数学课堂的“再创造”教学

冯建梅

摘 要：主要在介绍数学“再创造”的基础上，通过具体举例来体会如何在数学课堂上有效指导学生进行“再创造”，不断提高学生的数学素养。

关键词：数学课堂；再创造；理论依据；必要性；策略

在多年的数学教学工作中，发现学生学习数学的过程中普遍存在着这样的一些现象，对大部分学生而言，他们学习数学的方法仍然习惯于上课不停地做笔记，到做作业时，同笔记上的内容进行对照，这样就形成了一种循环。老师上课讲得越多、覆盖面越广，则学生会的就越多，但是一旦脱离了教师，遇上一些富有拓展性或是研究性的问题就显得力不从心、无从下手，这一现象体现了学生在系统知识的理解运用能力上还是比较欠缺。因此如何从这样的一种现状中摆脱出来，值得我们深思。它需要我们师生共同努力，而在教学中逐步渗透“再创造”的教学法则是一种较为合理的方式。

一、数学“再创造”教学的理论依据

数学“再创造”是由世界著名教学教育权威弗赖登塔尔提出的，他认为：

1.数学是最容易创造的一种学科，它实质上是人们常识的系统化，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己去发现或是“再创造”出各种法则和各种定律。

2.历史上很多数学原理是在世界各个地方独立发现的，数学发展的历史进程是如此，个人学习数学的进程也是如此，每个人都应该在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。

3.每个人有不同的“数学现实”，因而可达到不同的水平。教师应当针对各个学生数学现实和思维水平的不同，通过适当的启发，引导学生加强反思，使学生的创造活动由不自觉的状态发展为有意识的活动。

4.“再创造”应当贯穿于数学教育的全过程。数学教育的整个过程学生都应该积极参与，教师的任务就是为学生提供广阔的天地，让各种不同的思维、不同的方法自由发展，这样在数学“再创造”的过程中，可以让学生发现自己的潜力与标准，在教师一定的指导下，抓住机会去钻研、去探索通向这个标准的道路，从而达到他们力所能及的高度与深度。

另外，从教育学、心理学的角度来看，在数学教学中实施“再创造”还有以下几点好处：

1.学生通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强加的要理解得透彻、掌握得更好，也更具有实用性，便于知识的迁移、能力的发展，一般来说，还可以保持较长久的记忆。

2.“再创造”包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来进行学习能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。

3.“再创造”方式，可以进一步促使人们借助自身的体验形成这样的观念：数学是一种人类的活动，数学教学也是一种人类的活动。

二、教学中要对学生进行有指导的“再创造”

弗赖登塔尔认为：“学一个活动的最好方法是实践。”这一提法的目的是强调教学的重点从教转向学，从教师的行为转向学生的活动。

在“再创造”的过程中，对于学生各种独特的解法，要让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，同时教师要在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展成为有意识、有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高，这也正是有指导的“再创造”的真正含义所在。因为有指导的“再创造”意味着在创造的自由性和指导的约束性之间以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，达到一种微妙的平衡。

在讲解选修1-2类比推理时，类比圆的概念和性质，推理球的概念和性质时，很多学生不知从何下手，很是困惑。此时，我问学生：“大家想想，由圆形怎样得到球体呢？”学生异口同声地说：“围绕圆的直径旋转一周可以得到。”我又说：“那么，圆的这些性质随着圆的旋转成为球的什么性质呢？”这一下子激活了学生的思维，有的还拿着圆在不停地旋转、体会，很快学生类比得到了球的概念和性质。这样的有指导的“再创造”教学，不仅让学生再创造了知识，还让学生体会到遇到问题要寻找事物之间的内在联系，同时教师也较好地完成了教学任务。

三、如何有效地对学生指导“再创造”

弗赖登塔尔认为，“再创造”教学就是让学生“参与到一种活动中去”。在这整个活动过程中，在教师的有效引导下，学生以积极、创造的状态参与这个活动，感觉到创造的需要，然后进行“再创造”。在这个过程中，教师怎样有效地指导学生呢？

1.从学生的“数学现实”出发，选择适当契机提出问题，促进学生横向与纵向的数学“再创造”。

在一般的课堂里，教师通常有预先设计好的教学计划，这样在实施教学的过程中，教师可以凭直觉和经验利用班级平时表现的情境，自由地掌握这种情境，使之适合于“再创造”教学。

如，在教学必修五圆锥曲线中的抛物线时，有的学生提出，抛物线的开口由什么决定呢？椭圆的圆扁、双曲线开口的宽窄都是由离心率决定的，抛物线开口的宽窄也是由离心率决定的吗？很快很多学生就否定了，因为根据抛物线的定义可知所有的抛物线离心率都是1，那是由什么决定的呢？学生陷入沉思中，此时我提示学生，初中我们就学习过抛物线的有关知识，是由什么决定抛物线开口呢？很快就有很多学生受到启发，说是由2p（p>0）决定的，2p越大，■越小，开口越大，反之，2p越小，■越大，开口越窄。此时，学生露出了会心的笑容。

