型空间线性等距算子的表现形式
2014-07-19梁晓斌谢新华
梁晓斌,谢新华
(上饶师范学院数学系,江西 上饶 334000)
梁晓斌,谢新华
(上饶师范学院数学系,江西 上饶 334000)
利用共轭对偶化方法,首先将n维欧氏空间线性等距算子特征根的相关结果推广到E(n)型Banach空间,然后获得了型Banach空间等距线性算子的表现定理,利用表现定理得到了空间中Tingley问题成立的充要条件.
等距映射;表现定理;型空间
关于等距算子的形式,在Banach的名著中[1],首先给出了空间c上的表现定理,对于经典的如赋p-范数实空间,在文献[2-3]中,也有确定的结论.但是由于具体空间的具体赋范形式不同,导致不同的赋范空间的解决方法各异.在非确定的范数情形下,问题就变得复杂困难.文献[4]首先考虑了一个比较一般的非具体赋范二维空间,得到了一个新的结果,并且提出了空间E(Γ)上的一个公开性问题.1987年,文献[5]提出了单位球面等距延拓问题,此问题在二维空间上也还远没有解决,但文献[2-3]利用各自空间等距算子的表现形式,讨论了一些经典的Banach空间如lp(Γ)(1≤p<∞,p2,Γ为任意指标集)等,文献[6]讨论了一般空间E到空间 C(Ω)的Tingley问题,得到了很好的结果.显然,明确空间的线性等距算子的形式,对Tingley问题的解决有极大帮助.本文就是利用所获得的空间上线性等距算子的表现定理,得到了此空间中Tingley问题成立的充要条件.该结论部分地对文献[4]公开性问题给于肯定的回答.
1 基本定义
本文讨论两个有限维同类型的实Banach空间的实线性等距算子表现形式.文献[4,7]中首先定义了E(Γ)空间,本文沿用类似定义.
定义 1.1设Γ={1,2,···,n}是一个指标集,是Banach空间X的单位基,π为Γ→Γ一一映射,∀x∈X,记为若有
(II)若 y∈X,对每个 s∈Γ,有 |x(s)|≤|y(s)|,则 x∈X 且 ∥x∥≤∥y∥.若存在 sN,使|x(sN)|<|y(sN)|,则∥x∥<∥y∥.
(III)若
当且仅当x(s)只有一者不为零.称此实Banach空间为E(n)型空间,是为此空间的标准规范基.
如果(III)改为:(A)若x(s)至少两者不为零,∥x∥=1,则
或者
(B)若x(s)至少两者不为零,∥x∥=1,则
注 1.1性质(I)为绝对对称性,性质(II)为范数等模性,性质(III)为非欧性.例如在三维欧氏空间中,若{e1,e2,e3}是标准正交基,则
而如果对 n维实线性空间赋 p范数 (1≤ p< ∞,p2),则其必为 E(n)型空间,显然当1≤p<2时为型空间,2 引理 2.1设V是两个E(n)型空间X、Y之间的实等距线性算子,分别是X、Y空间的标准规范基,(V(e1),V(e2),···,V(en))T=A(γ1,γ2,···,γn)T,A=(aij)是n阶实方阵,则A的特征根的模为1. 证明(反证) 若 AT存在特征根 λ=r(cosα+isinα),|r|<1;假设其对应的特征向量ξ=(ξ1,ξ2,···,ξn)T=(u1+iv1,u2+iv2,···,un+ivn)T,uk,vk∈R,k=1,2,···,n.于是, 由(1)式加(2)式,得 又由(2)式乘i减去(1)式乘i,得 推得uk,vk=0,k=1,2,···,n.与ξ0矛盾. 若存在特征根λ,且|λ|>1,因为A−1是由Y→X的等距线性算子,A−1有特征根λ−1,且|λ−1|<1,由前面证明,A的特征根的模必须为1. 注 2.1引理2.1的证明是必要的.不能套用n维复希尔伯特空间上类似的幂等矩阵中已知结果或者类似的方法[8],因为定义的空间是一般实的Banach空间,A−1的特征向量不一定是属于这个Banach空间,这里应用共轭根证明的方法是新的. 引理 2.2型空间是由和型空间所构成的. 证明(反证)若存在一型空间,标准规范基,P,Q0满足 简记为∥P∥=1,∥P∥2<1,∥Q0∥=1,∥Q0∥2>1. 由E(n)型空间的性质,不妨设0 又由M1中至少有分量=λ1a1+(1−λ1)b1,=λ1a2+(1−λ1)b2不为0,所以∥M1∥<1. 记 取µ1>1,且满足∥Q1∥=1,显然有∥Q1∥2>1. 重复同样的步骤,令 于是可以构造Q2,存在µ2使∥Q2∥=1,∥Q2∥2>1. 这样可以构造点列 满足 又因为∥P∥<1,∥Q∥2≥1,有a1 定理 2.1设V是两个赋相同范数的型空间X、Y之间的等距线性算子,则V的形 式必为:V(ei)=θiγπ(i),θi=±1,i=1,2,···,n.其中π为一{1,2,···,n}→{1,2,···,n}的一一映射. 证明假设 A=(aij)是 V所对应的等距线性算子 (n阶实矩阵),设存在 i,行向量(ai1,ai2,···,ain)中至少有两元素不为0,由性质(III),有 可知,A=(aij)=(aij)至少有一特征根模小于1,这和引理2.1矛盾.