二自由度无阻尼振动系统主振型概念辨析

李天匀，李威，朱翔

摘要：主振型是结构动力学课程中的重要概念之一，一般在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入。教科书中假设的振动位移幅值为正，但推导出的主振型中存在幅值比为负的问题。针对这一矛盾，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，使教学内容更加严谨，且有利于培养学生的科学思维。

关键词：自由度；无阻尼振动；圆频率；振型；特征值；特征向量

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）29-0090-02

结构动力学是力学、机械、土木、航空航天、船舶等专业的一门重要专业课程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入，但学生在学习中常常遇到困惑。为此，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，有利于教学内容的顺利进行，也说明力学类课程对数学知识有很大的依赖性，应加强数学知识的学习，以深入理解丰富的力学内涵。

一、振型概念的一般分析过程

为简化推导，以二自由度振动系统为例。其他多自由度无阻尼系统的自由振动机理类似于二自由度系统。在图1所示的二自由度系统中，考虑无阻尼自由振动，则刚体动力学方程为：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

为下文推导方便，引入变量：a=■，b=■，c=■（2），从上式可知，三个变量都为实数。将式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般将常微分方程（2）的齐次解设为简谐形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.将式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒为零，则有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.这是关于A1，A2的齐次线性方程组。A1=A2=0显然是方程（5）的一组解，它表示系统无振动，处于静止状态，这不是振动系统需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要条件是方程的系数行列式为零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.将上式展开得多项式代数方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.该方程称为频率特征方程。它是关于ω2的一元二次代数方程，两个根为：ω■■=■±■（8）.按照多项式代数理论[4]，方程（7）的根要么为实数，要么为成对出现的复数根。可以证明，式（8）必为正实根。从式（8）可知，两个根是由系统的本身参数决定的值，与其他条件无关，称为二自由度无阻尼系统的固有圆频率。较小的根记为ω1，称首阶固有圆频率。较大的根ω2称二阶固有圆频率。将式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表达式时，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表达式时，有：■=■=■=β（10）可以证明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不变且只与系统本身参数有关，分别称之为第一主振型（模态）、第二主振型（模态）。可以形象地把两个主振型表示成图2的形状。α、β只决定A1、A2的比值，而不能决定它们的实际大小。把图2的实线所表示的振型放大或缩小若干倍成为虚线的形状，其比值并未改变，它仍是系统的主振型[1-3]。

二、存在的问题

两个质点的振动位移一般假设为式（4）所示的简谐形式，在该式中，系数A1、A2为振幅，是大于零的代数值，其比值必须为正数。而在主振型的推导中，则出现了如式（10）所示的负数。在结构动力学教学中，这是一个令学生困惑的问题，而相关的教材中也未有解释。问题出在哪？如何解决这个问题？只有给出令人信服的答案，才能在教学中更好地培养学生的严谨思维。

三、主振型概念辨析思路

笔者经过分析，认为问题出在对代数方程（5）的求解、分析过程中，其本质是一个数学问题。二个振幅形成特征向量{A1，A2}T，它们的比值大小与式（5）中系数矩阵的特征值即固有频率相关，主振型实质上是特征向量的基础解系（基向量）。按照矩阵理论[5]，一个矩阵可当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征向量是在线性变换下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的简谐形式实际上只表示了同相振动，与首阶固有圆频率对应的第一主振型是与同相振动对应的特征向量。如假设为反相振动形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.将式（12）代入式（3）中，得到矩阵方程为：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系数矩阵与式（5）中完全一致，求解得到的两个固有圆频率不变，如式（8）所示。此时得到的与二阶固有圆频率对应的主振型为：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振动。这样就合理解释了负值的客观存在。

通过上面的分析可知，在教学中一方面要通过具有物理意义的验根过程检验结果的合理性，另一方面也要通过矩阵特征值与特征向量的数学意义阐述结果的完整性。这样才能准确地解释振型的同相振动（正值）与反相振动（负值）的客观存在及其逻辑上的一致性，避免在教学中存在不严谨的内容，以培养学生科学的思维。

本文的分析针对目前教材中关于主振型存在同相与反相振动的事实与假设振动位移同相振动相矛盾的问题而展开，从矩阵特征值和特征向量的关系上辨析了存在问题的根源，提出了合理的解释思路。在教学中应有机结合学生前期学习过的工程数学课程展开分析。特征值和特征向量不仅在数学理论上，而且在物理、材料、力学等方面都有重要的应用。特别是在结构振动领域，固有频率与主振型就反映了二者的内在联系，或者说“有振动的地方就有特征值和特征向量”。这一思想即反映了知识的传承性，又进一步强化了数学工具的重要性。

参考文献：

[1]邹经湘.结构动力学[M].哈尔滨工业大学出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.结构动力学[M].第二版.王光远，等，译.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船体振动学[M].上海交通大学出版社，2011.

[4]谢彦麟.代数方程的根式解及伽罗瓦理论[M].哈尔滨工业大学出版社，2011.

[5]史荣昌，魏丰.矩阵分析[M].北京理工大学出版社，2010.

基金项目：本文受湖北省教育厅项目资助。

作者简介：李天匀，男，教授，从事结构振动与噪声控制研究。endprint

摘要：主振型是结构动力学课程中的重要概念之一，一般在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入。教科书中假设的振动位移幅值为正，但推导出的主振型中存在幅值比为负的问题。针对这一矛盾，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，使教学内容更加严谨，且有利于培养学生的科学思维。

关键词：自由度；无阻尼振动；圆频率；振型；特征值；特征向量

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）29-0090-02

结构动力学是力学、机械、土木、航空航天、船舶等专业的一门重要专业课程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入，但学生在学习中常常遇到困惑。为此，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，有利于教学内容的顺利进行，也说明力学类课程对数学知识有很大的依赖性，应加强数学知识的学习，以深入理解丰富的力学内涵。

一、振型概念的一般分析过程

为简化推导，以二自由度振动系统为例。其他多自由度无阻尼系统的自由振动机理类似于二自由度系统。在图1所示的二自由度系统中，考虑无阻尼自由振动，则刚体动力学方程为：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

为下文推导方便，引入变量：a=■，b=■，c=■（2），从上式可知，三个变量都为实数。将式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般将常微分方程（2）的齐次解设为简谐形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.将式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒为零，则有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.这是关于A1，A2的齐次线性方程组。A1=A2=0显然是方程（5）的一组解，它表示系统无振动，处于静止状态，这不是振动系统需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要条件是方程的系数行列式为零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.将上式展开得多项式代数方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.该方程称为频率特征方程。它是关于ω2的一元二次代数方程，两个根为：ω■■=■±■（8）.按照多项式代数理论[4]，方程（7）的根要么为实数，要么为成对出现的复数根。可以证明，式（8）必为正实根。从式（8）可知，两个根是由系统的本身参数决定的值，与其他条件无关，称为二自由度无阻尼系统的固有圆频率。较小的根记为ω1，称首阶固有圆频率。较大的根ω2称二阶固有圆频率。将式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表达式时，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表达式时，有：■=■=■=β（10）可以证明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不变且只与系统本身参数有关，分别称之为第一主振型（模态）、第二主振型（模态）。可以形象地把两个主振型表示成图2的形状。α、β只决定A1、A2的比值，而不能决定它们的实际大小。把图2的实线所表示的振型放大或缩小若干倍成为虚线的形状，其比值并未改变，它仍是系统的主振型[1-3]。

