带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线

李军成，钟月娥，谢淳

湖南人文科技学院数学系，湖南娄底 417000

带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线

李军成，钟月娥，谢淳

湖南人文科技学院数学系，湖南娄底 417000

给出了一种带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线，具有标准三次Hermite插值样条曲线完全相同的性质。给定插值条件时，样条曲线的形状可通过改变形状参数的取值进行调控。在适当条件下，该样条曲线对应的Ferguson曲线可精确表示椭圆、抛物线等工程曲线。通过选择合适的形状参数，该插值样条曲线能达到C2连续，而且其整体逼近效果要好于标准三次Hermite插值样条曲线。

三次Hermite插值样条；三次三角Hermite插值样条；形状参数；逼近

1 引言

三次Hermite插值样条是工程中较为常见的一种构造插值曲线的方法，但是插值条件给定时，标准三次Hermite插值样条存在形状无法修改、仅满足C1连续、不能精确表示常见工程曲线等缺陷。带有参数的有理形式的Hermite插值样条[1-8]不仅具有标准三次Hermite插值样条相似的性质，而且其形状可通过改变参数的取值进行调节，在一定条件下，这些带参数的有理Hermite插值样条还能达到C2连续，但这些样条却不能精确表示一些常见的工程曲线。近年来，基于三角函数的几何造型方法得到了广泛的研究，一些学者对三角多项式样条也作了有益的探讨[9-13]，其中谢进等人[12-13]针对带参数的有理Hermite插值样条不能精确表示工程中常见的曲线这一缺陷，提出了一种带参数的有理三次三角Hermite插值样条，和一般的有理样条一样，其形状可通过形状参数进行调控，另外在适当的条件下，该样条对应的Ferguson曲线还能精确表示工程中一些常见的曲线。

无论是一般的有理Hermite插值样条，还是有理三角Hermite插值样条，由于都是采用有理形式构造样条，因此其表达式变得复杂，计算量也随之变得较大。为此，本文提出了一种带形状参数的三次三角多项式Hermite插值样条曲线，该样条曲线不仅与标准三次Hermite插值样条曲线具有相同的性质，而且可以利用形状参数对样条的形状进行调控。给定插值条件，当参数取合适值时，该样条曲线可达到C2连续，且整体逼近效果好于标准三次Hermite插值样条。另一方面，在合适的条件下，该样条曲线对应的Ferguson曲线还可以精确表示椭圆与抛物线。由于所提出的三角Hermite插值样条避免了使用有理形式，其表达式较为简洁，计算量也相对较小，从而为插值曲线曲面的构造提供了一种新方法。

2 三次三角Hermite基函数

一般地，对于给定的节点：

下面利用{1，sin t，cos t，sin2t，sin3t，cos3t}取代标准三次Hermite基函数中的{1，t，t2，t3}，构造一种带形状参数的三次三角Hermite基函数。

定义1对任意给定的任意实数λi，0≤t≤1，下列4个关于t的函数：

经简单计算可知，拟三次双曲Hermite基函数满足下列性质：

（1）端点性：对任意的参数λi，有：

且有fi(t)+fi+1(t)=1，gi(t)=-gi+1(1-t)。

上述结论表明，三次三角Hermite基函数与标准Hermite基函数具有完全相同的性质，但与之不同的是，三次三角Hermite基函数带有参数λi，当参数λi取不同值时可得到不同的三次三角Hermite基函数。

（2）关于参数λi的单调性：固定变量t，求fi(t)，fi+1(t)，gi(t)，gi+1(t)分别关于参数λi的导数，记为d f0，d f1，d g0，d g1，则有：

3 三次三角Ferguson曲线

由三次三角Hermite基函数的性质可知，基于该组基函数可作两点的Hermite插值，因此可定义相应的Ferguson曲线。

定义2对任意给定的任意实数λi，0≤t≤1，称：

为带形状参数λi的三次三角Ferguson曲线，其中pi+j与p′i+j(j=0，1)分别为两个插值端点及其切矢，fi+j(t)与gi+j(t)(j=0，1)为三次三角Hermite基函数。

显然，三次三角Ferguson曲线与标准三次Ferguson曲线具有相同的插值性，但与之不同的是，三次三角Ferguson曲线带有形状参数λi，当两个插值端点及其切矢给定时，利用形状参数λi可对曲线的形状进行调控。在适当条件下，三次三角Ferguson曲线可以精确表示直线段、椭圆弧与三次抛物线弧。

4 三次三角Hermite插值样条曲线

4.1 样条曲线的定义

为区间[a，b]上关于分划∆的分段三次三角Hermite插值样条曲线，其中fi(t)，fi+1(t)，gi(t)与gi+1(t)为三次三角Hermite基函数。

容易验证，由式（4）定义的三次三角Hermite插值样条曲线满足：

上述结论表明，当插值条件给定时，三次三角Hermite插值样条曲线不仅满足C1连续，而且其形状还可通过修改参数λi的取值进行局部或整体调控，这相对于形状无法改变的标准三次Hermite插值样条曲线而言，给设计人员的交互式设计带来了方便。

