浅谈极限运算中的■型问题常见解题方法

游祎++刘海峰+付梦琳

一、引言

在函数极限运算中，0/0型未定式型是一类重要的极限运算题型。虽然洛必达法则是解决此类问题的一种重要的数学手段，但是对于一些题型来说这并不是最为有效的方法，应根据问题的具体情况选取不同的方法。如换元法、取倒法、使用洛必达法则以及泰勒公式等。笔者在此对不同类型题型和方法做出相应的归纳和总结，这有助于提高解决该类型问题的能力。

二、0/0型未定式问题常见解题途径

1.0/0未定式题型首选洛必达法则

直接应用洛必达法则求解0/0型未定式问题是一个基本思路。但是在应用该方法时的一个前提条件是函数的求导计算不是太繁琐，同时在使用该方法时注意与其他方法如等价代换、代数式化简以及极限性质的结合，这种解题方式常常使得解题途径简单明了。

[例1]计算极限：■■，a≠0

分析：这是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求极限过程较为繁琐，使用洛必达法则很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先对代数式进行变形转换为■型不定式形式，再使用洛必达法则

[例2]计算极限：■x2（■-arctan2x2）

分析：这是0·∞型不定式。先将其转换为0/0型不定式形式，再使用洛必达法则求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必达法则题型使用洛必达法则能够使题目简化，但是对于有些类型的洛必达法则题型使用洛必达法则后却很复杂，这种情况下应考虑与其他方法如变量替换、极限基本性质、等价无穷小代换等结合使用。

3.换元法在0/0型不定式中的应用

借助于变量代换，同时与其他数学手段比如等价无穷小替换结合将题型转化为洛必达法则适用范围是求解0/0型不定式的常见思路，但是这种处理模式要求对极限基本概念、性质有深入理解。

[例3]计算极限：■（x-π）tan■

这是0·∞型不定式，考虑换元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的应用

借助因式分解求解0/0型不定型问题虽然是初等数学手段，但是在一些问题上比用导数工具求解却更加方便。

[例4]计算极限■■

分析：本题属于0/0型不定式，使用洛必达法则可以求解，但是不是最好的方法。事实上借助因式分解问题很快得以简化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的应用

初学高等数学的学生常常感到泰勒公式的应用比较困难，其实带有佩亚诺型余项的泰勒公式在0/0型极限运算中的应用常常使得问题得以简化。

6.等价无穷小替换在0/0型不定式中的应用

使用等价无穷小替换，将函数转化为两个重要极限题型或者符合洛必达法则的形式，可使题目简化，运算简捷。

[例5]求极限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入题中，配合洛必达法则，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、结束语

上节所列举的几种方法是求解0/0问题中常用的方法。随着大学数学学习过程的逐步深入，我们需要逐步掌握一些过去不熟悉的数学思想方法。对于综合题型往往需要多种方法的结合使用。但是对基本概念、基础知识的熟练掌握才是能够实现一题多解的关键所在。

一、引言

在函数极限运算中，0/0型未定式型是一类重要的极限运算题型。虽然洛必达法则是解决此类问题的一种重要的数学手段，但是对于一些题型来说这并不是最为有效的方法，应根据问题的具体情况选取不同的方法。如换元法、取倒法、使用洛必达法则以及泰勒公式等。笔者在此对不同类型题型和方法做出相应的归纳和总结，这有助于提高解决该类型问题的能力。

二、0/0型未定式问题常见解题途径

1.0/0未定式题型首选洛必达法则

直接应用洛必达法则求解0/0型未定式问题是一个基本思路。但是在应用该方法时的一个前提条件是函数的求导计算不是太繁琐，同时在使用该方法时注意与其他方法如等价代换、代数式化简以及极限性质的结合，这种解题方式常常使得解题途径简单明了。

[例1]计算极限：■■，a≠0

分析：这是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求极限过程较为繁琐，使用洛必达法则很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先对代数式进行变形转换为■型不定式形式，再使用洛必达法则

[例2]计算极限：■x2（■-arctan2x2）

分析：这是0·∞型不定式。先将其转换为0/0型不定式形式，再使用洛必达法则求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必达法则题型使用洛必达法则能够使题目简化，但是对于有些类型的洛必达法则题型使用洛必达法则后却很复杂，这种情况下应考虑与其他方法如变量替换、极限基本性质、等价无穷小代换等结合使用。

