形。要证明它是矩形，只需再证明它有一个内角是直角；（2）如果矩形AEBD是正方形，则∠BAD＝■∠EAD＝45°。这时∠BAC＝2∠BAD＝90°。
解（1）因为点O为AB的中点，所以OA＝OB。
因为OE＝OD，
所以四边形AEBD是平行四边形。
因为AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
所以AD⊥BC，∠ADB＝90°。
所以平行四边形AEBD是矩形。
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形。理由如下：
因为△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，
所以∠BAC＝90°。
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝■∠BAC＝45°，∠ABD＝90°－∠BAD＝45°。
所以∠BAD＝∠ABD，AD＝BD。
所以矩形AEBD是有一组邻边相等的矩形。
所以矩形AEBD是正方形。
三、探究存在型
例3（2013年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图3，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP＝90°，且EP交正方形ABCD外角的平分线CP于点P，交边CD于点F。
（1）求证：AE＝EP；
（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
分析（1）在BA边上截取BK＝BE，连接KE。要证明AE＝EP，只需证明△AKE≌△ECP；（2）假设存在符合要求的点M，注意到PE⊥AE，那么DM⊥AE。因此，点M为过点D作AE的垂线与AB的交点。接下去只需探究四边形DMEP是否是平行四边形。若是，就存在；否则，不存在。
解（1）在BA边上截取BK=BE，连接KE，则△BEK是等腰直角三角形，则∠BKE＝45°，∠AKE＝135°。
因为∠DCN＝90°，CP平分∠DCN，
所以∠PCN＝45°，∠ECP＝135°。
所以∠AKE＝∠ECP。
因为AB＝CB，BK＝BE，
所以AK＝EC。
因为∠EAK＝90°－∠AEB＝∠PEC，
所以△AKE≌△ECP（ASA）。
所以AE＝EP。
（2）存在。过点D作DM⊥AE与AB交于点M，则点M即为符合要求的点（ASA）。理由如下：
因为DM⊥AE，EP⊥AE，
所以DM∥PE。
因为∠BAE＝90°－∠EAD＝∠ADM，AB＝DA，∠ABE＝∠DAM＝90°，
所以△ABE≌△DAM（ASA）。
所以AE＝DM。
因为AE＝EP，所以DM＝EP。
所以四边形DMEP为平行四边形。
在近几年中考试题中，经常遇到正方形探究问题。解答时，同学们要注意从正方形出发，灵活利用正方形的性质或判定。现举例说明。
一、探究结论型
例1（2013年辽宁省鞍山市中考题）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE。
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
分析（1）要证明CE＝CF，只需证明△CBE≌△CDF；（2）三条线段之间的和差问题通常转为两条线段相等问题。由BE＝DF，得BE＋GD＝DF＋GD＝GF。要探究GE＝BE＋GD是否成立，只需探究GE＝GF是否成立。
解（1）在正方形ABCD中，
因为BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，
所以△CBE≌△CDF（SAS）。
所以CE＝CF。
（2）GE＝BE＋GD成立。
因为△CBE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF。
因为∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，
所以∠BCE＋∠DCG＝45°，∠DCF＋∠DCG＝45°。
所以∠GCF＝45°＝∠GCE。
因为CF＝CE，GC＝GC，所以△CFG≌△CEG（SAS）。
所以GF＝GE。
因为GF＝DF＋GD，DF＝BE，所以GE＝BE＋GD。
二、探究条件型
例2 （2013年辽宁省铁岭市中考题）如图2，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE。
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由。
分析（1）因为OA＝OB，OE＝OD，所以四边形AEBD是平行四边形。要证明它是矩形，只需再证明它有一个内角是直角；（2）如果矩形AEBD是正方形，则∠BAD＝■∠EAD＝45°。这时∠BAC＝2∠BAD＝90°。
解（1）因为点O为AB的中点，所以OA＝OB。
因为OE＝OD，
所以四边形AEBD是平行四边形。
因为AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
所以AD⊥BC，∠ADB＝90°。
所以平行四边形AEBD是矩形。
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形。理由如下：
因为△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，
所以∠BAC＝90°。
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝■∠BAC＝45°，∠ABD＝90°－∠BAD＝45°。
所以∠BAD＝∠ABD，AD＝BD。
所以矩形AEBD是有一组邻边相等的矩形。
所以矩形AEBD是正方形。
三、探究存在型
例3（2013年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图3，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP＝90°，且EP交正方形ABCD外角的平分线CP于点P，交边CD于点F。
