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曲线趋势外推延伸方法研究及其应用

2014-07-11吴修彬孙召瑞孙贵斌李国平

制造业自动化 2014年8期
关键词:二次曲线莱芜趋势

吴修彬,孙召瑞,孙贵斌,李国平,2

(1.莱芜职业技术学院 机械与汽车工程系,莱芜 271199;2.莱芜市粉末冶金先进制造重点实验室,莱芜 271199)

0 引言

箱体等铸造类零件常有过渡非圆曲线,针对其进行工程制图或三维建模,常需将非圆曲线保持其趋势进行延伸[1]。现有计算机辅助设计软件,如AutoCAD、Pro/E、UG等均有延伸功能。然而,除AutoCAD可延伸椭圆曲线外,现有软件仅对直线和圆弧能保持原有曲线特性进行延伸,对任意的非圆曲线或者不响应,或者改变原有特性进行延伸,如CAXA对任何曲线均以直线特性延伸。非圆曲线保持特性延伸是制图和建模中经常遇到的难题,实际应用中,只能采用手工绘制样条曲线进行替代,误差较大。

趋势外推法[2]是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称,目前用于科技、经济和社会发展的预测[3~5]。如将趋势外推法的时间和数值视为曲线的坐标值,则可将其应用于非圆曲线的延伸。本文基于上述思想,在极角坐标系中研究任意非圆曲线趋势外推延伸方法,首先建立几种典型延伸数学模型,给出模型应用条件,供延伸具体曲线时采用,克服现有CAD软件共性关键难题。

1 多项式延伸模型

1.1 二次曲线模型

用最小二乘法[8]确定延伸参数。由式(1)得:

式中: r i为第i点的观察值; ei为第i点的离差;Q为离差平方和。

qi表示极角序列的编号,当极角序列观察点的项数为奇数时,令其中间项 的编号为0,

式(4)可简化为:

解方程组可得:

根据离散点数据采用式(6)计算延伸参数,依据式(1)建立延伸模型。

1.2 三次曲线模型

用最小二乘法确定延伸参数。由式(7)得:

解方程组可得:

根据离散点数据采用式(12)计算延伸参数,依据式(7)建立延伸模型。

2 Gompertz曲线延伸模型

选N=3n组离散点,其中n是离散点分成3组后,各组离散点的个数。若N不等于3n,摒弃离延伸位置较远的若干点,使N=3n。将离散点代入下式:

将有关数据代入下式,计算Gompertz模型所需参数。

3 指数曲线延伸模型

根据式(2)联立求得:

4 曲线趋势外推延伸实例

如表1所示,分别为二次曲线、三次曲线、Gompertz曲线、指数曲线上的4组离散点。应用上述方法对4条曲线进行延伸,分析延伸曲线与理论曲线间的误差,检验延伸模型的准确性。

表1 趋势外推延伸曲线离散点

分别拟合上述4组离散点,在拟合曲线上选取qi为等差数列的新离散点,分别计算4组新离散点延伸模型应用条件,如表2所示,曲线1的 最大差值最小,接近于常数,选用二次曲线趋势外推延伸模型;曲线2的 最大差值最小,选用三次曲线趋势外推延伸模型;曲线3的(▽l n ρi+1-▽lnρi)▽lnρi最 大 差 值 最 小 , 选 用Gompertz曲线趋势外推延伸模型;曲线4的▽ln ρi最大差值最小,选用指数曲线趋势外推延伸模型。

对曲线1,经运算,延伸参数为: a ˆ=3.000+5.526×10-13, bˆ = 2.000+3.971×10-10,cˆ= 1.000+1.982×10-11。将(3.500,22.250)作为起始点,利用模型式(1)对曲线进行延伸,图1为延伸图及与理论曲线误差图,延伸误差在10-11数量级,精度较高。

表2 趋势外推延伸模型选择

图1 曲线1的延伸图及误差图

图2 曲线2的延伸图及误差图

图3 曲线3的延伸图及误差图

图4 曲线4的延伸图及误差图

5 结论

1)引入趋势外推方法,建立多项式、Gompertz曲线、指数曲线3类延伸数学模型,提供了模型识别与选择方法,根据待延伸曲线离散点特征可合理选择延伸模型,实现非圆曲线趋势外推延伸。

2)曲线趋势外推延伸实例表明:用所建立的延伸模型延伸与之同类型的曲线,可以长距离延伸,精度非常高,且距延伸起始点越近,精度越高,达到趋势外推延伸。对与延伸模型不同类型的曲线,也可近似延伸。

3)曲线趋势外推延伸方法可应用于对现有CAD软件的核心升级,也可对其进行二次开发,增加其功能模块,使之更精确的进行交互式设计。

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