谐波齿轮对大型SGCMG框架转速控制的影响分析

刘宝玉 金 磊 贾英宏

北京航空航天大学宇航学院，北京 100191

谐波齿轮对大型SGCMG框架转速控制的影响分析

刘宝玉 金 磊 贾英宏

北京航空航天大学宇航学院，北京 100191

框架转速控制精度是影响大型单框架控制力矩陀螺(Single Gimbal Control Moment Gyroscope，SGCMG)输出力矩精度的重要因素。谐波齿轮是一种大传动比的减速装置，在大型SGCMG框架伺服系统中加装谐波齿轮提高框架电机的转速，有利于减小框架转速控制偏差。本文分析了大型SGCMG框架电机和谐波齿轮传动的特性，建立了带有谐波齿轮的大型SGCMG动力学模型。数值仿真结果表明加装谐波齿轮可明显改善大型SGCMG框架转速控制精度，特别是框架低速运行时的控制精度，提高大型SGCMG输出力矩精度;但加装谐波齿轮也给框架带来高频谐振。

谐波齿轮;SGCMG;框架伺服系统;建模

姿态稳定精度和姿态机动能力是航天器姿态控制的2个重要性能指标。相比其它执行机构，控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope，CMG)具有效率高、输出力矩大、带宽大和线性范围大的特点，是航天器重要的姿态控制执行机构，并得到广泛应用。框架伺服系统是CMG的重要组成部分，其转速控制精度是影响CMG输出力矩精度的重要因素［1-2］。SGCMG框架伺服系统由于其组成与结构特性而存在多种误差与扰动，如轴承摩擦，驱动电机力矩波动，框架轴向干扰等，这些误差与扰动影响SGCMG框架转速控制精度。在大型SGCMG框架电机与框架之间加装减速器，使框架电机运行在高速状态，有利于提高框架转速控制精度。与其它传动机构相比，谐波齿轮减速器具有传动比大、体积小、传动精度高、回差小、无冲击、噪声低等优点，很适合作为大型SGCMG框架伺服系统的减速器［3］，但是谐波齿轮减速器存在运动误差、柔性和非线性摩擦等缺点［4-5］，这些缺点也影响SGCMG框架转速控制精度。

很多学者对SGCMG框架伺服系统进行了研究。Heiberg C J等人在文献［6］中探讨了考虑外部时变干扰力矩和SGCMG框架转速波动时航天器的姿态控制，其框架转速波动表示为框架角谐波的正弦函数形式;之后又考虑了SGCMG框架电磁扰动力矩和机械扰动力矩的影响［7］。文献［8］分析了SGCMG框架伺服系统摩擦力矩、电机脉动力矩对其框架转速控制的影响。文献［9］分析了SGCMG转子动静不平衡量、转子轴安装误差、框架支承轴承摩擦力矩和框架电机干扰对框架转速控制精度的影响。以上文献主要是针对未加装减速装置的SGCMG框架伺服系统的分析与研究，而对于加装了谐波齿轮的大型SGCMG框架伺服系统的研究目前还比较少。

本文对加装了谐波齿轮的大型SGCMG框架伺服系统各主要组成部分及其特性进行分析与建模，建立带有谐波齿轮的大型SGCMG动力学模型，结合数值仿真分析谐波齿轮对大型SGCMG框架转速控制的影响。

1 大型SGCMG工作原理

大型SGCMG由转子系统和框架伺服系统组成。其中转子系统主要包括:转子组件、转子支承轴承组件、转子电机组件。加装了谐波齿轮的大型SGCMG框架伺服系统主要包括框架组件、框架支承轴承组件、谐波齿轮传动系统组件、框架电机组件。由于转子转速一般很高，转速波动较小，而框架通常工作在低速状态，本文暂不考虑转子系统和框架组件的误差与扰动，假设转子工作在定常转速状态。

加装了谐波齿轮的大型SGCMG框架伺服系统的工作原理为:谐波齿轮刚轮固联在SGCMG基座上，框架电机输出轴与谐波齿轮波发生器相连，谐波齿轮柔轮与框架轴相连;框架电机驱动谐波齿轮波发生器运动，从而使谐波齿轮柔轮驱动框架运动。于是，框架伺服系统又可分为框架电机侧部分与框架侧部分。

框架伺服系统中框架电机主要受到电机自身摩擦阻尼力矩和谐波齿轮啮合摩擦力矩的作用，其运动方程可表示为

其中，Jpw为框架电机转子转动惯量;Jhw为谐波齿轮波发生器转动惯量;ωmp为框架电机机械角速度;Tep为框架电机电磁转矩;Tfp为框架电机自身摩擦阻尼力矩;Tfh为谐波齿轮啮合摩擦力矩;Nhdt为谐波齿轮传动比;Tcfs为谐波齿轮柔轮输出力矩。