2.教师要及时地肯定和鼓励学生自己的成果。这显然是“再创造”学习方式中的一条基本原则。教师是否肯定并鼓励学生自己的成果，是反映教师对“再创造”原理的认识、理解程度的试金石，也是能否真正贯彻“再创造”原理的试金石。在承认和鼓励学生自己成果的同时，教师明显地从传统的“传授”地位上退隐下来，从而更有力地鼓舞了学生的主动参与性。

已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲线C表示圆时，求m的取值范围；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值。

有一个学生的解法很有新意，是在原有知识的基础上再创造来解决问题的。他是这样讲解的：我们之前学习直线系方程和圆系方程时有这样的结论。

过直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直线L2）。

过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2）。

因为OM⊥ON，所以M、N、O三点共圆，不妨设为圆D，则圆D是过直线与圆C交点M、N的圆，故它的方程可以仿造上述结论设为：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，则圆心坐标为D（-■，-λ+2）.

因为圆D过原点O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因为OM⊥ON，所以MN为直径，圆心D在直线MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；联立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩讲解获得了同学和老师的掌声，在这个过程中，老师与同学，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越来越多的学生会更积极地参与到数学的“再创造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教学体系——学案教学

这里的相互作用不仅体现在一种班级与教师关系的意义上，甚至可能更多地体现在学生与学生之间的一种相互关系上，让幕后的教师有更多的空间和时间来做有效的即兴操作。

“学案导学”教学能够真正地将课堂教学中心由“教”转到“学”，使学生真正成为学习的主体，他们在课堂上通过讨论、争辩，使得知识越来越清晰，老师也能更好地发现学生中集中的问题，采取针对性的措施。

总之，实施数学“再创造”教学，有利于培养学生的观察能力和创新精神，提高他们的数学素养。让我们继续践行，探索其中的奥妙。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.上海教育出版社，1995-01.

[2]邱学华，苏春景.邱学华与尝试教学法.中国青年出版社，2002.

（作者单位 山西省太原市并州东街2号太原市实验中学）

？誗编辑 张珍珍

已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲线C表示圆时，求m的取值范围；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值。

有一个学生的解法很有新意，是在原有知识的基础上再创造来解决问题的。他是这样讲解的：我们之前学习直线系方程和圆系方程时有这样的结论。

过直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直线L2）。

过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2）。

因为OM⊥ON，所以M、N、O三点共圆，不妨设为圆D，则圆D是过直线与圆C交点M、N的圆，故它的方程可以仿造上述结论设为：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，则圆心坐标为D（-■，-λ+2）.

因为圆D过原点O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因为OM⊥ON，所以MN为直径，圆心D在直线MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；联立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩讲解获得了同学和老师的掌声，在这个过程中，老师与同学，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越来越多的学生会更积极地参与到数学的“再创造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教学体系——学案教学

这里的相互作用不仅体现在一种班级与教师关系的意义上，甚至可能更多地体现在学生与学生之间的一种相互关系上，让幕后的教师有更多的空间和时间来做有效的即兴操作。

“学案导学”教学能够真正地将课堂教学中心由“教”转到“学”，使学生真正成为学习的主体，他们在课堂上通过讨论、争辩，使得知识越来越清晰，老师也能更好地发现学生中集中的问题，采取针对性的措施。

总之，实施数学“再创造”教学，有利于培养学生的观察能力和创新精神，提高他们的数学素养。让我们继续践行，探索其中的奥妙。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.上海教育出版社，1995-01.

[2]邱学华，苏春景.邱学华与尝试教学法.中国青年出版社，2002.

（作者单位 山西省太原市并州东街2号太原市实验中学）

？誗编辑 张珍珍

已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲线C表示圆时，求m的取值范围；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值。

有一个学生的解法很有新意，是在原有知识的基础上再创造来解决问题的。他是这样讲解的：我们之前学习直线系方程和圆系方程时有这样的结论。

过直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直线L2）。

过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2）。

因为OM⊥ON，所以M、N、O三点共圆，不妨设为圆D，则圆D是过直线与圆C交点M、N的圆，故它的方程可以仿造上述结论设为：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，则圆心坐标为D（-■，-λ+2）.

因为圆D过原点O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因为OM⊥ON，所以MN为直径，圆心D在直线MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；联立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩讲解获得了同学和老师的掌声，在这个过程中，老师与同学，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越来越多的学生会更积极地参与到数学的“再创造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教学体系——学案教学

这里的相互作用不仅体现在一种班级与教师关系的意义上，甚至可能更多地体现在学生与学生之间的一种相互关系上，让幕后的教师有更多的空间和时间来做有效的即兴操作。

“学案导学”教学能够真正地将课堂教学中心由“教”转到“学”，使学生真正成为学习的主体，他们在课堂上通过讨论、争辩，使得知识越来越清晰，老师也能更好地发现学生中集中的问题，采取针对性的措施。

总之，实施数学“再创造”教学，有利于培养学生的观察能力和创新精神，提高他们的数学素养。让我们继续践行，探索其中的奥妙。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.上海教育出版社，1995-01.

[2]邱学华，苏春景.邱学华与尝试教学法.中国青年出版社，2002.

（作者单位 山西省太原市并州东街2号太原市实验中学）

？誗编辑 张珍珍