度量李代数的扩张

贾培佩，马成，张泰

（1.河北金融学院 基础部，河北 保定 071051；2.河北软件职业技术学院 实验实训中心，河北 保定 071002）

1 基本概念与基本结论

1985年，Filippov提出了n－Lie代数（Filippov代数）的概念［1］.而n＝3的情形首先出现在文献［2］中，Nambu利用三元运算描述了3 个变元的类似于古典力学系统的Nambu 力学系统，得到了广义的三元Hamiltoni恒等式.Takhtajan对Nambu力学系统进行了研究，建立了Nambu力学系统与Filippov代数之间的联系［3］.

因为3－李代数与几何学、力学系统及玄论等的密切关系，3－李代数的研究越来越受到人们的关注.例如，Bagger和Lambert利用度量3－李代数建立了多元M2－Branes的场论模型，并且利用其在物理上的应用构造了3－李代数.关于n－李代数（n≥3）结构的更多研究与应用可参见文献［4－9］.

3－李代数是李代数的推广，是具有3－元运算的非结合代数系统.因为其多元运算，3－李代数的结构与李代数有着很大的差异，特别是3－李代数的实现问题，一直是人们关注的焦点.在文献［8］中，利用李代数及线性函数实现了3－李代数，而本文研究利用度量李代数实现3－李代数的方法.

首先介绍本文用到的几个基本概念与基本结论.

设（V，［，］）是李代数，Bv：V⊗V→F 是非退化的对称双线性型，如果Bv满足ad－不变性，即

则称（V，［，］，Bv）是度量李代数.

称是域F 上的向量空间L 是3－李代数［1］，如果L 上的斜对称3－元线性运算［，，］：L⊗L⊗L→L，满足下列等式（称为广义的Jacobi等式）

其中σ是对称群S3中的任意元素，τ（σ）等于0或1基于σ是奇置换还是偶置换.

设（L，［，，］）是3－李代数，所有元素［x，y，z］，∀x，y，z∈L 张成的线性空间记为L1＝［L，L，L］，称为L的导代数.

对任意非退化的对称双线性型B：L⊗L→F，如果B 满足ad－不变性，即

则称（L，［，，］，B）是度量3－李代数，B 称为此3－李代数的度量.

对于L 的子空间W，称W⊥＝｛x∈L｜B（x，y）＝0，∀y∈W｝为W 的正交补空间.由式（3）可知，如果W是L 的理想（即［W，L，L］⊆W），则W⊥也是理想.如果子空间W ⊆W⊥，则称W 是迷向的子空间.子空间Z（L）＝｛x∈L｜［x，L，L］＝0｝称为3－李代数L 的中心.显然，Z（L）是L 的理想.

引理1［8］设（V，［，］）是李代数，V＊是V 的对偶空间.设f∈V＊满足f（［x，y］）＝0，∀x，y∈V，则V 按下列3－元运算［，，］f构成3－李代数：

2 度量李代数的扩张

设（V，［，］，Bv）是m－维非Abel的度量李代数，f∈V＊满足f≠0，f（［x，y］）＝0对任意x，y∈V.由引理1可知，V 按运算［，，］f构成3－李代数，但Bv不是3－李代数（V，［，，］f）的度量.

事实上，如果Bv满足

对任意x，y，z，u∈V 成立，那么对∀x，y，z，u∈V，有

因为f≠0，存在V 的一组基｛x1，…，xm｝使得f（x1）＝1，f（xi）＝0，2≤i≤m，所以对于k≥2，有

由式（1），B（［xi，xj］，x1）＝B（xi，［xj，x1］）＝0，所以Bv（V1，V）＝0.由Bv的非退化性可知，V1＝0，即（V，［，］，Bv）是Abel的度量李代数，与已知矛盾，因此得到下列结论.

