浅谈“再创造”原理在《组合数的两个性质》教学中的运用

严丽花

摘 要：在多年的数学教学中，坚持融“再创造”原理于日常的数学课堂教学中，以《组合数的两个性质》的课堂教学为例谈谈对“再创造”原理的认识和本课型设计的依据。

关键词：再创造；组合数的性质；运用

已有研究表明根据“再创造”教学理论构建的“再创造”数学教学模式和教学实践对于学生的学和教师的教能起到如下作用：

1.“再创造”数学教学模式有利于提高学生的数学学习兴趣和转变学习态度。

2.“再创造”数学教学模式有利于发挥学生的主体作用。

3.“再创造”数学教学模式有利于培养学生的创新意识和创新精神。

4.“再创造”数学教学模式给学生以成功的体验。

5.“再创造”数学教学模式有利于教师教学方式和学生学习方式的转变。

笔者在多年的职教数学教学中，坚持融“再创造”原理于日常的数学课堂教学中，本文以《组合数的两个性质》的课堂教学为例谈谈对“再创造”原理的认识和本课型设计的依据。

一、对“再创造”原理的认识

“再创造”原理是荷兰数学家弗赖登塔尔关于数学教学方法的基本思想。弗赖登塔尔认为，学生学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。

弗赖登塔尔关于“再创造”的论述要点如下：

1.数学是最容易创造的一种科学

数学实质上是人们常识的系统化。教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己进行“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种公式、定律。

2.每个人都应按照自己的特点重新创造数学知识

历史上很多数学原理是在世界各个地方由不同学者分别独立地发现的。数学发展的历史如此，个人学习数学的进程也同样如此，每个人在学习数学的过程中，都可以根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。

3.每个人有不同的“数学现实”，因而可达到不同的水平

由于每个人具有的“数学现实”和思维水平不同，因此可以追述并达到的水平也不相同，每个学生应充分享有“再创造”的自由。教师则应通过适当的启发，引导学生加强反思，使学生的创造活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识、有目的的创造活动。

4.“再创造”的基本程序

反思是数学化过程中的一种重要活动。必须让学生学会反思，对自己的判断、活动、语言表达等进行思考并加以证实，以便意识到深藏在自身行为后面的实质，只有这种以反思为核心的数学教育才能使学生实现“再创造”。

5.“再创造”应贯穿于数学教育的全过程

应将数学教育作为一个活动过程来加以分析。在整个过程中，学生应该始终积极参与，感觉到创造的需要，才有可能进行“再创造”。教师的任务就是为学生提供厂阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现设置任何预先的“圈套”。

二、《组合数的两个性质》教学案例设计片段

生4：第二个式子中的分子、分母约去7，6，5，4就和第一个式子一样了。

师：有没有不一样的地方？

生5：第一个式子计算简单。

师：答案一样是巧合？还是……

生6：是规律。因为C310=C710。

师：你怎么知道的？

生6：我看了书。

师：你能不能再说出几个和它类似的规律？

生7：能。C38=C58，C29=C79…

师：大家验证一下，看看这个规律对不对？

（请两位学生板演，其余学生在本子上演算）

生（齐）：对的。

师：如果两个式子的答案一样，你愿意用哪一个式子来进行计算？

生7：肯定是数字小的那个式子。

师：哪个数字小？说具体点。

生7：上标的数字小。

师：也就是选出的人数少的那个式子。

生（齐）：对。

师：下面请同学们结合实际问题解释一下两个式子的答案为什么一样？

生8：因为（1）是从一个小组10个人中选出3个人后，还剩下7个人，每次选3个人的组合与每次选剩下的7个人的组合是一一对应的；同理（2）是从一个小组10个人中选出7个人后，还剩下3个人，每次选7个人的组合与每次选剩下的3个人的组合是一一对应的。

师：把问题的实际意义去掉，成了什么问题？

生9：（1）就是从10个元素中取出3个元素后，还剩下（10-3）个元素，每次选3个元素的组合与每次选剩下的（10-3）个元素的组合是一一对应的；同理（2）就是从10个元素中选出7个元素后，还剩下（10-7）个元素，每次选7个元素的组合与每次选剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的。

师：用什么式子来表示？

生（齐）：C310=C10-310或C710=C10-710。

师：能不能更一般化？

生10：能，就是从n个元素中取出m个元素后，还剩下（n-m）个元素，每次选m个元素的组合与每次选剩下的（n-m）个元素的组合是一一对应的。

师：用式子怎么表示？

生（齐）：即Cmn=Cn-mn。

至此，水到渠成，学生不仅自己得出了组合数的性质1，还知道了在什么情况下如何来利用性质1进行简化计算，学生在自然完成水平数学化以后，就能以组合数的计算公式来进行证明，达到垂直数学化的程度，这也正是数学教育的目的所在，即不能停留在直观层面上，应上升为理性的逻辑推理。

片段二：

师：有红、黄、蓝、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一个盒子里，有多少种不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性质2的学习中，更多的创设了现实情景，学生不仅从不同的情景中获得了知识，而且学会了分析问题的分类的思想方法，体现了“现实数学”的原则，这是“再创造”原理的理论依据。

最后，性质2也同样要进行证明并会进行变形应用。因为数学教学不能停留在直观和操作水平，必须发展到“形式化”阶段，在抽象层次上思维。

引申片段：组合数求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再创造”教学现实情景：教室里有6盏电灯，开灯照明有几种不同的方法？

