利用平行四边形的性质解题

万淑明

平行四边形是特殊的四边形，它具有许多重要的性质，比如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题，下面举例说明。

一、求角度

例1（2013年江西省中考题）如图1，?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF，则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且有公共边CD，

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长

例2（2013年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）

A．4 B．3

C．■ D．2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，从而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE=AE=DC。

三、求周长

例3（2013年山东省烟台市中考题）如图3，?荀ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______。

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD，又因为点E是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，则有OE=■BC，所以易求得△DOE的周长。

解因为?荀ABCD的周长为36，

所以2（BC+CD）=36，则BC+CD=18。

因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD=12，

所以OD=OB=■BD=6。

又因为点E是CD的中点，所以OE是△BCD的中位线，

所以OE=■BC。

所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15。

故答案填15。

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时，同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。

四、证明角相等

例4（2013年浙江省衢州市中考题）如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。

证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠3=■∠ABC，

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。

所以∠BED=∠BFD。

点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。

五、证明线段相等

例5（2013年四川省泸州市中考题）如图5，已知?荀ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证：AB=BE。

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以证明△CDF≌△BEF，从而推出BE=DC，即可证明。

证明因为F是BC边的中点，所以BF=CF。

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AB∥CD。

所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。

因为AB=DC，所以AB=BE。

点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，解题的关键是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6（2013年四川省达州市中考题）如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值。

因为在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以AC=■=5。

因为四边形ADCE是平行四边形，

所以OD=OE，OA=OC=2.5。

所以当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC。

所以OD=■=1.5，

所以ED=2OD=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键，是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。

七、综合问题

例7（2013年云南省中考题）如图7，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）

A．S■ABCD=4S△AOB

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．?荀ABCD是轴对称图形

分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。

解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

所以AO=CO，DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，

所以S■ABCD=4S△AOB，故A选项正确。

无法得到AC=BD，故B选项错误；无法得到AC⊥BD，故C选项错误；■ABCD是中心对称图形，故D选项错误。

故答案选A。

点评本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键。

平行四边形是特殊的四边形，它具有许多重要的性质，比如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题，下面举例说明。

一、求角度

例1（2013年江西省中考题）如图1，?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF，则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且有公共边CD，

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长

例2（2013年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）

A．4 B．3

C．■ D．2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，从而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE=AE=DC。

三、求周长

例3（2013年山东省烟台市中考题）如图3，?荀ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______。

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD，又因为点E是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，则有OE=■BC，所以易求得△DOE的周长。

解因为?荀ABCD的周长为36，

所以2（BC+CD）=36，则BC+CD=18。

因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD=12，

所以OD=OB=■BD=6。

又因为点E是CD的中点，所以OE是△BCD的中位线，

所以OE=■BC。

所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15。

故答案填15。

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时，同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。

四、证明角相等

例4（2013年浙江省衢州市中考题）如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。

证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠3=■∠ABC，

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。

所以∠BED=∠BFD。

点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。

五、证明线段相等

例5（2013年四川省泸州市中考题）如图5，已知?荀ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证：AB=BE。

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以证明△CDF≌△BEF，从而推出BE=DC，即可证明。

证明因为F是BC边的中点，所以BF=CF。

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AB∥CD。

所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。

因为AB=DC，所以AB=BE。

点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，解题的关键是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6（2013年四川省达州市中考题）如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值。

因为在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以AC=■=5。

因为四边形ADCE是平行四边形，

所以OD=OE，OA=OC=2.5。

所以当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC。

所以OD=■=1.5，

所以ED=2OD=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键，是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。

七、综合问题

例7（2013年云南省中考题）如图7，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）

A．S■ABCD=4S△AOB

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．?荀ABCD是轴对称图形

分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。

解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

所以AO=CO，DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，

所以S■ABCD=4S△AOB，故A选项正确。

无法得到AC=BD，故B选项错误；无法得到AC⊥BD，故C选项错误；■ABCD是中心对称图形，故D选项错误。

故答案选A。

点评本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键。

平行四边形是特殊的四边形，它具有许多重要的性质，比如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题，下面举例说明。

一、求角度

例1（2013年江西省中考题）如图1，?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF，则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且有公共边CD，

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长

例2（2013年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）

A．4 B．3

C．■ D．2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，从而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE=AE=DC。

三、求周长

例3（2013年山东省烟台市中考题）如图3，?荀ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______。

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD，又因为点E是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，则有OE=■BC，所以易求得△DOE的周长。

解因为?荀ABCD的周长为36，

所以2（BC+CD）=36，则BC+CD=18。

因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD=12，

所以OD=OB=■BD=6。

又因为点E是CD的中点，所以OE是△BCD的中位线，

所以OE=■BC。

所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15。

故答案填15。

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时，同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。

四、证明角相等

例4（2013年浙江省衢州市中考题）如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。

证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠3=■∠ABC，

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。

所以∠BED=∠BFD。

点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。

五、证明线段相等

例5（2013年四川省泸州市中考题）如图5，已知?荀ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证：AB=BE。

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以证明△CDF≌△BEF，从而推出BE=DC，即可证明。

证明因为F是BC边的中点，所以BF=CF。

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AB∥CD。

所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。

因为AB=DC，所以AB=BE。

点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，解题的关键是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6（2013年四川省达州市中考题）如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值。

因为在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以AC=■=5。

因为四边形ADCE是平行四边形，

所以OD=OE，OA=OC=2.5。

所以当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC。

所以OD=■=1.5，

所以ED=2OD=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键，是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。

七、综合问题

例7（2013年云南省中考题）如图7，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）

A．S■ABCD=4S△AOB

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．?荀ABCD是轴对称图形

分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。

解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

所以AO=CO，DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，

所以S■ABCD=4S△AOB，故A选项正确。

无法得到AC=BD，故B选项错误；无法得到AC⊥BD，故C选项错误；■ABCD是中心对称图形，故D选项错误。

故答案选A。

点评本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键。