区间软RSL-代数

许宏伟， 刘卫锋， 张理涛

(郑州航空工业管理学院 数理系 河南 郑州 450015)

区间软RSL-代数

许宏伟， 刘卫锋， 张理涛

(郑州航空工业管理学院 数理系 河南 郑州 450015)

将区间软集应用于RSL-代数，定义了区间软RSL-代数、区间软RSL-子代数、区间软RSL-代数的软同态等概念，讨论了它们的基本性质，推广了相关文献中软RSL-代数的结果.

软集； 区间软集； RSL-代数； 软RSL-代数； 区间软RSL-代数

0 引言

文[1]中提出了软集的概念,为研究不确定性问题提供了一种新的方法.由于软集与模糊集、粗糙集等理论具有较强的互补性，因此软集理论受到了许多学者的关注和研究.在文[1]基础上，文[2-4]定义了软集的各种运算和软相等概念；文[6-8]将文[5]提出的区间集应用于软集，提出了区间软集的概念；文[9-14]分别提出了软群、软环、软半环、软Quantale、软坡、软格等概念，并研究了它们的性质；文[15-17]分别研究了软BCK/BCI代数、软BL代数、软RSL-代数.但是，目前没有发现将区间软集应用于代数结构之中的报道，为此本文尝试将区间软集应用于RSL-代数，提出了区间软RSL-代数、区间软RSL-子代数和区间软RSL-代数的软同态等概念，并对它们的一些基本性质进行了探讨.本文推广了文[17]中软RSL-代数的相关结果.

1 相关概念

定义1[18-19]代数结构(L,∨,∧,*,+,⊗,→,0,1)称为RSL-代数，如果(L,∨,∧,*,+,0,1)为正则双Stone-代数，(L,∨,∧,⊗,→,0,1)为IMTL-代数.

为方便起见，以后用L,L1,L2表示RSL-代数.

定义2[17]设(F,A)是RSL-代数L上的软集，若∀x∈A,F(x)均为L的子代数，则称(F,A)是L上的一个软RSL-代数.

定义3[1]设X是论域，P(X)是其幂集，E是指标集，A⊆E，F:A→P(X)是一个映射，则称(F,A)是X上的一个软集.

定义5[6-8]设X是论域，E是指标集，A⊆E,F:A→I(P(X))是一个映射，称(F,A)是X上的一个区间软集，其中I(P(X))表示X上的所有区间集之集合.

I(P(X))上的偏序集定义为[Al,Au],[Bl,Bu]∈I(P(X))，[Al,Au]≤[Bl,Bu]⟺Al⊆Bl,Au⊆Bu.

定义6[8]设(F1,A1),(F2,A2)是X上的区间软集，则定义如下运算：

(3)(F,A)=(F1,A1)∩ε(F2,A2),其中A=A1∩A2，∀x∈A,F(x)=F1(x)∩F2(x).

(4)(F,A)=(F1,A1)∧(F2,A2),其中A=A1×A2，∀(x,y)∈A1×A2,F(x,y)=F1(x)∩F2(y).

2 区间软RSL-代数

定义7 设(F,A)是RSL-代数L上的区间软集，若∀x∈A,F(x)=[Al,Au]，且Al,Au为L的RSL-子代数，则称(F,A)是L上的一个区间软RSL-代数.

若∀x∈A,F(x)=[Al,Au]，其中Al=Au，则区间软RSL-代数退化为软RSL-代数，故而区间软RSL-代数是软RSL-代数的推广.

下面在文[17]中RSL-代数实例基础上，说明区间软RSL-代数是存在的.

例1 设L={0,a,b,c,d,e,f,1}，定义L的运算*,+,⊗,→和序关系如图1和表1～3，则(L，∨,∧,*,+,⊗,→,0,1)是一个RSL-代数.

图1 RSL代数L

0abcdef1∗1fedcba0+1fedcba0

表2 L上的→运算Tab.2 →operation on L

表3 L上的⊗运算Tab.3 ⊗ operation on L

令A={x,y,z}，设(F,A)是L上的区间软集，其中

F(x)=[{0,1},{0,a,f,1}]，F(y)=[{0,b,e,1},L]，F(z)=[{0,c,d,1},L].

