小学数学教学“教什么”？鄢

2014-07-23李祎王珍

教学与管理(小学版) 2014年2期

李祎+王珍

教学研究的基本问题是“教什么”和“怎么教”，前者关乎教学内容，后者关乎教学形式。教学内容决定教学形式，教学形式服务于教学内容。“教什么”永远比“怎么教”更重要。先进理念首先关乎教学内容，首先要关注“教什么”。

从“教什么”的视角来看，数学教师教学水平的高低，首先体现在对教学内容的把握上。低水平的教书匠，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，是知识的搬运工；高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材中显性知识的同时，挖掘出其包含的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容。

这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，我们认为是数学的本质、过程、思想和结构。认识到数学教材中蕴含的这些丰富的隐性知识，通过深度挖掘和解读教材隐性知识，达到与隐性知识的深度对话，有助于提高数学课堂的实效和学生的综合能力。

一、教“本质”

数学概念是反映数学对象的本质属性的思维产物，所谓本质属性就是该类事物共有和特有的稳定属性。数学概念包括内涵和外延两个方面，揭示数学概念的本质属性，就是要掌握概念的内涵，明确概念的外延。比如，对于数学中最简单的概念——自然数的学习，必需明确自然数的两重意义：一是表示数量意义，即被数的物体有“多少个”，这种用来表示事物数量的自然数，称为基数；二是表示次序意义，即最后被数到的物体是“第几个”，用来表示事物次序的自然数，称为序数。自然数不仅包括正整数1，2，3，……还包括0，这就是自然数的外延。

数学中有些概念的本质，相对比较隐晦，需要教师努力揭示。比如，“把连接两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离。”“从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度叫做点到直线的距离。”这样的定义并没有直接反映出距离的本质。那么，距离的本质是什么呢？距离的本质就是“最小值”：图形P内的任一点与图形Q内的任一点间的距离中的最小值，叫做图形P与图形Q的距离。在教学中把握住这一本质，那么，后续学习“两平行线之间的距离”“点到平面的距离”“直线到与它平行的平面的距离”“两个平行平面的距离”“异面直线的距离”的概念时，学生往往也能不教自明，从而顺利实现知识的迁移。这同时也说明，掌握数学概念的本质，并不意味着简单地背诵概念的定义。

学习数学不仅要掌握数学概念的本质，还要掌握数学结论和数学方法的本质。

所谓数学结论，是指数学中的公理、定理、公式、法则等。把握数学结论的本质，并不仅仅在于记住结论本身，更在于理解其内涵，明确其意义，掌握其成立的理由。比如对于三角形而言，三个内角大小反映了三角形的形状，不同三角形的三个内角不全相同，但三个内角之和却是一个定值，这就是三角形的内角和定理，它反映了任意三角形的三个内角之间所满足的等量关系，据此就可以实现“知二求一”。对于该结论，不仅可以通过测量、剪拼、折叠等方法来获得和理解，还可以通过直观手段对其进行验证。比如图1，用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C 为定点，A为动点。放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，考察点A变化时所形成的一系列的三角形……根据其内角的变化即可直观地获得和理解该结论。另外，还可以这样理解和建构该结论：如图2，假设一个人从A点出发，沿着逆时针方向经过各个顶点，然后回到出发的A点并转向出发时的方向，这个人所转过的角的和恰好是这个三角形的外角和。由于刚好转了一圈回到出发点，因此其外角和是360°，所以三角形的内角和就是180°。不难发现，这种方法可用来解释任意凸多边形的外角和与内角和，因而更为本质地反映了结论的内在规律性。

数学中除了一些结论性知识，还有大量的方法性知识，比如运算的方法、度量的方法、变换的方法、论证的方法等。掌握数学方法的本质，不仅要掌握“怎么做”，即方法运用的程序与步骤，还要掌握“为什么可以这样做”，即方法运用的缘由、条件和范围等。比如对于数的加、减运算的方法，必需抓住计数单位这一本质。因为自然数以“1”为标准，“1”是自然数的单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。同分母分数，因为它们的分数单位相同，所以能直接相加减；异分母分数，因为它们的分数单位不同，所以就要把它们化成相同的单位，这样才可以相加减。小数的加减运算为什么小数点对齐才能相加减呢？其本质也是相同计数单位要对齐。在小数中，小数点的左边是整数部分，第一位是个位，第二位是十位……小数点右边是小数部分，第一位是十分位，第二位是百分位……在计算小数加、减法的竖式中，只要小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计数单位也就能相加减了，而不必考虑小数的末位是不是一定要对齐。所以对于运算方法，不仅要教算法，更要教算理。其他方法性知识的教学同样如此。