3.换元法在0/0型不定式中的应用

借助于变量代换，同时与其他数学手段比如等价无穷小替换结合将题型转化为洛必达法则适用范围是求解0/0型不定式的常见思路，但是这种处理模式要求对极限基本概念、性质有深入理解。

[例3]计算极限：■（x-π）tan■

这是0·∞型不定式，考虑换元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的应用

借助因式分解求解0/0型不定型问题虽然是初等数学手段，但是在一些问题上比用导数工具求解却更加方便。

[例4]计算极限■■

分析：本题属于0/0型不定式，使用洛必达法则可以求解，但是不是最好的方法。事实上借助因式分解问题很快得以简化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的应用

初学高等数学的学生常常感到泰勒公式的应用比较困难，其实带有佩亚诺型余项的泰勒公式在0/0型极限运算中的应用常常使得问题得以简化。

6.等价无穷小替换在0/0型不定式中的应用

使用等价无穷小替换，将函数转化为两个重要极限题型或者符合洛必达法则的形式，可使题目简化，运算简捷。

[例5]求极限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入题中，配合洛必达法则，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、结束语

上节所列举的几种方法是求解0/0问题中常用的方法。随着大学数学学习过程的逐步深入，我们需要逐步掌握一些过去不熟悉的数学思想方法。对于综合题型往往需要多种方法的结合使用。但是对基本概念、基础知识的熟练掌握才是能够实现一题多解的关键所在。

一、引言

在函数极限运算中，0/0型未定式型是一类重要的极限运算题型。虽然洛必达法则是解决此类问题的一种重要的数学手段，但是对于一些题型来说这并不是最为有效的方法，应根据问题的具体情况选取不同的方法。如换元法、取倒法、使用洛必达法则以及泰勒公式等。笔者在此对不同类型题型和方法做出相应的归纳和总结，这有助于提高解决该类型问题的能力。

二、0/0型未定式问题常见解题途径

1.0/0未定式题型首选洛必达法则

直接应用洛必达法则求解0/0型未定式问题是一个基本思路。但是在应用该方法时的一个前提条件是函数的求导计算不是太繁琐，同时在使用该方法时注意与其他方法如等价代换、代数式化简以及极限性质的结合，这种解题方式常常使得解题途径简单明了。

[例1]计算极限：■■，a≠0

分析：这是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求极限过程较为繁琐，使用洛必达法则很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先对代数式进行变形转换为■型不定式形式，再使用洛必达法则

[例2]计算极限：■x2（■-arctan2x2）

分析：这是0·∞型不定式。先将其转换为0/0型不定式形式，再使用洛必达法则求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必达法则题型使用洛必达法则能够使题目简化，但是对于有些类型的洛必达法则题型使用洛必达法则后却很复杂，这种情况下应考虑与其他方法如变量替换、极限基本性质、等价无穷小代换等结合使用。

3.换元法在0/0型不定式中的应用

借助于变量代换，同时与其他数学手段比如等价无穷小替换结合将题型转化为洛必达法则适用范围是求解0/0型不定式的常见思路，但是这种处理模式要求对极限基本概念、性质有深入理解。

[例3]计算极限：■（x-π）tan■

这是0·∞型不定式，考虑换元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的应用

借助因式分解求解0/0型不定型问题虽然是初等数学手段，但是在一些问题上比用导数工具求解却更加方便。

[例4]计算极限■■

分析：本题属于0/0型不定式，使用洛必达法则可以求解，但是不是最好的方法。事实上借助因式分解问题很快得以简化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的应用

初学高等数学的学生常常感到泰勒公式的应用比较困难，其实带有佩亚诺型余项的泰勒公式在0/0型极限运算中的应用常常使得问题得以简化。

6.等价无穷小替换在0/0型不定式中的应用

使用等价无穷小替换，将函数转化为两个重要极限题型或者符合洛必达法则的形式，可使题目简化，运算简捷。

[例5]求极限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入题中，配合洛必达法则，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、结束语

上节所列举的几种方法是求解0/0问题中常用的方法。随着大学数学学习过程的逐步深入，我们需要逐步掌握一些过去不熟悉的数学思想方法。对于综合题型往往需要多种方法的结合使用。但是对基本概念、基础知识的熟练掌握才是能够实现一题多解的关键所在。