二、存在的问题

两个质点的振动位移一般假设为式（4）所示的简谐形式，在该式中，系数A1、A2为振幅，是大于零的代数值，其比值必须为正数。而在主振型的推导中，则出现了如式（10）所示的负数。在结构动力学教学中，这是一个令学生困惑的问题，而相关的教材中也未有解释。问题出在哪？如何解决这个问题？只有给出令人信服的答案，才能在教学中更好地培养学生的严谨思维。

三、主振型概念辨析思路

笔者经过分析，认为问题出在对代数方程（5）的求解、分析过程中，其本质是一个数学问题。二个振幅形成特征向量{A1，A2}T，它们的比值大小与式（5）中系数矩阵的特征值即固有频率相关，主振型实质上是特征向量的基础解系（基向量）。按照矩阵理论[5]，一个矩阵可当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征向量是在线性变换下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的简谐形式实际上只表示了同相振动，与首阶固有圆频率对应的第一主振型是与同相振动对应的特征向量。如假设为反相振动形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.将式（12）代入式（3）中，得到矩阵方程为：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系数矩阵与式（5）中完全一致，求解得到的两个固有圆频率不变，如式（8）所示。此时得到的与二阶固有圆频率对应的主振型为：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振动。这样就合理解释了负值的客观存在。

通过上面的分析可知，在教学中一方面要通过具有物理意义的验根过程检验结果的合理性，另一方面也要通过矩阵特征值与特征向量的数学意义阐述结果的完整性。这样才能准确地解释振型的同相振动（正值）与反相振动（负值）的客观存在及其逻辑上的一致性，避免在教学中存在不严谨的内容，以培养学生科学的思维。

本文的分析针对目前教材中关于主振型存在同相与反相振动的事实与假设振动位移同相振动相矛盾的问题而展开，从矩阵特征值和特征向量的关系上辨析了存在问题的根源，提出了合理的解释思路。在教学中应有机结合学生前期学习过的工程数学课程展开分析。特征值和特征向量不仅在数学理论上，而且在物理、材料、力学等方面都有重要的应用。特别是在结构振动领域，固有频率与主振型就反映了二者的内在联系，或者说“有振动的地方就有特征值和特征向量”。这一思想即反映了知识的传承性，又进一步强化了数学工具的重要性。

参考文献：

[1]邹经湘.结构动力学[M].哈尔滨工业大学出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.结构动力学[M].第二版.王光远，等，译.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船体振动学[M].上海交通大学出版社，2011.

[4]谢彦麟.代数方程的根式解及伽罗瓦理论[M].哈尔滨工业大学出版社，2011.

[5]史荣昌，魏丰.矩阵分析[M].北京理工大学出版社，2010.

基金项目：本文受湖北省教育厅项目资助。

作者简介：李天匀，男，教授，从事结构振动与噪声控制研究。endprint

摘要：主振型是结构动力学课程中的重要概念之一，一般在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入。教科书中假设的振动位移幅值为正，但推导出的主振型中存在幅值比为负的问题。针对这一矛盾，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，使教学内容更加严谨，且有利于培养学生的科学思维。

关键词：自由度；无阻尼振动；圆频率；振型；特征值；特征向量

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）29-0090-02

结构动力学是力学、机械、土木、航空航天、船舶等专业的一门重要专业课程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入，但学生在学习中常常遇到困惑。为此，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，有利于教学内容的顺利进行，也说明力学类课程对数学知识有很大的依赖性，应加强数学知识的学习，以深入理解丰富的力学内涵。

一、振型概念的一般分析过程

为简化推导，以二自由度振动系统为例。其他多自由度无阻尼系统的自由振动机理类似于二自由度系统。在图1所示的二自由度系统中，考虑无阻尼自由振动，则刚体动力学方程为：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

