由“错误”引发的教学思考

周晓强

学生在学习的过程中出现的一些错误，是学生的认知、思维的缺陷以及技能的不熟练造成的。教师只有根据学生的解答找出错误的原因，才能合理设计教学过程，从而达到有效教学。

错误教学过程原因分析恩格斯曾经说过：“最好的学习是从差错中学习。”特级教师华应龙也曾说过：“差错也是一种资源。”对于每一个学生来说，在学习的过程中犯错误是在所难免的。因此，如果我们能够正确对待错误，那就是抓住了学习的机会。在小学阶段，这样的错误研究是教师不可忽视的工作，它就对我们的教学有一定的指导意义。

学生在学习的过程中出现错误时，很多老师、家长，包括学生自己都会认为是由于“粗心”。而事实上，在很多情况下这些错误是学生的认知、思维的缺陷以及技能的不熟练造成的。

一、课程标准以及教学目标中对分数学习提出的要求

在义务教育数学课程标准（2011年版）中，对第一学段（1～3年级）学生提出的要求是：能结合具体情境初步认识分数，能读写分数。

学生在三年级上册已经对分数有了初步的认识，能通过把一个物体平均分成几份，认识它的几分之一或者是几分之几。本单元是通过把一些物体组成的整体平均分，引导学生认识并理解它的几分之一和几分之几。通过操作，初步学会解决求一个数的几分之一或几分之几的实际问题。通过经历这些内容的学习过程，使学生进一步感受和理解分数的意义，对分数有比较全面的认识。

二、从具体实例分析学生出现的错误

例1.

①一堆小棒有12跟。分别拿出这堆小棒的 12 和13 。

②在图中涂上颜色表示它上面的分数。

③在图中涂上颜色表示上面的分数。

其中①②为课堂练习中的两个小例子，③为课后作业（提高题）。

学生解决情况：①②基本都能够解决。③有很多学生答错或是没答。

分析：瑞士心理学家皮亚杰认为，小学三年级学生的认知发展水平处于具体运算阶段初期，思维水平还不够成熟。①的正确表明学生已经有了一定的具体运算能力，可以通过动手操作进行“平均分”。②的正确表明学生可以通过对图像进行直观的“平均分”成5份。而③的错误表明学生对“平均分”概念还没有完全“内化”，虽然已经知道平均分的概念，但是又受到“直观”平均分图像的思维定势，在此题中未能够找到直接平均分的方法，从而也没有通过具体的运算进行平均分来表示相应的分数，致使错误的出现。

思考：教师在教学的过程中，应注重“平均分”思维表象的建立，帮助学生对“分数”知识的内化。对于第②题这种类型，教师可以让学生说一说为什么可以直接分成5列，涂色部分取其中的一列。有了一些这样的类型之后，教师在课堂上就可以引入课后的提高题③，让学生思考该如何进行平均分，并且引导学生如果不能直观的平均分，应先做一些简单运算，促进学生的具体形象思维的发展。

例2.先分一分、涂一涂，再在横线上列出相应的计算式子。

分析：在第一课时，认识一个整体的几分之几的时候，学生在涂色部分能够正确完成，而到了求一个整体的几分之几是多少时，却出现了错误。问题在哪里？还是在学生思维的认知结构上。前面认识几分之几，分数的表象就是平均分后取份数，因此不易产生错误。现在，是在平均分的基础上要知道整体的几分之几是多少，在学生的思维中，分数的表象转为某个数，因此当他平均分6份之后看到一份就是2颗星星的时候，已经有2这个数了，把取2份中的2和这个2混为一谈了，也就是把“份数”与“个数”混成一体了，致使错误的出现。

思考：布鲁纳认为，数学对象的表征有三类，即活动性表征、图像性表征和符号性表征。当学生在解决该问题时，数学对象分数将以图像性表和符号性表征的形式出现，由于这种表象的不深刻性，学生往往在没有完全掌握知识的基础上出现混淆错乱。因此，教师在教学中应加强学生对分数本质认识，理解分数的意义。在处理此类问题上还需要帮助学生理解“份数”与“数”的区别，强化其认知结构。

例3.比較大小错误

①a. 12____13b. 37_____ 47

②一堆大米的13与一堆面粉的12哪个多？

学生解决情况：①题时错时对，特别是间隔一段时间来做两小题

②因为13＜12，所以一堆面粉的12多

错误分析：有关分数的比较，在教学时教师会采用分数的意义让学生明白大小关系。为了不引起混淆，教师往往会选择整体时往往只会选择某一个。然后通过练习让学生理解、巩固。理解是一个信息或要素组织的过程，需要认知结构的再组织，对于小学三年级的学生来说，认知结构尚不成熟，信息处理能力还在逐步发展中，对于分数意义的理解存在着一定的困难。部分学生甚至仅凭记忆来进行比较大小：老师强调某一个整体，分得越多，每一份就会越小。于是在他心中有了这样一个“多——小”的“相反”心理表象。时间一长，看到37_____47这样的题目时，只关注3 ＜4，完全忽视分子分母，忽视“分”和“取”的对象，实质上忽视了分数的意义，便直接有了37＞47这样的错误答案。而第②题的错误，可能是因为学生没有真正地理解分数的意义，没有理解“整体”的概念，从而没有正确认识整体的几分之几究竟是什么。

思考：综合这两个问题，学生犯错的根本原因在于学生没有真正地理解分数的意义，对“整体”和“部分”缺乏认知的能力。因此，在教学的过程中，教师应充分从学生的思维出发，倾听其思考过程，强化学生对分数意义的理解。在比较分数大小时，不应该给学生相关的暗示：分子相同，分母越大，分数值越小，而是应充分引导学生每一次比较大小，我们都必须回到分数的意义上去。而对于“整体”的把握。在课堂上，教师应举一反三，并且明确分数与某一个具体整体的几分之几是两个完全不同的概念。

三、对教学的再思考

1.新课程倡导以学生为主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。因此，教师应发挥学生的主体地位，学会倾听学生的思考，把握学生的思维，从学生的角度看待“分数”的问题。教师自身应明确分数的内涵，只有这样才能够真正在需要的时候起到引导学生的作用。

2.教师要对学生在认识分数的教学中关注学生的错误，从学生错误的根源了解学生掌握的情况，并根据不同学生的特点进行有效的辅导，体现新课程个性化的要求，同时也能够促进有效教学。