蓦然回首“那人”却在灯火阑珊处

许月珠

在日常的教学过程中，发现有很多的教辅都抄录了2009年普通高等学校招生全国统一考试理22这道题，这是一道以三次函数为背景，集二次函数根的分布、线性规划可行域、导数、不等式于一体的综合性试题，直至今日依然是一道评价很高的试题.而我在欣赏之余却心存许多疑问，现将试题与解答呈现如下.

设函数f（x）=x■+3bx■+3cx在两个极值点x■、x■，且x■∈[-1，0]，x■∈[1，2].

（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内画出满足这些条件的点（b，c）的区域；

（Ⅱ）证明：-10≤f（x■）≤-■.

解：（Ⅰ）f′（x）=3x■+6bx+3c

依题意知，方程f′（x）=0有两个根x■、x■，且x■∈[-1，0]，x■∈[1，2].等价于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0.

由此得b、c满足的约束条件为c≥2b-1c≤0c≤-2b-1c≥-4b-4

满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分.

（Ⅱ）这一问考生不易得分，有一定的区分度.主要原因是含字母较多，不易找到突破口.此题主要利用消元的手段，消去目标f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■中的b，（如果消c则会较繁琐），再利用x■的范围，并借助（Ⅰ）中的约束条件得c∈[-2，0]，进而求解，有较强的技巧性.

解：由题设知f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0，故bx■=-■x■■-■c

于是f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■=-■x■■+■x■

∵x■∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，∴-4+3c≤f（x■）≤-■+■c

又由（Ⅰ）知c∈[-2，0]，

所以-10≤f（x■）≤-■.

疑点之一：“∵x■∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，∴-4+3c≤f（x■）≤-■+■c”，其推理依据是什么？

思索之后得到结论：答案中省略了对函数f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■=-■x■■+■x■单调性的判定.验证如下：

令g（x）=-■x■+■x，x∈[1，2]，g′（x）=-■x■+■，因为c∈[-2，0]，所以g（x）≤0，即函数g（x）在[1，2]上单调递减.故g（2）≤g（x）≤g（1），也即-4+3c≤f（x■）≤-■+■c，又因为c∈[-2，0]，所以-10≤-4+3c≤-4，-■≤-■+■c≤-■，故-10≤f（x■）≤-■得证.

疑点之二：消c真的很繁琐吗？结论是“不觉得”.其解法如下：

由题设知f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0，得3c=-3x■■-6bx■，于是f（x■）=x■■+3bx■■+（-3x■■-6bx■）x■=-2x■■-3bx■■.

令g（x）=-2x■-3bx■，x∈[1，2]，g′（x）=-6x■-6bx≤0，故g（x）在[1，2]上单调递减.

故g（2）≤g（x）≤g（1），即g（2）≤g（x）≤g（1），也即-16-12b≤f（x■）≤-2-3b.

又因为b∈[-1，0]，所以-16≤-16-12b≤-4，-2≤-2-3b≤1，

可得-10≤f（x■）≤1，但无法证得-10≤f（x■）≤-■这个结论.

疑点之三：为什么消c得不到答案？

以上推理过程完全类同于参考答案，我想若消c得不到正确的答案，那消得到的答案就会有许多的疑点.纵观整个解题过程，f（x■）的取值范围的求得经过了两次放缩.第一次放缩是不等式组c≥2b-1c≤0c≤-2b-1c≥-4b-4，求得b，c的取值范围；第二次放缩是由b，c的取值范围求f（x■）的取值范围.在解题中二次放缩极易将范围放缩得过大或过小，其一般只在不等式证明过程中应用，极少用于求代数式的取值范围的.那如何避开二次放缩而又能求得f（x■）的取值范围呢？我认为可用x■，x■表示b，c，以x■，x■的取值范围求f（x■）的取值范围，这一过程只有放缩一次.解法如下：

f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0……① f′（x■）=3x■■+6bx■■+3c=0……②

①-②得3（x■+x■）（x■-x■）+6b（x■-x■）=0，b=-■……③

将③代入①得c=x■x■，

故f（x■）=x■■+3（-■）x■■+3x■x■■=-■x■■+■x■x■■

令g（x）=-■x■+■x■x■，x∈[1，2]，g′（x）=-■x■+■x■x，

又因为x■∈[-1，0]，所以g′（x）≤0，故g（x）在[1，2]上单调递减.有g（2）≤g（x）≤g（1）

g（2）=-4+6x■，g（1）=-■+■x■，所以-10≤g（2）≤-4，-■≤g（1）≤-■，

也即-10≤f（x■）≤-■成立.

近代著名学者王国维先生曾将治学的三重境界“悬思—苦索—顿悟”巧妙地运用了三句诗句比喻：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境也；“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境也；“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境也.我抄录在此，与同为使学生脱离题海而把自己置身于题海的各位同仁共勉.

参考文献：

[1]2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷.