谈椭圆焦半径的几何转化

冯刚

我们平时对解析几何的认识是几何问题代数化，即用代数方法解决几何问题.因此，往往将思路固定在了代数方法而忽略了其本质还是几何问题.事实上，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧.就如老师辅导学生一样，因为学生才是主体，若学生自身不努力，那老师的辅导是很艰难的.

对于江苏高考，解析几何有其特殊的重要地位，一般是18题，若此题做不好，那分数不但得不高，还会产生焦虑，影响后两道难题.而通过笔者的研究，解析几何问题也是有规可循的.原因是2002年初中课改，已经将韦达定理排除在课程之外，命题就较为单一.08年、09年高考命题是直线和圆的问题，需要紧扣圆的几何性质解决，而10年、11年、12年又回到了直线和椭圆问题，因此，直线和椭圆问题仍会是高考解析几何的命题重点.那是不是因为椭圆的性质少了，就纯用代数方法去解决了呢？

下面笔者就“直线过椭圆焦点”问题来谈一谈.（附注：直线和椭圆的三类相交问题是指“直线过椭圆焦点”问题、 “直线过椭圆上已知点” 问题、 “直线过椭圆中心” 问题.）

例1（2012年江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率；

(ⅱ)求证:PF1+PF2是定值.

分析1第一小题求椭圆的方程就要求两个参数，而已知条件为两个点，利用方程思想即可解决.

解(1)由题设知,a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由点(e,32)在椭圆上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以椭圆的方程为x22+y2=1.

分析2第二小题很多人的想法就是代数运算，设出直线AF1的方程，根据平行关系得出直线BF2的方程，从而联立方程解出A,B两点的坐标，从而求出AF1,BF2的长，进而解决第二小题，过程计算非常复杂，见下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为AF1∥BF2,

所以设AF1、BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直线AF1的斜率为1m=62.

(ⅱ)证明:因为AF1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由点B在椭圆上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函数式为y=3sinπ6t+10．

（2）由题意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化简得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，该船在1时至5时或13时至17时能安全进港．

若该船当天安全离港，在港内停留的时间最多不能超过16 h．

函数y=Asin(ωx+φ)作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究的实际问题十分广泛.由于周期现象有明显的图象特征，在解决这些实际问题的过程中，体验图象的应用，既可以加深对函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的认识和理解，又能培养数学应用的意识和数学应用的能力.在学习函数y=Asin(ωx+φ)时，是一个值得我们引起关注的重要环节．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重视解析几何问题的本质还是几何问题，优先思考几何性质的运用，那就简单很多了.那过焦点的直线AF1如何求呢？关键是对点A的处理，除了上述代数上的“设点法”，还可以根据几何图形用“设角法”.如右图，设∠AF1O=θ，点A到相应准线的距离为d，根据统一定义：而将d平移到对称轴F1F2上即为OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦点到相应准线的距离即为p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ为钝角，还是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

从而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中离心率e=22，焦准距p=1），则cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.运用了几何性质来解题后，代数运算过程大量减少.

第二小题同样可以运用几何性质来解决，

因为AF1∥BF2，则△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因为BF1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②两式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根据以上研究，笔者将两种方法的结构整合，考虑直线过椭圆的焦点时，只需考虑焦点弦AB，因而只需焦半径AF（或BF），那如何确定焦半径，可以设角（设θ=∠AFO）或设点坐标（设A(x,y)），即“设角法”（就是有人认为所谓的极坐标法）与“设点法”.“设点法”表面上好像有两个变量x,y，实际上由于点在椭圆上即满足椭圆方程，即由一个变量决定点A的位置.但每次计算成为这种纯代数法的弊端.而如果注重了解析几何问题的几何性质，利用“设角法”， 学生很容易在几何图形上根据椭圆的定义推导出焦半径公式，更不需要去死记硬背多种情况下的焦半径公式.因此，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧.

我们平时对解析几何的认识是几何问题代数化，即用代数方法解决几何问题.因此，往往将思路固定在了代数方法而忽略了其本质还是几何问题.事实上，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧.就如老师辅导学生一样，因为学生才是主体，若学生自身不努力，那老师的辅导是很艰难的.

对于江苏高考，解析几何有其特殊的重要地位，一般是18题，若此题做不好，那分数不但得不高，还会产生焦虑，影响后两道难题.而通过笔者的研究，解析几何问题也是有规可循的.原因是2002年初中课改，已经将韦达定理排除在课程之外，命题就较为单一.08年、09年高考命题是直线和圆的问题，需要紧扣圆的几何性质解决，而10年、11年、12年又回到了直线和椭圆问题，因此，直线和椭圆问题仍会是高考解析几何的命题重点.那是不是因为椭圆的性质少了，就纯用代数方法去解决了呢？

下面笔者就“直线过椭圆焦点”问题来谈一谈.（附注：直线和椭圆的三类相交问题是指“直线过椭圆焦点”问题、 “直线过椭圆上已知点” 问题、 “直线过椭圆中心” 问题.）

例1（2012年江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率；

(ⅱ)求证:PF1+PF2是定值.

分析1第一小题求椭圆的方程就要求两个参数，而已知条件为两个点，利用方程思想即可解决.

解(1)由题设知,a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由点(e,32)在椭圆上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以椭圆的方程为x22+y2=1.

分析2第二小题很多人的想法就是代数运算，设出直线AF1的方程，根据平行关系得出直线BF2的方程，从而联立方程解出A,B两点的坐标，从而求出AF1,BF2的长，进而解决第二小题，过程计算非常复杂，见下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为AF1∥BF2,

所以设AF1、BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直线AF1的斜率为1m=62.

