Hom-李超代数的结构

高宇佳,孙丽萍,刘文德

(1.哈尔滨师范大学数学系,黑龙江 哈尔滨 150025; 2.哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

Hom-李超代数的结构

高宇佳1,孙丽萍2,刘文德1

(1.哈尔滨师范大学数学系,黑龙江 哈尔滨 150025; 2.哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

类比于单李超代数的结构性质,证明了单Hom-李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想.通过给出保积Hom-李超代数的若干性质,建立了保积Hom-李超代数与李超代数之间的关系.特别地,证明了正则Hom-李超代数是可解(幂零)的充要条件是其容许李超代数是可解(幂零)的,并给出了正则Hom-李超代数是单的必要条件为其容许李超代数是单的.

单Hom-李超代数;保积Hom-李超代数;可解性

1 引言

2006年,Hartwing,Larsson和 Silvestrov为了研究Witt代数与 Virasoro代数的形变,提出了 Hom-李代数的概念[13].事实上,这个概念已经隐含在许多更早期的文献中,例如,文献[4-7].Hom-李代数理论对微积分、物理学等领域的发展起到了很大的促进作用[8],研究Hom-李代数结构是李理论中的活跃课题.例如,2012年,生云鹤研究了Hom-李代数的伴随表示与平凡表示,以及 Hom-李代数的导子、形变、中心扩张等[9].2000年,文献[10]将Hom-李代数推广到Hom-李超代数上.2012年,文献[11]证明了复数域上有限维单李超代数只有平凡的保积Hom-李超代数结构.

类比李超代数的方法,本文证明了单Hom-李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想并给出了保积Hom-李超代数的一些基本性质.本文结构如下:第1节介绍了基本概念与基本性质;第2节给出单Hom-李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想这一定理及其证明;第3节研究保积Hom-李超代数的基本性质,特别地,证明了正则Hom-李超代数是可解(幂零)的充要条件为其容许李超代数是可解(幂零)的,并给出了正则Hom-李超代数是单的必要条件为其容许李超代数是单的.今后拟将本文的结果应用于研究超交换环上的微分算子构成的代数结构上的Hom-李超代数,参见文献[12].

本文约定所有的代数都是有限维的,且定义在特征零的代数闭域上.

2 基本概念与基本性质

设V,W 为超空间,φ:V→W 是一个线性映射.φ称为偶的,如果φ(Vα)⊂Wα;φ称为奇的,如果

设V是超空间,γ:V→V是一线性映射,使得对任意x∈Vα,α∈Z2,有γ(x)=(−1)|x|x,称γ是符号映射.以下如无特殊说明,γ表示符号映射.显然,γ是线性同构,特别地,γ2=idV.

引理 2.1若V是超空间,W 是V的子空间.则W 是Z2-阶化子空间当且仅当W 是γ的不变子空间.

设X,Y是代数G的两个非空子集,用符号XY表示所有形如xy的元素张成的子空间,其中x∈X,y∈Y.代数G的子空间B称为G的子代数,如果B关于G的乘法封闭,即BB⊂B.代数G的子空间J称为G的左(右)理想,如果GJ⊂J(JG⊂J).如果J既是左理想又是右理想,则称之为理想.

设G为代数,称

为代数G的导出序列G(k),k∈.若存在正整数n,使得G(n)=0,则称代数G是可解的.称

为代数G的降中心列Gk,k∈.若存在正整数n,使得Gn=0,则称代数G是幂零的.

设G,L是两个代数,线性映射f:G→L称为代数同态,若f(xy)=f(x)f(y),对于任意的x,y∈G.

引理 2.2符号映射γ是超代数G的自同构.

证明如前所述,γ是线性同构,因此只需证明γ保持乘法运算.对于任意

综上,γ是超代数G的同构映射.

引理 2.3设G是超代数,J是G的子空间,则J是G的左(右)理想当且仅当γ(J)是G的左(右)理想.

证明首先证明命题对于左理想成立.由于γ是G的自同构且γ2=idG,所以只需证明必要性成立.对于任意的

则γ(J)是左理想.同理,命题对于右理想仍然成立.

设G为域F上的超代数,若α:G→G是偶的线性映射,则称(G,α)为Hom-超代数,α为G的Hom-结构.若α是G的自同态,则称(G,α)为保积Hom-超代数;若α是G的自同构,则称(G,α)为正则Hom-超代数.

