Loeb乘积空间及Keisler′s Fubini定理

史艳维

（西安培华学院 基础部，陕西 西安710125）

1 引言与预备知识

自20世纪60年代，A.Robinson［1］创立非标准分析理论以来，非标准测度就一直是研究的热点之一.1975年，Loeb在文献［2］中，基于Caratheodory扩张定理［3－4］，将一个在内代数上的内有限可加测度扩张到由这个内代数生成的σ－代数上，成为一个标准测度，称之为Loeb测度.之后，Loeb测度被广泛地应用于测度论、概率论、随机分析、控制论、数理经济等方面的研究中.本文在非标准多饱和模型下，研究Loeb乘积空间及 Keisler′s Fubini定理.对于内有限可加测度空间（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2），分别构造Loeb乘积空间L（Y1×Y2）和乘积Loeb空间L（Y1）×L（Y2），并给出两者之间的联系.讨论L（A1×A2）－可测集截口的可测性.在Loeb乘积空间上证明了Keisler′s Fubini定理.

本文的讨论假设在非标准多饱和模型下进行，详细的内容可以参见文献［5－9］.

定义1 设Y是非空内集，A⊆2Y是Y上的内代数，称（Y，A）为内可测空间.如果内映射ν：A→＊R＋∪｛0｝满足可加性（即 ∀A，B∈A，若A∩B＝ø，则ν（A∪B）＝ν（A）＋ν（B）），那么称（Y，A，ν）是内有限可加测度空间.

若（Y，A，ν）是内有限可加测度空间且ν（Y）有限，定义映射为，∀B∈2Y，

引理1［2］L（A）是σ－代数，νL是L（A）上完备的σ－可加测度.

定义2 设（Y，A，ν）是内有限可加测度空间且ν（Y）有限，称标准测度空间（Y，L（A），νL）为关于（Y，A，ν）的Loeb空间，简称为Loeb空间.

引理2［3］设ν是代数A上的一个有限可加测度，如果对于A中任意的互不相交的可数集列｛An｝n∈N，当时，都有，那么ν有一个σ－可加扩张.若ν是有限的，则扩张是唯一的.

定义3 设X与Y 是两个集合，E⊆X×Y，令Ex＝ ｛y∈Y：（x，y）∈E｝，Ey＝ ｛x∈X：（x，y）∈E｝，称Ex及Ey分别为E在x及y处的截口.设f（x，y）为X×Y上的函数，为方便起见，记fx（y）＝f（x，y）＝fy（x）.

引理3［2］设（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是两个内测度空间，（Y1×Y2，A1×A2，ν1×ν2）是乘积内空间，F为A1×A2－可测的S有界的内函数，则

（1）对于∀y1∈Y1，F在y1处的截口Fy1是A2－可测的内函数；

（2）对于∀y2∈Y2，F在y2处的截口Fy2是A1－可测的内函数；

2 主要结果

设（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是两个内有限可加测度空间，且ν1（Y1）和ν2（Y2）有限，可以构造相应的Loeb空间的乘积：L（Y1）×L（Y2）＝ （Y1×Y2，L（A1）×L（A2），（ν1）L×（ν2）L），其中L（A1）×L（A2）＝ ｛A1×A2｜A1∈L（A1），A2∈L（A2）｝，任取A1×A2∈L（A1）×L（A2），（ν1）L×（ν2）L（A1×A2）＝ （ν1）L（A1）×（ν2）L（A2）.由Caratheodory扩张定理，可以得到σ（L（A1）×L（A2））上的乘积测度，仍记为（ν1）L×（ν2）L，令是σ（L（A1）×L（A2））关于乘积测度（ν1）L×（ν2）L的完备化.

也可以先构造乘积内有限可加测度空间（Y1×Y2，A1×A2，ν1×ν2），其中A1×A2＝ ｛A1×A2｜A1∈A1，A2∈A2｝是由A1和A2生成的乘积内代数，对于 ∀A1×A2∈A1×A2，ν1×ν2（A1×A2）＝ν1（A1）×ν2（A2）.则ν1×ν2也可以扩张成σ（A1×A2）上的测度，通过这个测度的完备化，得到相应的Loeb乘积空间：L（Y1×Y2）＝ （Y1×Y2，L（A1×A2），（ν1×ν2）L）.

定理1 设（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是两个内有限可加测度空间，且ν1（Y1）和ν2（Y2）有限，则并且在上，（ν1×ν2）L与（ν1）L× （ν2）L是一致的.

证明首先其中是σ（A1）×σ（A2）关于（ν1）L×（ν2）L的完备化.事实上，任取A2∈A2，由于｛A1∈σ（A1）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝是一个σ代数且｛A1∈σ（A1）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝⊇A1，则｛A1∈σ（A1）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝＝σ（A1）.

同理，任取A1∈σ（A1），可得｛A2∈σ（A2）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝＝σ（A2），从而σ（A1）×σ（A2）⊆σ（A1×A2）.由 Caratheodory 扩 张 定 理 可 知，（ν1×ν2）L｜σ（A1）×σ（A2）＝ （ν1）L× （ν2）L｜σ（A1）×σ（A2）.因 此，

定理2 对于 ∀A ∈L（A1×A2），如果（ν1×ν2）L（A）＝0，则对于几乎所有的y1∈Y1，截口Ay1是L（A2）－可测的，且（ν2）L（Ay1）＝0.

证明设Y1×Y2中的递减内子序列｛Bn｝满足且（ν1×ν2）L（Bn）→0.令由于Bn∈A1×A2，由引理3，对于，则对于每一个n∈N，ν2（（Bn）y1）是 A2 －可测的，所以是L（A2）－可测的.由于ν1×ν2（Bn）＝∫ν2（（Bn）y1）dν1，且由Loeb测度的定义，得出

由单调收敛定理，则

因此，对于几乎所有的y1∈Y1，（ν2）L（By1）＝0.又因为A⊆B，故对于几乎所有的y1∈Y1，Ay1是L（A2）－可测的，且（ν2）L（Ay1）＝0.

定理3 设（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是两个内有限可加测度空间，且ν1（Y1）和ν2（Y2）有限，f：Y1×Y2→R是L（A1×A2）－可测函数，则

（1）对几乎所有的y1∈Y1，fy1是L（A2）－可测的；

（2）若f是可积的，则

（ⅰ）对几乎所有的y1∈Y1，fy1在Y2上是Loeb可积的；

（ⅱ）函数g（y1）＝∫Y2f（y1，y2）d（ν2）L在Y1上是Loeb可积的；

证明对函数f是有界或无界分两种情况进行讨论.

若f是有界L（A1×A2）－可测函数，则存在f的S有界提升F，令A＝ ｛（y1，y2）｜°F（y1，y2）≠f（y1，y2）｝，则A 是零测度集.由定理2，对于几乎所有的y1∈Y1，Ay1是L（A2）－可测的，且（ν2）L（Ay1）＝0，于是对于几乎所有的y1∈Y1， °Fy1＝fy1，即Fy1是fy1的提升.由引理3可知，Fy1是A2－可测的，从而对几乎所有的y1∈Y1，fy1是L（A2）－可测的.令G（y1）＝∫Y2F（y1，y2）dν2，由引理3，则G（y1）是A1 －可测的.又因为所以g（y1）是L（A1）－可测的，且

若f无界，对于每一个有限数n，f∧n是有界L（A1×A2）－可测函数，由有界情形可得，对几乎所有的y1∈Y1，（f∧n）y1是L（A2）－可测的，令n→∞，由单调收敛定理，则fy1是L（A2）－可测的.同理可证fy1是Loeb可积的，及g（y1）＝∫Y2f（y1，y2）d（ν2）L是Loeb可积的.由单调收敛定理，

通过对Loeb乘积空间和Keisler′sFubini定理的讨论，不仅为非标准测度论拓宽了研究范围，而且为测度理论的探索提供了一种新的思路和方法.

［1］ROBINSON A.Nonstandard analysis［M］.Amsterdam：North－Holland，1963：31－37.

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