所以矩阵A=(aij)每行n个元素只有一者不为0且其绝对值为1.定理得证. 定理 2.2如果V0是型空间X、Y单位球面间的实等距算子,则V0可延拓成为的全空间的等距线性算子⇐⇒V0的形式必为:V0(ei)=θiγπ(i),θi=±1,i=1,2,···,n.其中π:{1,2,···,n}→{1,2,···,n}为一一映射,且 证明 充分性∀x∈E(n),令 显然,V为V0的延拓,由性质(I)(II)不难验证V亦为线性等距算子. 必要性由定理2.1即可推出. 注 2.2根据定理2.1和定理2.2,对文献[2]提出的问题在型空间给以肯定回答.但是要对E(n)型空间有肯定结论,还需证明空间. 推论 2.1在)型空间中为标准规范基,若把视为同一类,标准规范基唯一(即不存在其他形式的标准规范基具有相同的赋范). 注 2.3对于n维实希尔伯特空间,推论并不成立.正交变换可得到新的标准正交基. 关于非赋p-和范数E(n)型空间的例子,对自然基赋p-和范数(1≤p<∞,p2)的n维空间其必为E(n)型空间.事实上,设 规定 或者 [1]Banach S.Theoriˇe Desopˇerations Linˇeairs Banach[M].Warszawa:Monografje Matematyczne,1932. [2]Ding Guanggui.The isometric extension problem in the unit spheres of lp(Γ)(p>1)type spaces[J].Science in China,Ser.A,2002,32(11):991-995. [3]定光桂.两个l∞-型空间单位球面满等距映射的表现理论及其在等距延拓问题上的应用[J].中国科学:A辑, 2004,34(2):157-164. [4]梁晓斌,黄时祥.两个同类的E2型空间线性等距映射的表现定理[J].数学物理学报,2010,30(4):1088-1093. [5]Tingley D.Isometries of the unit sphere[J].Geometric Dediceta,1987,22:271-378. [6]Fang Xinian,Wang Jianhua.Extension of isometries between the unit spheres of normed space E and C(Ω)[J].Acta Mathematica Sinica,2006,22(6):1819-1824. [7]梁晓斌,黄时祥,王建华.关于无限直和空间E(χ)中弱紧集上的单值远达点[J].数学杂志,2009,29(5):661-670. [8]张俊敏,成立花,李祚.幂等矩阵线性组合的可逆性[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(2):231-234. On the representation of linear isometries between thetype real spaces Liang Xiaobin,Xie Xinhua In the paper,by the use of dual methods of conjugate,we promote this conclusion on the eigenvalues of linear isometry in Hilbert space toType Banach Spaces f i rstly,with this result,and then we got the representation theorem of isometric linear operators inType Banach spaces,this result is new.Finally,we also used the representation theorem to obtain a necessary and sufficient condition of Tingley issues inthe space. isometry,representation,space O177.3 A 1008-5513(2014)02-0143-06 10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.004 2013-10-24. 江西省自然科学基金(2010GZC0186). 梁晓斌(1972-),硕士,副教授,研究方向：泛函分析. 2010 MSC:46B202 引理和定理
(Department of Mathematics,Shangrao University,Shangrao 334000,China)