定义 2.1设(G,α)为Hom-超代数,其双线性乘法用[−,−]表示.若G中的任意齐次元素x,y,z,满足:

则称(G,[−,−],α)为Hom-李超代数.

定义 2.2设(G,[−,−],α)为Hom-李超代数,若α是(G,[−,−],α)的自同态(自同构),则称(G,[−,−],α)为保积(正则)Hom-李超代数.

定义 2.3若 Hom-李超代数 (G,[−,−],α)没有任何非平凡的 Hom--阶化理想且[G,G]/=0,则称Hom-李超代数(G,[−,−],α)为单Hom-李超代数.

定义 2.4设(G,[−,−]α,α)为Hom-李超代数,若G上存在一个双线性的乘法[−,−],使得(G,[−,−])是一个李超代数,并且

则称(G,[−,−]α,α)为李型Hom-李超代数,并称(G,[−,−])为其容许李超代数.

3 单Hom-李超代数

由定义2.3,单Hom-李超代数没有任何非平凡的Hom--阶化理想,因此从逻辑上说,单Hom-李超代数可能有非-阶化的Hom-理想.根据李超代数理论,有限维单李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想,见文献[13]的定理1.2.2.下面将此结论推广到Hom-李超代数上,即单Hom-李超代数没有任何非平凡的Hom-左(右)理想、Hom-理想(这里的Hom-左(右)理想、Hom-理想不要求是-阶化的).为此,首先证明下面引理成立:

引理 3.1设(G,[−,−],α)是单Hom-李超代数,τ:G→G是奇的线性映射.若τ◦α= α◦τ,且对于任意的x,y∈G,有τ([x,y])=[x,τ(y)],则τ=0.

证明由于τ(α(kerτ))=(τ◦α)(kerτ)=(α◦τ)(kerτ)=α(τ(kerτ))=0,所以kerτ在α之下不变.同理有Im τ在α之下也不变,因此kerτ与Im τ均是(G,[−,−],α)的Hom-理想.由于|τ|=,则kerτ与Im τ都是(G,[−,−],α)的Hom-阶化理想.又由(G,[−,−],α)的单性可知,τ=0或τ是双射.

假设τ是双射,下面欲推出矛盾.

此时,(4)式的左边是对称的,右边是斜对称的.

此时,(4)式的左边是斜对称的,右边是对称的.

综上,等式(4)关于x,y一边是对称的,而另一边是斜对称的,从而−τ2([y,x])=0.又由于τ是双射,所以[y,x]=0.

从而,[G,G]=0,这与G是单Hom-李超代数矛盾,于是τ=0.

下面定理证明思路与文献[13]的定理1.2.2类似,但注意证明过程与Hom-结构的关联性.

定理 3.1单Hom-李超代数没有任何非平凡Hom-左(右)理想、Hom-理想.

证明设(G,[−,−],α)是单Hom-李超代数,首先分步证明命题对于Hom-左理想成立:

(1)符号映射γ是(G,[−,−],α)的自同构.

事实上,由引理2.2可知,γ是一般超代数的自同构,因此只需证γ◦α=α◦γ即可.注意α为偶的线性映射,对于任意的有

由 x的任意性知,γ◦α=α◦γ,从而γ是 (G,[−,−],α)的自同构.

(2)设J是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想,则γ(J)也是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想.

事实上,由引理2.3知,γ(J)是一般超代数的左理想.又由于

故γ(J)在α之下不变,所以γ(J)是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想.

(3)G有非零左Hom-理想的直和分解:G=J⊕γ(J).

事实上,由(2)知,J+γ(J),J∩γ(J)是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想.又由于γ2是恒等映射,则J+γ(J),J∩γ(J)在γ下不变,根据引理1.1,J+γ(J),J∩γ(J)是(G,[−,−],α)的非零左Hom--阶化理想.由(G,[−,−],α)的单性可知,J+γ(J)=G,J∩γ(J)=0,从而G=J⊕γ(J).

事实上,对于任意的x∈G,显然有

包含关系“⊃”显然成立.

(5)由 (3)知存在线性映射 τ:G→ G是线性映射,满足

由τ的定义可知,显然有τ2=idG成立.