框架的运动方程可表示为

其中，Jgwz为SGCMG框架和转子系统相对于框架自旋轴的转动惯量;Tfg为框架支承轴承摩擦力矩;Tgwz为框架轴向扰动力矩。

2 SGCMG动力学方程

不考虑SGCMG框架和转子的误差，建立SGCMG转动动力学方程，SGCMG示意图如图1所示。

2.1 坐标系与变量定义

为了描述SGCMG中各体之间的相对运动，定义如下空间直角坐标系:

1)基座参考坐标系fg0(og0xg0yg0zg0)，固联在基座，og0取为框架几何中心，zg0沿框架自旋轴方向，xg0，yg0指向规定方向;

2)框架坐标系fg(ogxgygzg)，固联在框架，og为框架几何中心，zg沿框架自旋轴方向，xg沿转子自旋轴方向，yg满足右手法则，初始情况下坐标系fg与坐标系fg0重合;

3)转子几何体坐标系fw(owxwywzw)，固联在转子，ow为转子几何中心，xw沿转子自旋轴方向，初始情况下坐标系fw与坐标系fg重合。

记rxy为从oy到ox的矢径在坐标系fy中的分量列阵，Rxy为从坐标系fy到坐标系fx的转换矩阵。定义如下变量:

mw为转子质量;

图1 SGCMG示意图

Iw为转子相对于其各主惯量轴的惯量矩阵;mg为框架质量;

Ig为框架相对于其各主惯量轴的惯量矩阵;

v为坐标系fg0原点og0的绝对速度在坐标系fg0中的分量列阵;

ω为坐标系fg0的绝对角速度在坐标系fg0中的分量列阵;

Ω为坐标系fw相对于坐标系fg的角速度在坐标系fw中的分量列阵，记为Ω=［Ω 0 0］T，其中Ω为转子自旋角速度;

δ为坐标系fg相对于坐标系fg0的旋转角度在坐标系fg中的分量列阵，记为δ=［0 0 δ］T，其中δ为框架转角;

Rwg为坐标系fg到坐标系fw的转换矩阵;

Rgg0为坐标系fg0到坐标系fg的转换矩阵。

2.2 SGCMG动力学方程

SGCMG的动量pcg及其相对于坐标系fg原点og的绝对动量矩表示在坐标系fg中为

利用动量矩定理可以得到SGCMG转动动力学方程为

式中，Tg为框架驱动力矩表示在fg坐标系下对求导;ωg=Rgg0ω+δ˙为坐标系fg的绝对角速度在fg下的分量列阵;vg=Rgg0v为坐标系fg原点og的绝对速度在fg下的分量列阵。

式(5)展开后为

其中，Jgw为框架和转子相关惯量变量，记Jgw=diag(JgwxJgwyJgwz);Tgw为框架和转子相关力矩变量，记 Tgw=［TgwxTgwyTgwz］T。

3 框架支承轴承摩擦力矩

由于SGCMG框架转速低，本文框架支承轴承摩擦力矩采用库仑模型、粘性模型和Dahl模型的组合模型表示，该组合模型可以基本完整地描述摩擦力矩的动态特性和静态特性，且模型简单，因此广泛应用于航空航天领域。于是，框架支承轴承摩擦力矩Tfg表示为

其中，Tcou=Kcsign()，Kc为库仑摩擦力矩;Tvis=Kv，Kv为粘性摩擦系数;为角速度，在这里为框架转速;函数sign(x)为符号函数;Tdah为Dahl模型摩擦力矩，Tdah(θ)对时间的导数表示为［10］

其中，θ表示旋转角度，在这里为框架转角δ;σ为静态刚度;λ为与所描述材料有关的常数。

4 框架电机及其控制

航天器姿态任务模式(姿态稳定和姿态机动)的不同，使得SGCMG框架的转速分布范围较大。正弦永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)能产生比较平滑的电磁转矩，电磁转矩波动小、转速平稳、动态响应快、过载能力强，在此采用PMSM作为SGCMG框架电机。

4.1 PMSM方程

在两相旋转坐标系dq下

1)PMSM 磁链方程为［11］

2)PMSM 电压方程为［11］

其中，Rs为定子绕组电阻;ωr为电机转子电角速度;ud，uq分别为d，q轴上的两相电压。

3)PMSM 转矩方程为［11］

其中，pn为电机极对数。

4)PMSM自身摩擦阻尼力矩Tfp采用库仑模型和粘性模型的组合模型表示，为

其中，Tcou与Tvis的表达式和含义与式(8)相同。

4.2 PMSM控制

PMSM转速控制有直接转矩控制、矢量控制等方法。PMSM矢量控制(Vector Control，VC)又叫磁场定向控制(Field-Oriented Control，FOC)，其基本思想是将定子绕组电流矢量分解为产生磁场的电流分量id(励磁电流)和产生转矩的电流分量iq(转矩电流)并分别加以控制，即对电机磁链与转矩进行解耦控制，以实现电机的高性能控制。PMSM矢量控制的控制策略主要有:id=0控制、最大转矩控制、弱磁控制、cosφ=1控制、最大效率控制等。id=0控制就是控制定子绕组在两相旋转坐标系dq中的d轴电流id等于0，同时精确控制q轴电流iq以获得精确的电磁转矩控制电机转子转速。本文框架电机采用id=0矢量控制方法进行转速控制，控制系统模型如图2所示［11］。其中，ω'm为指令角速度;速度控制器与电流控制器均采用PI控制器;计算得到的u'd和u'q控制量调制空间矢量脉宽调制(Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM)器输出信号的波形，以控制电机逆变器桥路的导通与截止，最终实现电机调速。