三、对教学案例的再思考

1.数学教学引导学生自己重新发现那些客观上已经存在，但对学生来说是“新”的数学概念、公式、定理、法则等。

2.本课例体现“再创造”教学的作用

（1）通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强加的要理解得透彻、掌握得更好，也更具有实用性，一般来说还可以保持较长久的记忆。

（2）“再创造”包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来进行学习能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。

（3）通过“再创造”方式，可以进一步促使人们借助自身的体验形成这样的观念：数学是一种人类活动，数学教学也是一种人类的活动。

（4）再创造教学注重展示教师的原创和学生的原创，师生情感交融，课堂气氛融洽。民主宽松的学习氛围保护了学生的兴趣的增长。

（5）再创造教学注重运用元认知提问的策略，促进学生构建新的知识结构和认知结构，使学生能有效地进行学习。

（6）再创造教学注重学生对知识、规律的再发现、再创造，因而学生在碰到变式的问题和新问题时，更具有创造力和迁移知识的能力。

当然，在学生创造的自由性和教师的指导性之间，在学生学习的自主性和教师的强迫性之间以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，怎样达到一种平衡，还是有待进一步探索的问题。

参考文献：

[1]李秋嘉.再创造数学教学模式的实践[D].东北师范大学，2003.

[2]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].华东师范大学出版社，2000.

（作者单位 江苏省常熟市白茆中学）

片段二：

师：有红、黄、蓝、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一个盒子里，有多少种不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性质2的学习中，更多的创设了现实情景，学生不仅从不同的情景中获得了知识，而且学会了分析问题的分类的思想方法，体现了“现实数学”的原则，这是“再创造”原理的理论依据。

最后，性质2也同样要进行证明并会进行变形应用。因为数学教学不能停留在直观和操作水平，必须发展到“形式化”阶段，在抽象层次上思维。

引申片段：组合数求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再创造”教学现实情景：教室里有6盏电灯，开灯照明有几种不同的方法？

三、对教学案例的再思考

1.数学教学引导学生自己重新发现那些客观上已经存在，但对学生来说是“新”的数学概念、公式、定理、法则等。

2.本课例体现“再创造”教学的作用

（1）通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强加的要理解得透彻、掌握得更好，也更具有实用性，一般来说还可以保持较长久的记忆。

（2）“再创造”包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来进行学习能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。

（3）通过“再创造”方式，可以进一步促使人们借助自身的体验形成这样的观念：数学是一种人类活动，数学教学也是一种人类的活动。

（4）再创造教学注重展示教师的原创和学生的原创，师生情感交融，课堂气氛融洽。民主宽松的学习氛围保护了学生的兴趣的增长。

（5）再创造教学注重运用元认知提问的策略，促进学生构建新的知识结构和认知结构，使学生能有效地进行学习。

（6）再创造教学注重学生对知识、规律的再发现、再创造，因而学生在碰到变式的问题和新问题时，更具有创造力和迁移知识的能力。

当然，在学生创造的自由性和教师的指导性之间，在学生学习的自主性和教师的强迫性之间以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，怎样达到一种平衡，还是有待进一步探索的问题。

参考文献：

[1]李秋嘉.再创造数学教学模式的实践[D].东北师范大学，2003.

[2]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].华东师范大学出版社，2000.

（作者单位 江苏省常熟市白茆中学）

片段二：

师：有红、黄、蓝、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一个盒子里，有多少种不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性质2的学习中，更多的创设了现实情景，学生不仅从不同的情景中获得了知识，而且学会了分析问题的分类的思想方法，体现了“现实数学”的原则，这是“再创造”原理的理论依据。

最后，性质2也同样要进行证明并会进行变形应用。因为数学教学不能停留在直观和操作水平，必须发展到“形式化”阶段，在抽象层次上思维。

引申片段：组合数求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再创造”教学现实情景：教室里有6盏电灯，开灯照明有几种不同的方法？

三、对教学案例的再思考

1.数学教学引导学生自己重新发现那些客观上已经存在，但对学生来说是“新”的数学概念、公式、定理、法则等。

2.本课例体现“再创造”教学的作用

（1）通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强加的要理解得透彻、掌握得更好，也更具有实用性，一般来说还可以保持较长久的记忆。

（2）“再创造”包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来进行学习能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。

（3）通过“再创造”方式，可以进一步促使人们借助自身的体验形成这样的观念：数学是一种人类活动，数学教学也是一种人类的活动。

（4）再创造教学注重展示教师的原创和学生的原创，师生情感交融，课堂气氛融洽。民主宽松的学习氛围保护了学生的兴趣的增长。

（5）再创造教学注重运用元认知提问的策略，促进学生构建新的知识结构和认知结构，使学生能有效地进行学习。

（6）再创造教学注重学生对知识、规律的再发现、再创造，因而学生在碰到变式的问题和新问题时，更具有创造力和迁移知识的能力。

当然，在学生创造的自由性和教师的指导性之间，在学生学习的自主性和教师的强迫性之间以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，怎样达到一种平衡，还是有待进一步探索的问题。

参考文献：

[1]李秋嘉.再创造数学教学模式的实践[D].东北师范大学，2003.

[2]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].华东师范大学出版社，2000.

（作者单位 江苏省常熟市白茆中学）