当x∈G,y∈J时,由于J是理想,有

当x∈G,y∈γ(J)时,由于γ(J)是理想,有

从而对于任意的 x,y∈G,τ([x,y])=[x,τ(y)]成立.这与引理 3.1矛盾,故假设不成立,即单Hom-李超代数没有任何非平凡的左Hom-理想.

同理,命题对于右理想成立,从而对于理想成立.

4 保积Hom-李超代数

命题 4.1设(G,[−,−]α,α)为正则Hom-李超代数,则(G,[−,−]α,α)是李型Hom-李超代数,且其容许李超代数为(G,[−,−]),其中[−,−]=α−1[−,−]α.

证明首先证明 (G,[−,−])为李超代数,只需证明超 Jacobi-恒等式成立.对于任意的x,y,z∈G,

命题 4.2李型Hom-李超代数是保积Hom-李超代数.

证明设为李型Hom-李超代数,为其容许李超代数,由定义2.4知,

引理 4.1设I为保积Hom-李超代数的Hom-理想,则为保积Hom-李超代数,其中如(5)与(6)式规定.

命题 4.3设为保积 Hom-李超代数,则为保积 Hom-李超代数.特别地,当 k为使得 kerαk=kerαk+1成立的最小正整数时,为李型Hom-李超代数.

证明由于αk(α(kerαk))=αk+1(kerαk)=0,从而kerαk在α之下不变,且

对于任意x,y∈G,设

那么

则 x−y∈kerαk+1=kerαk,从而 x+kerαk=y+kerαk,故为双射.由命题 4.1知,为李型Hom-李超代数.

定理 4.1设(G,[−,−]α,α)为正则Hom-李超代数,则(G,[−,−]α,α)可解(幂零)的充分必要条件是其容许李超代数(G,[−,−])可解(幂零).

证明用和分别表示和(G,[−,−])的Hom-导出序列,用和分别表示(G,[−,−]α,α)和(G,[−,−])的Hom-降中心列.首先用归纳法证明

当k=m时,

定理 4.2设 (G,[−,−]α,α)为正则 Hom-李超代数,(G,[−,−])为其容许李超代数.若(G,[−,−])是单李超代数,则(G,[−,−]α,α)是单Hom-李超代数.

证明 反证法令I为(G,[−,−]α,α)的非平凡的Hom--阶化理想,那么

由于α是(G,[−,−])的自同构,则α(I)=I,α(G)=G,从而

综上所述,(G,[−,−]α,α)为单Hom-李超代数.

定理 4.3设为李型Hom-李超代数,φ:G→G′是线性映射且α′可逆.则φ是到的同构映射当且仅当φ是其容许李超代数到的同构映射并且满足

证明设φ为到的同构映射,则

由定义2.4,可得

根据α′是可逆的,得φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]′,即φ为(G,[−,−])到(G′,[−,−]′)的同构映射.

反之,若φ为(G,[−,−])到(G′,[−,−]′)的同构映射,在α′◦φ=φ◦α的条件下,以上过程是可逆的.从而φ也是到的同构映射.

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The structures of Hom-Lie superalgebras

Gao Yujia1,Sun Liping2,Liu Wende1
(1.Department of Mathematics,Harbin Normal University,Harbin 150025,China; 2.Institute of Applied Science,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)

This paper considers f i nite-dimensional Hom-Lie superalgebras over a f i eld of characteristic zero. Analogous to the structural properties of the simple Lie superalgebra,we prove that a simple Hom-Lie superalgebra dose not have any non-trivial left or right ideals(graded or not).We establish the relationship between the multiplicative Hom-Lie superalgebra and the Lie superalgebra by giving some properties of the multiplicative Hom-Lie superalgebra.Especially,we characterize that a regular Hom-Lie superalgebra is solvable(or nilpotent)if and only if its admissible Lie superalgebra is solvable(or nilpotent).Furthermore,a regular Hom-Lie superalgebra is simple if its admissible Lie superalgebra is simple.

simple Hom-Lie superalgebra,multiplicative Hom-Lie superalgebra,solvability

O151.2

A

1008-5513(2014)02-0186-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.010

2013-12-30.

黑龙江省教育厅科学研究基金(12511349);国家自然科学基金(11171055);黑龙江省杰出青年基金(JC201004).

高宇佳(1988-),硕士生,研究方向：李代数与李超代数.

2010 MSC:17B05,17B20,17B30