可以验证(F,A)是L上的区间软RSL-代数.

推论1 设(F1,A1),(F2,A2)是L上的区间软RSL-代数，若A1∩A2≠∅，则(F1,A1)∩ε(F2,A2)是L上的区间软RSL-代数.

定理4 设(F1,A1),(F2,A2)是L上的区间软RSL-代数，则(F1,A1)∧(F2,A2)是L上的区间软RSL-代数.

现将上述结论推广到任意指标集.

定理5 设(Fi,Ai)(i∈I，I为指标集)是L上的区间软RSL-代数，则

3 区间软RSL-子代数

定义9 设(F,A)是L上的区间软RSL-代数.若∀x∈A,F(x)=[{0},{0}]={0}，其中0为RSL-代数L的最小元，则称(F,A)为平凡的.若∀x∈A,F(x)=[L,L]=L，则称(F,A)为完整的.

定义10 设f:L1→L2为集合L1到L2的同态映射，(F,A)是L1上的区间软集，定义L2上的区间软集如

f(F):A→I(P(L2)),

f(F)(x)=f(F(x))=f[Al,Au]=[f(Al),f(Au)],∀x∈A，其中Al,Au∈I(P(L1)).

定理9 设f:L1→L2为L1到L2的同态映射，则

(1)若(F,A)是L1上的区间软RSL-代数，且∀x∈A，有F(x)=kerf，则(f(F),A)是L2上的平凡区间软RSL-代数.

(2)若f为满射，且(F,A)是L1上的完整区间软RSL-代数，则(f(F),A)是L2上的完整区间软RSL-代数.

证明 (1)已知∀x∈A,F(x)=kerf，于是，∀x∈A，有f(F)(x)=f(F(x))={02}=[{02},{02}]，其中02为L2中的最小元，因此(f(F),A)是L2上的平凡区间软RSL-代数.

(2)由题设可知，f(L1)=L2，且∀x∈A，有F(x)=[L1,L1]=L1.于是，∀x∈A，f(F)(x)=f(F(x))=f(L1)=L2=[L2,L2]，故(f(F),A)是L2上的完整区间软RSL-代数.

定理10 设f:L1→L2为L1到L2的同态映射.若(F,A)是L1上的区间软RSL-代数，则(f(F),A)是L2上的区间软RSL-代数.

证明 由于(F,A)是L1上的区间软RSL-代数，故∀x∈A，F(x)=[Al,Au]，其中Al,Au是L1的子代数，又f为同态映射，所以f(F)(x)=f(F(x))=[f(Al),f(Au)]，其中f(Al),f(Au)是L2的子代数.故(f(F),A)是L2上的区间软RSL-代数.

4 区间软同态

定义11 设(F1,A1),(F2,A2)分别是L1,L2上的区间软RSL-代数，f:L1→L2,g:A1→A2是两个映射.如果f为同态映射，且∀x∈A1,f(F1(x))=F2(g(x))，则称(f,g)为从(F1,A1)到(F2,A2)的区间软同态.

定理12 设(F1,A1),(F2,A2)分别是L1,L2上的区间软集，如果(F1,A1)为L1上的区间软RSL-代数，且(F1,A1)与(F2,A2)区间软同态(构)，则(F2,A2)为L2上的区间软RSL-代数.

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Interval Soft RSL-algebras

XU Hong-wei, LIU Wei-feng, ZHANG Li-tao

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

The notion of interval soft sets was applied to RSL-algebras. The concepts of interval soft RSL-algebras, interval soft RSL-subalgebras and soft homomorphism between interval soft RSL-algebras were defined and some basic properties were discussed. The results of soft RSL-algebras in related reference were generalized.

soft sets; interval soft sets; RSL-algebras; soft RSL-algebras; interval soft RSL-algebras

2013-03-19

国家自然科学基金数学天元基金资助项目，编号11226337；河南省教育厅科学技术研究重点项目，编号12B110027.

许宏伟(1957-)，男，副教授，硕士，主要从事应用数学研究，E-mail：xhwzzia@163.com.

O 153

A

1671-6841(2014)01-0037-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.009