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由一道数学行程问题引发的思考
——浅谈数学习题的功能

2014-07-08马鸿晓

教育教学论坛 2014年36期
关键词:习题情况速度

马鸿晓

(北京市海淀区北大附中香山学校,北京 100093)

由一道数学行程问题引发的思考
——浅谈数学习题的功能

马鸿晓

(北京市海淀区北大附中香山学校,北京 100093)

数学习题的练习在数学学习中具有重要功能——知识功能和教育功能。教师选择每一道数学习题,都应该考虑到它的两种功能,不仅仅教给学生知识,同时还注重学生思维发展和心理健康成长。可怎样发挥这些功能?值得我们深思和探讨。

数学;习题功能;行程问题

数学习题练习是中学数学教学过程中的重要一环。数学习题具有两种功能:第一,它是数学知识的载体,习题练习可以巩固知识、灵活运用知识、并引入新知识。第二,数学习题还具有重要的教育功能,它能培养学习兴趣、增强学习信心,养成良好数学学习习惯和学习思维,提高学生应对挫折的能力。

下面是一道数学行程问题的教学片断,借用该教学片断来探讨如何发挥数学习题的这些功能。

一、数学行程问题教学片段

(一)例题

甲、乙两车相距480km,甲车速度为80km/h,乙车速度为100km/h,若甲、乙两车同时同向而行,两车何时相距600km?

解:设x小时后两车相距600km。

1.若甲、乙两车同向由甲到乙方向行驶,如下页图1所示,则:

图1

100x+480=80x+600

解之得:x=6

即:6小时后甲、乙两车相距600km。

2.若甲、乙两车同向且由乙到甲方向行驶,如图2所示,则只有乙追上甲并超过甲时才可能相距600km

图2

100x=80x+480+600

解之得:x=54

即:54小时后甲、乙两车相距600km。

(二)拓展

若上述数据都不变,设计一道题,使之结果有三种情形。

学生:编不出来,能否改变数据?

老师:如果可以改变数据,你如何设计?

学生甲:将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车同在一个地方”,则:

(1)甲、乙同时同地同向右出发(如图3)。

(2)甲、乙同时同地同向左出发(如图4)。

(3)甲、乙同时同地反向出发(如图5)。

图3

图4

图5

学生乙质疑:(1)、(2)属同一种情况。(其他学生都赞同)

学生丙:将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车相距650km”,删去“甲、乙两车同时同向而行“,则:

(1)甲、乙同时相向而行(如图6)。

(2)甲、乙同时同向出发,此时不可能出现同时向由甲到乙的方向行驶(甲比乙慢,由甲到乙方向行驶,只会导致相距距离越来越大)。

①乙追上甲之前相距600km(如图7)。

②乙追上甲之后相距600km(如图7)。

图6

图7

学生丁质疑:(1)情况下应该也有两种可能性:甲、乙相遇前相距480km;甲、乙相遇后相距480km。

学生丙:将“甲、乙两车相距480km,甲车速度为80km/h,乙车速度为100km/h”更改为“甲、乙两车相距600km,甲车速度为100km/h,乙车速度为100km/h”

学生群体质疑:甲、乙两车只要同时同向行驶,永远相距600km,没有太多意义。

最后此拓展题只得以“课下再思考”而结束。

二、从行程问题知识本身的角度反思

此题如果不更改任何数据,能否设计出有三种情形的一道题?

行程问题一般涉及三个变量:速度、时间、路程,三个变量相互作用、相互影响。若行程问题只涉及到一个对象,当确定其中两个变量时,第三个变量随之可以确定。若行程问题涉及到两个对象或两个以上对象(比如:此例题中出现了甲、乙两个对象),除了三个变量外一般还涉及到两个对象的行驶方向,以及是否同时行驶两个要素。对于同时与否,其实质为改变两车之间最初的距离,而方向一般会涉及八种情况(见表1)。

表1

本题中甲乙两车速度不变,最终要相距600km,属于相距问题。

1.若两车最开始相距0<S<600km,则只可能出现表中的①、④、⑦、⑧四种情况。

2.若两车最开始相距S>600km,则只可能出现表中的③、④、⑥、⑦四种情况。

3.特殊情况之一:两车在同一地点即S=0km,此时只可能出现同向相距或反向相距两种情况。

4.特殊情况之二:两车最开始相距600km即S=600km,此时只可能出现表中的④、⑦两种情况。

综上所述,无论从“方向”还是从“同时与否”这两个角度思考,最终都会出现四种情况或两种情况,不可能出现三种情况。

三、从数学习题的教育功能方面来看

数学习题对学生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

从智力方面来说,数学习题能培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、批判性、广阔性、创造性等品质。本题是一道开放性习题,由于答案的不确定性,不能按照常规的思路解决问题,要求学生从整体看行程问题,全局把握条件和结论之间的关系,在学生已有的解题方法、运算技巧和探索能力的基础上,摆脱局部细节,主动、独立、别出心裁的提出新方法、新见解,同时对自己提出的新方法、新见解提出质疑,发现问题,从而摈弃错误,寻找出最后的解决方案。所以,此题对学生思维的品质提出了很高的要求,能促进学生的思维纵向深层次发展。

从非智力方面来说,经拓展后的习题难度系数较大,要求学生顽强的、坚持不懈地挑战已有知识和能力的极限,能培养学生的坚韧和挑战精神。但学生无论付出多少努力最终也无法成功找到解决方案,会让学生产生挫折感,习题本身具有的激励作用也荡然无存,长此以往,学生就会对具有挑战性的习题失去兴趣和动力。如果我们把这道拓展题的结论稍作修改,结果就会大相径庭。比如:我们将问题“若上述数据都不变,设计一道题,使之结果有三种情形。”更改为“若上述数据都不变,我们能否设计一道题,使之结果有三种情形?如果能,请写出来。如果不能,请找出原因”,此时学生可从“存在”和“不存在”两方面思考问题。除此以外,我们还可以将问题更改为“若上述数据都不变,设计一道题,使之结果有四种情形。”,学生因此也能获得成功,但相比前者,后者对学生的数学思维能力的要求就降低了许多。

此外,由于数学习题本身具有的独特特点,使之较其他学科抗干扰的能力强,学生容易静下心来,迅速投入到数学习题解决的过程中去,对于促进学生良好的学习习惯有重要的作用。数学习题不仅能促进学生独立思考,还能促进学生养成良好的思维习惯和敢于质疑的习惯。

问题是数学的心脏,问题解决是数学教育的核心。数学习题不仅能巩固学生所学知识,发展学生的智力,同时对学生情感、心理等方面都有很大的影响。此外,数学习题还深刻影响着学生进入社会后分析身边问题、解决身边问题的能力。所以我们需要慎重地看待每一道数学习题,认真地思考数学习题的教育功能,在有限的课堂时间里最大限度地发挥每一道习题的教育功能。

G633.6

A

1674-9324(2014)36-0082-03

马鸿晓,北大附中香山学校数学教师,中学一级教师,海淀区数学学科带头人。

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