二、教“过程”

数学有三种形态：原始形态、学术形态和教育形态。原始形态是指数学家在探索、发现数学真理时所进行的曲折、复杂的数学思考；学术形态是指数学家对探索、发现的数学真理进行归纳、整理形成文本材料后的一种形态，它呈现出的是“简洁的、冰冷的形式化美丽”；教育形态是指教师通过自己的设计，将学术形态的数学知识有效地“激活”，使学生在学习数学时，能够模仿数学家进行“火热的思考”，它是介于原始形态和学术形态之间的一种形态。

弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。因此他说教材是“教学法的颠倒”。为了彰显数学知识的过程性，通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力，让数学“冰冷的美丽”唤发学生“火热的思考”，在小学数学教学设计中要采用稚化思维的设计策略。

所谓稚化思维，就是教师把自己的外在权威隐蔽起来，在教学时不以一个知识丰富的教师自居，而是把自己的思维降格到学生的思维水平上，亲近学生、接近学生，有意识地退回到与学生相仿的思维状态，设身处地地揣摩学生的学习水平、状态等，有意识地生发一种陌生感、新鲜感，以与学生同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。endprint

比如在“乘法的初步认识”的教学中，要把自己的思维置身于前人“做乘法”的境地，想象自己在对乘法一无所知的情况下面临的困惑，由衷地感受到乘法的出现所蕴含的价值[1]：一是简化意识的形成。前人在做大量的加法时，发现加法可分为两类：一类是加数不同的加法，一类是加数相同的加法。加数相同的加法是不是可以有一种更简便的方法呢？二是思维视角的变化。在乘法出现之前，加减运算所关注的都是整体里的具体数量，这属于同一层面的视角，而乘法则必须既注意到整体里的具体数量，同时还关注到整体的个数，这可谓是既见树木又见森林，思维视角发生的变化显示出思维层次的提升。

无疑，让学生能经历这两个方面的“再创造”，才是真正有价值的学习。因此在教学中要充分调动学生的直观生活经验，让学生体验相同加数相加的实际问题很普遍。同时引导学生从相同加数和相同加数的个数不同等角度去看待问题，学会“几个几”的表达方式。在由加法算式改写成乘法算式这一环节，为什么用乘法表示，怎样用乘法表示，都尽可能让学生回到知识生成的原生状态，让学生去把需要发现的知识建构和再创造出来。只有经历了这样的乘法形成的原生态过程，学生才能真正领悟和掌握乘法的意义，才能有效地培养和发展学生的各种数学能力。

“过程”是形成“结论”或获得“结果”而必须经历的程序、步骤，没有“过程”便没有真正意义上的“结果”。教师在数学教学中，为了凸显知识的本质特征，强化学生的数学理解，注重学生的能力培养，就必需重视知识的生成、发生、发展。掐头去尾烧中段，忽视知识的来龙去脉，有意无意减缩思维过程，就可能造成思维断层，出现严重“消化不良”，从而降低数学教学的质量。当然在实际的小学数学教学中，由于各种原因，有时做不到彻底的知识的原生态建构，但只有有了这样的意识和追求，课堂教学才会尽可能地贴近当时的真实情境。

三、教“思想”

数学问题可以千变万化，而其中运用的数学思想方法，却往往是相通的。不去领悟数学思想方法，只满足于对知识结论的记忆和解题技巧的掌握，这种“重术轻道”的数学教学，难以培养出有创造力的人才。因为数学知识教学只是信息的传递，而数学思想方法的教学才能使学生形成观点和技能。数学学习的根本目的，就在于掌握这种具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识——数学思想方法。

所谓数学思想是指人们从某些具体数学内容和对数学的认识过程中抽象概括出来的对数学知识内容的本质认识。数学方法是指人们在数学问题解决过程中所采取的步骤、程序和实施办法。数学思想是数学的灵魂，是数学内容和数学方法的升华与结晶，它支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，它为数学思想提供逻辑手段和操作原则。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作依据一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

小学数学教材中蕴涵了丰富的数学思想方法，但这些思想方法往往并没有明确地写在教材上。如果说显性的数学知识是写在教材上的一条明线，那么隐性的思想方法就是潜藏其中的一条暗线。明线容易理解，暗线不易看清。“明线”直接用文字形式写在教材里，反映知识间的纵向联系；“暗线”反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要经过分析、提炼才能显露出来。在数学教材里，到处都体现着这两条线的有机结合。