（1）求证：AE＝EP；
（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
分析（1）在BA边上截取BK＝BE，连接KE。要证明AE＝EP，只需证明△AKE≌△ECP；（2）假设存在符合要求的点M，注意到PE⊥AE，那么DM⊥AE。因此，点M为过点D作AE的垂线与AB的交点。接下去只需探究四边形DMEP是否是平行四边形。若是，就存在；否则，不存在。
解（1）在BA边上截取BK=BE，连接KE，则△BEK是等腰直角三角形，则∠BKE＝45°，∠AKE＝135°。
因为∠DCN＝90°，CP平分∠DCN，
所以∠PCN＝45°，∠ECP＝135°。
所以∠AKE＝∠ECP。
因为AB＝CB，BK＝BE，
所以AK＝EC。
因为∠EAK＝90°－∠AEB＝∠PEC，
所以△AKE≌△ECP（ASA）。
所以AE＝EP。
（2）存在。过点D作DM⊥AE与AB交于点M，则点M即为符合要求的点（ASA）。理由如下：
因为DM⊥AE，EP⊥AE，
所以DM∥PE。
因为∠BAE＝90°－∠EAD＝∠ADM，AB＝DA，∠ABE＝∠DAM＝90°，
所以△ABE≌△DAM（ASA）。
所以AE＝DM。
因为AE＝EP，所以DM＝EP。
所以四边形DMEP为平行四边形。
在近几年中考试题中，经常遇到正方形探究问题。解答时，同学们要注意从正方形出发，灵活利用正方形的性质或判定。现举例说明。
一、探究结论型
例1（2013年辽宁省鞍山市中考题）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE。
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
分析（1）要证明CE＝CF，只需证明△CBE≌△CDF；（2）三条线段之间的和差问题通常转为两条线段相等问题。由BE＝DF，得BE＋GD＝DF＋GD＝GF。要探究GE＝BE＋GD是否成立，只需探究GE＝GF是否成立。
解（1）在正方形ABCD中，
因为BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，
所以△CBE≌△CDF（SAS）。
所以CE＝CF。
（2）GE＝BE＋GD成立。
因为△CBE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF。
因为∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，
所以∠BCE＋∠DCG＝45°，∠DCF＋∠DCG＝45°。
所以∠GCF＝45°＝∠GCE。
因为CF＝CE，GC＝GC，所以△CFG≌△CEG（SAS）。
所以GF＝GE。
因为GF＝DF＋GD，DF＝BE，所以GE＝BE＋GD。
二、探究条件型
例2 （2013年辽宁省铁岭市中考题）如图2，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE。
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由。
分析（1）因为OA＝OB，OE＝OD，所以四边形AEBD是平行四边形。要证明它是矩形，只需再证明它有一个内角是直角；（2）如果矩形AEBD是正方形，则∠BAD＝■∠EAD＝45°。这时∠BAC＝2∠BAD＝90°。
解（1）因为点O为AB的中点，所以OA＝OB。
因为OE＝OD，
所以四边形AEBD是平行四边形。
因为AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
所以AD⊥BC，∠ADB＝90°。
所以平行四边形AEBD是矩形。
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形。理由如下：
因为△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，
所以∠BAC＝90°。
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝■∠BAC＝45°，∠ABD＝90°－∠BAD＝45°。
所以∠BAD＝∠ABD，AD＝BD。
所以矩形AEBD是有一组邻边相等的矩形。
所以矩形AEBD是正方形。
三、探究存在型
例3（2013年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图3，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP＝90°，且EP交正方形ABCD外角的平分线CP于点P，交边CD于点F。
（1）求证：AE＝EP；
（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
分析（1）在BA边上截取BK＝BE，连接KE。要证明AE＝EP，只需证明△AKE≌△ECP；（2）假设存在符合要求的点M，注意到PE⊥AE，那么DM⊥AE。因此，点M为过点D作AE的垂线与AB的交点。接下去只需探究四边形DMEP是否是平行四边形。若是，就存在；否则，不存在。
解（1）在BA边上截取BK=BE，连接KE，则△BEK是等腰直角三角形，则∠BKE＝45°，∠AKE＝135°。
因为∠DCN＝90°，CP平分∠DCN，
所以∠PCN＝45°，∠ECP＝135°。
所以∠AKE＝∠ECP。
因为AB＝CB，BK＝BE，
所以AK＝EC。
因为∠EAK＝90°－∠AEB＝∠PEC，
所以△AKE≌△ECP（ASA）。
所以AE＝EP。
（2）存在。过点D作DM⊥AE与AB交于点M，则点M即为符合要求的点（ASA）。理由如下：
因为DM⊥AE，EP⊥AE，
所以DM∥PE。
因为∠BAE＝90°－∠EAD＝∠ADM，AB＝DA，∠ABE＝∠DAM＝90°，
所以△ABE≌△DAM（ASA）。
所以AE＝DM。
因为AE＝EP，所以DM＝EP。
所以四边形DMEP为平行四边形。