定理1 设（V，［，］，Bv）是非Abel的度量李代数，f∈V＊满足f≠0且f（［x，y］）＝0，∀x，y∈V，则Bv在3－李代数（V，［，，］f）上不满足ad－不变性，其中［，，］f如等式（1）定义，则Bv不是3－李代数（V，［，，］f）上的度量.

定理2 设（V，［，］，Bv）是非Abel的度量李代数，f∈V＊满足f≠0且f（［x，y］）＝0，∀x，y∈V，记L＝V+Fc是V 的1－维扩张，其中c∈／V，则（L，［，，］cf）是3－李代数，其中

证明 由式（1），［，，］cf是斜对称的3－元线性运算.下面证明［，，］cf满足式（2）.对任意x，y，z，u，v∈V，由式（6）可知，

又因为

因此，

所以（L，［，，］cf）是3－李代数.

例1 设（V，［，］，Bv）是5－维度量李代数，｛x1，x2，x3，x4，x5｝是V 的一组基，其中，

对于f∈V＊满足f（x1）＝1，f（xi）＝0，2≤i≤5.设c∈／V，L＝V+Fc，由定理2，（L，［，，］cf）是3－李代数，在基｛x1，x2，x3，x4，x5｝下的乘法为［x1，x2，x3］cf＝x5＋c.

定理3 设（V，［，］，Bv）是域F 上的m－维度量李代数，f∈V＊满足f≠0，f（V1）＝0.若G＝V+Fc0+fc－1是线性空间的直和，其中c0，c－1∈／V，那么（G，［，，］，B）是（m＋2）－维度量3－李代数，其中对任意的x1，x2，x3∈V，有

B：G⊗G→G 是对称双线性型，满足

其中［，，］f由式（4）定义.

证明 对∀x1，x2，x3，x4，x5∈V，由式（6）可知，［x1，x2，x3］＝［x1，x2，x3］cf.又由定理2可知，

由式（7）可得，对任意x1，x2，x3，x4∈V，有

所以，

因此得到（G，［，，］）是3－李代数.

由式（7）和式（8）可知，B：G⊗G→G 是非退化的对称双线性型，且对任意x1，x2，x3∈V，有

所以B 在3－李代数（G，［，，］）上满足式（3）.再由式（8）可知B 是非退化的，因此（G，［，，］B）是度量3－李代数，且对任意x，y∈V，B（x，y）＝Bv（x，y）.

对一个具有迷向中心的度量李代数与度量3－李代数，极大迷向中心在其代数结构的物理应用中有着重要意义.定理3告诉我们，由具有迷向中心的度量李代数可以得到具有迷向中心的3－李代数.

定理4 设（V，［，］，Bv）是域F 上非Abel的具有非零的迷向中心Z（V）的m－维度量李代数，f∈V＊满足f≠0，f（V1）＝0.设（G＝V+Fc0+Fc－1，［，，］，B）是定理3中的（m＋2）－维度量3－李代数，其中c0，c－1∈／V，那么Z（G）＝Z（V）+Fc－1，且Z（G）是迷向的.

证明 因为度量李代数（V，［，］，Bv）具有迷向中心Z（V），由文献［7］引理2.3可知，Z（V）⊆V1.因此f（Z（V））＝0.任取z∈Z（V），及∀x，y∈V，［z，x］＝［z，y］＝0，由式（7）可得，

所以Z（V）⊆Z（G）.又对任意的q＝ω＋λc0＋μc－1∈Z（G），ω∈V，以及任意的x，y∈V，有

由x 的任意性，ω∈Z（V）.由［q，x，y］＝［ω＋λc0＋μc－1，x，y］＝λ［x，y］＝0及（V，［，］）是非Abel的李代数，得到λ＝0，所以q＝ω＋μc－1，即Z（G）⊆Z（V）+Fc－1.因此，Z（G）＝Z（V）+Fc－1.又由式（7）可知，B（Z（G），Z（G））＝0，所以Z（G）是迷向的.

［1］ FILIPPOV V.N－Lie algebras［J］.Sib Mat Zh，1985，26（6）：126－140.

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