为下文推导方便，引入变量：a=■，b=■，c=■（2），从上式可知，三个变量都为实数。将式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般将常微分方程（2）的齐次解设为简谐形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.将式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒为零，则有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.这是关于A1，A2的齐次线性方程组。A1=A2=0显然是方程（5）的一组解，它表示系统无振动，处于静止状态，这不是振动系统需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要条件是方程的系数行列式为零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.将上式展开得多项式代数方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.该方程称为频率特征方程。它是关于ω2的一元二次代数方程，两个根为：ω■■=■±■（8）.按照多项式代数理论[4]，方程（7）的根要么为实数，要么为成对出现的复数根。可以证明，式（8）必为正实根。从式（8）可知，两个根是由系统的本身参数决定的值，与其他条件无关，称为二自由度无阻尼系统的固有圆频率。较小的根记为ω1，称首阶固有圆频率。较大的根ω2称二阶固有圆频率。将式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表达式时，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表达式时，有：■=■=■=β（10）可以证明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不变且只与系统本身参数有关，分别称之为第一主振型（模态）、第二主振型（模态）。可以形象地把两个主振型表示成图2的形状。α、β只决定A1、A2的比值，而不能决定它们的实际大小。把图2的实线所表示的振型放大或缩小若干倍成为虚线的形状，其比值并未改变，它仍是系统的主振型[1-3]。

二、存在的问题

两个质点的振动位移一般假设为式（4）所示的简谐形式，在该式中，系数A1、A2为振幅，是大于零的代数值，其比值必须为正数。而在主振型的推导中，则出现了如式（10）所示的负数。在结构动力学教学中，这是一个令学生困惑的问题，而相关的教材中也未有解释。问题出在哪？如何解决这个问题？只有给出令人信服的答案，才能在教学中更好地培养学生的严谨思维。

三、主振型概念辨析思路

笔者经过分析，认为问题出在对代数方程（5）的求解、分析过程中，其本质是一个数学问题。二个振幅形成特征向量{A1，A2}T，它们的比值大小与式（5）中系数矩阵的特征值即固有频率相关，主振型实质上是特征向量的基础解系（基向量）。按照矩阵理论[5]，一个矩阵可当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征向量是在线性变换下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的简谐形式实际上只表示了同相振动，与首阶固有圆频率对应的第一主振型是与同相振动对应的特征向量。如假设为反相振动形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.将式（12）代入式（3）中，得到矩阵方程为：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系数矩阵与式（5）中完全一致，求解得到的两个固有圆频率不变，如式（8）所示。此时得到的与二阶固有圆频率对应的主振型为：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振动。这样就合理解释了负值的客观存在。

通过上面的分析可知，在教学中一方面要通过具有物理意义的验根过程检验结果的合理性，另一方面也要通过矩阵特征值与特征向量的数学意义阐述结果的完整性。这样才能准确地解释振型的同相振动（正值）与反相振动（负值）的客观存在及其逻辑上的一致性，避免在教学中存在不严谨的内容，以培养学生科学的思维。

本文的分析针对目前教材中关于主振型存在同相与反相振动的事实与假设振动位移同相振动相矛盾的问题而展开，从矩阵特征值和特征向量的关系上辨析了存在问题的根源，提出了合理的解释思路。在教学中应有机结合学生前期学习过的工程数学课程展开分析。特征值和特征向量不仅在数学理论上，而且在物理、材料、力学等方面都有重要的应用。特别是在结构振动领域，固有频率与主振型就反映了二者的内在联系，或者说“有振动的地方就有特征值和特征向量”。这一思想即反映了知识的传承性，又进一步强化了数学工具的重要性。

参考文献：

[1]邹经湘.结构动力学[M].哈尔滨工业大学出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.结构动力学[M].第二版.王光远，等，译.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船体振动学[M].上海交通大学出版社，2011.

[4]谢彦麟.代数方程的根式解及伽罗瓦理论[M].哈尔滨工业大学出版社，2011.

[5]史荣昌，魏丰.矩阵分析[M].北京理工大学出版社，2010.

基金项目：本文受湖北省教育厅项目资助。

作者简介：李天匀，男，教授，从事结构振动与噪声控制研究。endprint