比如在人教版小学数学五年级上册“简易方程”一节的教学中，包含了许多数学思想方法：通过多种形式，由符号表示数，到用字母表示数，由此渗透了代数的基本思想——用字母表示数的符号化思想；字母既可以表示已知量，也可以表示未知量，当字母表示未知量时，要设法建立包含未知数的等式——方程思想；为了建立方程，通常需要寻找一个量，这个量既可以这样进行表示，也可以那样进行表示，由此获得等量关系，这即是重要的数学思想——不变量思想；解方程的过程，是采用对象性思维的方式，利用等式的性质对方程进行等价变形的过程——等价转化思想；建立方程过程中的诸多实例，都是采用“问题情境——建立模型——求解验证”的思路，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程——数学模型思想；对于方程求解的方法与步骤，采用了由具体实例到一般意义的抽象概括——从特殊到一般的归纳思想；在归纳数量关系用字母表示时，还渗透了变量间的对应和依存关系，如标准体重随着身高的变化而变化，两个量之间具有一一对应的关系——函数思想。

四、教“结构”

美国教育家布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓学科基本结构，是指该学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，是指知识的整体性和事物的普遍联系，而非孤立的事实本身和零碎的知识结论。他认为，这种基本结构应该成为教学过程的核心，因为掌握了学科知识的基本结构，就能把握住知识体系的核心和关键，就可以从宏观上理解学科知识，避免“只见树木不见森林”。

小学数学的各个内容领域，都是按照数学的科学体系和儿童认知发展顺序建立起来的统一体。因此钻研教材和进行教学，不仅要研究本节课的教学内容，更要研究这部分内容与前后知识的内在联系；不仅要熟悉自己所教年级的教学内容，还要熟悉相邻年级的教学内容，甚至要熟悉整个学段的教学内容。这样才能了解到所要教学的内容是在怎样的基础上发展起来的，又怎样为后面所要学习的内容作准备；才能在教学中有意识地沟通新旧知识的纵横联系，突出基本概念和基本规律。

比如在“多边形面积的计算”的教学中，教师应重视引导学生加强对知识之间内在联系的认识，帮助学生构建完整的知识体系，形成良好的数学认知结构，以有利于学生对数学知识的理解。一方面，在各种图形的面积计算公式的推导过程中，要充分利用割补、拼摆、平移、旋转等实际操作，引导学生运用化归转化的思想，把所研究的图形转化成已经会计算面积的图形，在探索规律、推导公式的同时，使学生感受各种图形之间的区别与联系；另一方面，在学生掌握了各种图形的面积计算公式的基础上，要引导和帮助学生沟通各种图形的特征及面积计算公式之间的内在联系，将三角形、平行四边形、长方形、正方形等看作梯形在不同条件下的特殊情况，从而把学生所学过的面积计算公式统一为梯形面积公式。

数学中的各种内在联系，不仅包括知识之间的内在的纵向联系，还包括思想方法之间的横向联系。比如在“图形度量”方面，分别研究了长度、角度、面积、体积的度量方法。知识展开的逻辑顺序是：线段长→多边形周长→圆周长；两直线的夹角→角的度量→两直线位置关系；单位正方形面积→长方形与正方形面积→其他多边形面积→圆面积→多面体表面积；单位正方体体积→长方体与正方体体积→圆柱体积→圆锥体积。四项研究的具体内容不同，但其逻辑结构却是相同的，都是“定义几何量→确定度量单位→寻求度量方法→建立可能的度量公式”，这就是数学中的基本思想——度量思想。如研究长方形周长：定义周长是各边长度之和→定义长度单位是某根尺的长度或其更小分量→推出“周长等于长加宽乘以2”。[2]

因此，挖掘内在联系，找准核心思想，通过融汇贯通的过程，使我们透过繁杂的现象，抓住了本质，同时简化了记记。更重要的是，学会了认识问题的思想方法：由寻找联系入手，把个别的、离散的现象构造成浑然一体的系统，这标志着能力的提高和素质的发展。

总之，高水平的数学教师，通过犀利而深邃的数学眼光，看到的不只是各种数学概念、公式、法则和图表，而应是书中跳跃着的真实而鲜活的数学内容。这些内容给人的感觉是“不在书里，就在书里”。教师对这些内容挖掘得越丰富，感悟出来的道理就越透彻，设计出来的教学就会越厚重，学生由此而汲取的数学营养就会越丰富。

参考文献

[1] 王俊.返回知识生成的原生状态——“乘法的初步认识”的教学思考与实践[J].小学数学教师，2004（120）.