图2 PMSM转速控制系统模型

5 谐波齿轮

谐波齿轮传动系统可以看成是两输入两输出系统，如图3所示。

图3 谐波齿轮传动系统输入输出模型

输入为:波发生器输入转角θnwg(由于波发生器与框架电机输出轴刚性连接，故这里为框架电机轴转角);波发生器输入力矩Tnwg;输出为:柔轮后端转角θcfs;柔轮输出力矩Tcfs。完整的谐波齿轮传动模型为在其减速特性上加上各种摩擦损失以及柔性传动特性，如图4所示。

图4 谐波齿轮传动系统特性图［12］

其转角和力矩的平衡关系为［13］

6 数值仿真

为了直观地了解加装谐波齿轮对SGCMG框架转速的影响，建立包含框架电机和谐波齿轮传动等特性的大型SGCMG动力学模型进行数值仿真，仿真中不考虑SGCMG基座即航天器本体的运动，仿真涉及的主要参数取值如表1～4所示。

表1 框架与转子参数

表2 框架电机及其控制系统参数

表3 谐波齿轮传动系统参数

表4 框架支承轴承摩擦模型参数

6.1 恒速控制

1)当SGCMG框架伺服系统未加装谐波齿轮时SGCMG的框架转速如图5。

图5 恒速控制时未加装谐波齿轮的框架转速

2)当SGCMG框架伺服系统加装谐波齿轮时SGCMG的框架转速如图6。

图6 恒速控制时加装谐波齿轮后的框架转速

比较图5和6可知，SGCMG框架在恒速控制情况下:当SGCMG框架伺服系统未加装谐波齿轮时SGCMG的框架转速波动较大;而加装谐波齿轮后框架转速误差明显减小，但框架起旋阶段转速波动较大，同时加装谐波齿轮给框架带来高频谐振。

6.2 随动控制

1)当SGCMG框架伺服系统不加装谐波齿轮时SGCMG的框架转速为图7所示。

图7 正弦随动控制时未加装谐波齿轮的框架转速

2)当SGCMG框架伺服系统加装谐波齿轮时SGCMG的框架转速为图8所示。

图8 正弦随动控制时加装谐波齿轮后的框架转速

比较图7和8可知SGCMG框架在正弦随动控制情况下:当SGCMG框架伺服系统未加装谐波齿轮时SGCMG的框架转速波动依然明显，且不能跟踪低于0.4(°)/s的框架转速指令;而加装谐波齿轮后框架能准确地跟踪框架转速指令，也能很好地响应框架低速指令。

7 结论

对大型SGCMG框架伺服系统各主要组成部分、误差及扰动的特性进行了分析，建立包含框架电机和谐波齿轮传动等特性的大型SGCMG动力学模型并进行数值仿真，仿真结果表明:在相同条件下，在大型SGCMG框架伺服系统中加装谐波齿轮可以减小框架转速控制偏差，特别是提高框架低速运行时的控制精度，在框架随动控制时能准确地跟踪框架转速指令;但同时加装谐波齿轮也给框架带来高频谐振，需要采取有效措施对其进行抑制。

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Influence Analysis of Harmonic Gear to SGCMG Gimbal Rate Control

LIU Baoyu JIN Lei JIA Yinghong
School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China

The control precision of gimbal rate is the main factor which affects the output torque accuracy of large-scale single gimbal control moment gyroscope(SGCMG)．Harmonic gear is a deceleration device with high transmission ratio，adding harmonic gear into gimbal servo system of large-scaleSGCMGto increase the rotor speed of gimbal motor is helpful to reduce the level of gimbal rate deviation．This paper describes in detail the characteristics of large-scaleSGCMGgimbal motor and harmonic gear drive;establishes the dynamics model of large-scaleSGCMGwith harmonic gear to analyze the influence of harmonic gear to largescaleSGCMGgimbal rate control．numerical simulation results indicate that harmonic gear significantly improves the gimbal rate control precision of large-scaleSGCMG，especially under low gimbal rate condition，and the output torque accuracy of large-scaleSGCMG;but harmonic gear simultaneously brings highfrequency resonance to gimbal．

Harmonic gear;SGCMG;Gimbal servo system;Modeling

V448.22

A

1006-3242(2014)02-0023-06

2013-03-12

刘宝玉(1985-)，男，江西人，硕士研究生，主要研究方向为航天器姿态动力学与控制;金 磊(1982-)，女，云南人，副教授，主要研究方向为航天器姿态动力学与控制;贾英宏(1976-)，男，河北人，副教授，主要研究方向为复杂结构航天器动力学与控制。