(ⅱ)证明:因为AF1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由点B在椭圆上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函数式为y=3sinπ6t+10．

（2）由题意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化简得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，该船在1时至5时或13时至17时能安全进港．

若该船当天安全离港，在港内停留的时间最多不能超过16 h．

函数y=Asin(ωx+φ)作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究的实际问题十分广泛.由于周期现象有明显的图象特征，在解决这些实际问题的过程中，体验图象的应用，既可以加深对函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的认识和理解，又能培养数学应用的意识和数学应用的能力.在学习函数y=Asin(ωx+φ)时，是一个值得我们引起关注的重要环节．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重视解析几何问题的本质还是几何问题，优先思考几何性质的运用，那就简单很多了.那过焦点的直线AF1如何求呢？关键是对点A的处理，除了上述代数上的“设点法”，还可以根据几何图形用“设角法”.如右图，设∠AF1O=θ，点A到相应准线的距离为d，根据统一定义：而将d平移到对称轴F1F2上即为OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦点到相应准线的距离即为p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ为钝角，还是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

从而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中离心率e=22，焦准距p=1），则cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.运用了几何性质来解题后，代数运算过程大量减少.

第二小题同样可以运用几何性质来解决，

因为AF1∥BF2，则△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因为BF1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②两式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根据以上研究，笔者将两种方法的结构整合，考虑直线过椭圆的焦点时，只需考虑焦点弦AB，因而只需焦半径AF（或BF），那如何确定焦半径，可以设角（设θ=∠AFO）或设点坐标（设A(x,y)），即“设角法”（就是有人认为所谓的极坐标法）与“设点法”.“设点法”表面上好像有两个变量x,y，实际上由于点在椭圆上即满足椭圆方程，即由一个变量决定点A的位置.但每次计算成为这种纯代数法的弊端.而如果注重了解析几何问题的几何性质，利用“设角法”， 学生很容易在几何图形上根据椭圆的定义推导出焦半径公式，更不需要去死记硬背多种情况下的焦半径公式.因此，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧.

我们平时对解析几何的认识是几何问题代数化，即用代数方法解决几何问题.因此，往往将思路固定在了代数方法而忽略了其本质还是几何问题.事实上，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧.就如老师辅导学生一样，因为学生才是主体，若学生自身不努力，那老师的辅导是很艰难的.

对于江苏高考，解析几何有其特殊的重要地位，一般是18题，若此题做不好，那分数不但得不高，还会产生焦虑，影响后两道难题.而通过笔者的研究，解析几何问题也是有规可循的.原因是2002年初中课改，已经将韦达定理排除在课程之外，命题就较为单一.08年、09年高考命题是直线和圆的问题，需要紧扣圆的几何性质解决，而10年、11年、12年又回到了直线和椭圆问题，因此，直线和椭圆问题仍会是高考解析几何的命题重点.那是不是因为椭圆的性质少了，就纯用代数方法去解决了呢？

下面笔者就“直线过椭圆焦点”问题来谈一谈.（附注：直线和椭圆的三类相交问题是指“直线过椭圆焦点”问题、 “直线过椭圆上已知点” 问题、 “直线过椭圆中心” 问题.）

例1（2012年江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率；

(ⅱ)求证:PF1+PF2是定值.

分析1第一小题求椭圆的方程就要求两个参数，而已知条件为两个点，利用方程思想即可解决.

解(1)由题设知,a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由点(e,32)在椭圆上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以椭圆的方程为x22+y2=1.

分析2第二小题很多人的想法就是代数运算，设出直线AF1的方程，根据平行关系得出直线BF2的方程，从而联立方程解出A,B两点的坐标，从而求出AF1,BF2的长，进而解决第二小题，过程计算非常复杂，见下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为AF1∥BF2,

所以设AF1、BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直线AF1的斜率为1m=62.

(ⅱ)证明:因为AF1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由点B在椭圆上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函数式为y=3sinπ6t+10．

（2）由题意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化简得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，该船在1时至5时或13时至17时能安全进港．

若该船当天安全离港，在港内停留的时间最多不能超过16 h．

函数y=Asin(ωx+φ)作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究的实际问题十分广泛.由于周期现象有明显的图象特征，在解决这些实际问题的过程中，体验图象的应用，既可以加深对函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的认识和理解，又能培养数学应用的意识和数学应用的能力.在学习函数y=Asin(ωx+φ)时，是一个值得我们引起关注的重要环节．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重视解析几何问题的本质还是几何问题，优先思考几何性质的运用，那就简单很多了.那过焦点的直线AF1如何求呢？关键是对点A的处理，除了上述代数上的“设点法”，还可以根据几何图形用“设角法”.如右图，设∠AF1O=θ，点A到相应准线的距离为d，根据统一定义：而将d平移到对称轴F1F2上即为OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦点到相应准线的距离即为p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ为钝角，还是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

从而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中离心率e=22，焦准距p=1），则cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.运用了几何性质来解题后，代数运算过程大量减少.

第二小题同样可以运用几何性质来解决，

因为AF1∥BF2，则△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因为BF1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②两式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根据以上研究，笔者将两种方法的结构整合，考虑直线过椭圆的焦点时，只需考虑焦点弦AB，因而只需焦半径AF（或BF），那如何确定焦半径，可以设角（设θ=∠AFO）或设点坐标（设A(x,y)），即“设角法”（就是有人认为所谓的极坐标法）与“设点法”.“设点法”表面上好像有两个变量x,y，实际上由于点在椭圆上即满足椭圆方程，即由一个变量决定点A的位置.但每次计算成为这种纯代数法的弊端.而如果注重了解析几何问题的几何性质，利用“设角法”， 学生很容易在几何图形上根据椭圆的定义推导出焦半径公式，更不需要去死记硬背多种情况下的焦半径公式.因此，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧.