股票价格遵循Ornstein－Uhlenbeck过程的复合期权定价

杨淑彩，薛 红，薛应珍

（1.西安工程大学 理学院，陕西 西安710048；2.西安外事学院 商学院，陕西 西安710077）

期权定价问题是金融数学中的核心问题之一.1973年Black和Scholes［1］假定股票价格遵循几何布朗运动，股票利率和波动率为常数的情况下获得Black－Scholes公式，是金融界关于期权定价的里程碑.然而假设股票价格服从几何布朗运动并假设期望收益率为常数，则意味着随着时间的变化，股票价格收益率将只朝同一方向变化.实践表明，股票的期望收益率是不可能随时间朝一个方向（上升或者下降）变化的，而是波动变化的，其波动与时间和股票价格有关，解决这个问题可以考虑使股票价格过程服从O－U过程.

传统的期权定价方法有解偏微分方程法［2－6］、离散模型逼近法［7］、鞅方法［8］3种.这些方法通常假设金融市场是无套利均衡的完全市场，如果市场是有套利的或不完全的市场，这时等价鞅测度不存在或存在而不唯一，用传统的期权方法定价就有一定的困难.Bladt和Rydberg［9］提出了保险精算方法，这与传统期权定价方法有着本质不同：保险精算方法将股票价格按照期望收益率贴现到现在时刻由此得到期权的定价.闫海峰、刘三阳研究了股票价格遵循O－U过程的欧式期权定价［10］；毕学慧、杜雪樵在利率确定和股票价格遵循几何布朗运动模型的情形下，利用保险精算方法给出了复合期权定价公式［11］.

复合期权是一类期权的期权，复合期权给予持有人这样的权利：他可以在若干天以后（即t＝T1时刻）以价格＾K购买（出售）在日后t＝T2（T2＞T1）时刻到期且执行价格为K的看涨（看跌）期权.复合期权有看涨期权的看涨期权、看涨期权的看跌期权、看跌期权的看涨期权、看跌期权的看跌期权4种类型.

本文假设股票价格遵循指数O－U过程，无风险利率为常数的情况下，用保险精算方法推导出到期日T1的看涨期权的定价公式，其他3种复合期权定价公式可以类似地得到.

1 数学模型

连续时间金融市场只有两种资产，一种是无风险资产（如债券），在t时刻的价格P（t）满足dP（t）＝P（t）r（t）dt，P（0）＝1，其中r（t）为t时刻的无风险利率并假设r（t）是［0，T］上的实值可积函数；另一种是风险资产（如股票），且价格满足如下随机微分方程

其中，｛B（t）：t≥0｝是定义在完备概率空间（Ω，F，P）上的标准Brown运动；μ，α，σ为常数，并且α＞0，σ＞0，常数α的作用在于股票价格上升到一定高度后，它使S（t）有下降的趋势.与Black－Scholes模型相比较，模型（1）相当于考虑预期收益率依赖于股票价格的Black－Scholes模型.显然当α→0＋模型（1）即为Black－Scholes模型.

2 复合期权的保险精算定价

定义1 随机过程｛S（t）：t≥0｝在［0，T］区间产生的期望收益率被定义为

在此定义中，不要求过程｛S（t）｝的具体形式，E是S（T）在实际概率分布下的数学期望.用V（S（T1），T1）表示原生期权在T1时刻的价格，Vco（S，0）表示现在时刻此复合期权的保险精算价格.

定义2 当期权被执行时，到期日股票价格的折现值与执行价格K的折现值的差在股票价格实际分布的概率测度下的数学期望值与无风险资产＾K 在T1时刻的折现值在股票价格实际分布的概率测度下的数学期权值的差，即为复合期权的保险精算价值，定义为

其中，r为无风险利率，IA是集合A的特征函数.

定义2中，没有对金融市场和价格过程作任何限制，计算复合期权价格时，只利用了价格过程在T1，T2时刻的实际概率分布和公平保费原理，克服了鞅方法定价中寻找等价鞅测度的困难，所以保险精算定价对非均衡、不完备金融市场也适用.

复合期权保险精算定价与传统无套利定价的区别在于：在保险精算定价中，原生期权的买权执行条件为而不是S（T2）＞K；复合期权的买权执行条件是而不是

引理1［10］如果股票价格S（t）满足方程（1），则

引理2［10］设股票价格满足方程（1），则原生期权的价格为

引理3 假定股票价格满足方程（1），则欧式看涨期权的价格函数V（S（T1），T1）关于S（T1）是单调递增的.

证明根据引理2的结果，有

引理得证.

引理4［11］（B（T1），B（T2））的联合分布的密度函数fT1T2（x，y）为

定理1 设股票价格满足方程（1），则

证明由引理1

可得

由引理3知，对应欧式看涨期权的价格函数V（S（T1），T1）关于S（T1）是单调递增的，所以存在唯一的S＊为下面方程根

或等价于

即ξ＞x0，这里ξ～N（0，m1）.

即η＞y0，这里η～ N（0，m2）.

同理有

证毕.

注：（1）当α→0＋时，可得文献［11］的结果.

（2）期权价格与μ无关，即欧式复合期权值与股票预期收益率的线性漂移项无关.

［1］BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate［J］.Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－654.

［2］孙玉东，薛红.分数型欧式期权定价模型［J］.纺织高校基础科学学报，2009，22（2）：204－206.

［3］KALLSEN J.Optimal portfolios for exponential Levy processes［J］.Mathematical Methods of Operations Research，2000，51（3）：357－374.

［4］孙玉东，师义民，谭伟.带跳混合分数布朗运动下利差期权定价［J］.系统科学与数学，2012，32（11）：1377－1385.

［5］薛红，孙玉东.分数跳－扩散过程下亚式期权定价模型［J］.工程数学学报，2010，27（6）：1009－1014.

［6］PRIGENT Jean－Luc.Option pricing with a general marked point process［J］.Mathematical Methods of Operations Research，2001，26（1）：50－66.

［7］COX J C，ROSS S A，RUBINSTEIN M.Option pricing：A simplified approach［J］.Journal of Economics，1979，7（3）：229－263.

［8］王献东，杜雪樵.跳扩散模型下的复合期权定价［J］.数学的实践与认识，2009，39（14）：6－11.

［9］BLADT M T，RYDBERG H.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1998，22（1）：65－73.

［10］闫海峰，刘三阳.股票价格遵循 Ornstein－Uhlenback过程的期权定价［J］.系统工程学报，2003，18（6）：547－551.

［11］毕学慧，杜雪樵.复合期权的保险精算定价［J］.合肥工业大学学报，2008，31（8）：1343－1346.