例1给定数据：

则可绘制出由3段三次三角Hermite插值样条曲线构成的整条C1连续曲线，并可通过修改参数λi(i=0，1，2)的取值实现对整条曲线的局部或整体调控。图1为形状参数λ1对曲线进行局部调控的情形，这里取λ0=λ2=1，粗实线对应λ1=-0.5，虚线对应λ1=0，细实线对应λ1=0.5。图2为形状参数对曲线进行整体调控的情形，这里取λi=λ(i=0，1，2)，其中粗实线对应λ=0.5，细实线对应λ=1.5，虚线为标准三次Hermite插值样条曲线。

图1 插值样条曲线的局部调控

另外，当给定插值条件时，标准三次Hermite插值样条曲线仅满足C1连续，而在适当条件下，三次三角Hermite插值样条曲线可达到C2连续。事实上，令

可得如下的连续性方程：

图2 插值样条曲线的整体调控

式（5）称为三次三角Hermite插值样条的C2连续性约束条件，即当形状参数λi(i=0，1，…，n-1)满足式（5）时，三次三角Hermite插值样条满足C2连续。在实际计算中，可适当地指定[x0，x1]上的初始参数λ0，然后可由λ0通过式（5）确定λ1，再由λ1通过式（5）确定λ2，依次类推，逐段构造出区间[a，b]上C2连续的整条三次三角Hermite插值样条曲线。

需要说明的是，在实际应用中，给定初始参数λ0后，由于通过式（5）计算所得的其他参数λi都是近似值，因此当曲线的段数较大时，可能会使得误差的累积较大，后面相邻曲线段的C2连续性就不能保证。此时，可将给定的数据划分为若干部分，并按照上述方法分别对每个部分的数据构造C2连续的曲线，然后再利用Hermite插值方法将各部分曲线构造成整条C2连续的曲线。

例2给定数据点如下：

图3 C2连续的样条曲线（粗实线）

若指定初始形状参数λ0=0.000 0，由式（5）依次计算得λ1=1.015 3，λ2=6.063 5，λ3=0.956 5，利用所得参数可绘制出一条C2连续的三次三角Hermite插值样条曲线，如图3中的粗实线。在图3中，细实线为所有参数取λi=1时的三次三角Hermite插值样条曲线TH(x)，虚线为标准的三次Hermite插值样条曲线H(x)，此时三次三角Hermite插值样条曲线和标准三次Hermite插值样条曲线仅满足C1连续。由于三条曲线几乎重合，为了区别观察，将图8中的粗实线整体上升了0.2个单位，而细实线则整体下降0.2个单位。

4.2 样条曲线的逼近性

下面讨论参数的选择对三次三角Hermite插值样条曲线对被插函数逼近程度的影响，这里仅与标准三次Hermite插值样条曲线进行比较。为此，首先给出一种刻画整体逼近效果的定义。

定义4设在区间[a，b]上构造的整条标准三次Hermite插值样条曲线为H(x)，三次三角Hermite插值样条曲线为TH(x)，被插函数为f(x)。记相对误差：

则当THe＜He时，称TH(x)比H(x)在[a，b]对f(x)的整体逼近效果好。

例3设被插函数分别为f(x)=4-2 sin x，采用三次三角Hermite插值样条曲线对f(x)进行插值逼近，给定的插值条件及各区间上参数λi的取值如表1所示。

表1 给定的插值条件及各区间上参数的取值

分别采用三次三角Hermite插值样条曲线TH(x)与标准三次Hermite插值样条曲线H(x)对被插函数f(x)进行插值逼近的图形如图4所示。由于TH(x)（粗实线部分）、H(x)（细实线部分）和f(x)（短虚线部分）几乎重合，为了便于区别观察，将图4中的TH(x)整体上升了1个单位，H(x)则整体下降了1个单位。

经计算，采用TH(x)对f(x)进行插值逼近的误差值THe=0.000 393 68，而采用H(x)对f(x)进行插值逼近的误差值He=0.039 700 10。由此可知，当形状参数取适当的值时，采用三次三角Hermite插值样条曲线逼近的误差值比标准三次Hermite插值样条曲线小得多，这也表明在形状参数取值适当时，三次三角Hermite插值样条曲线比标准三次Hermite插值样条曲线相对于被插函数具有更好的整体逼近性。

图4 两种插值样条曲线与被插函数

5 结束语

本文提出了一种带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线，该曲线具有以下几个优点：（1）每段插值样条曲线只带一个形状参数，曲线的形状可通过改变参数的取值进行调控，方便实用。（2）在适当条件下，该曲线对应的Ferguson曲线可精确表示椭圆、抛物线等工程曲线。（3）当形状参数取值适当时，该曲线可达到C2连续，且整体逼近效果好于标准三次Hermite插值样条曲线。（4）相对于有理三角插值样条而言，该曲线避免了有理形式，因此其表达式变得较为简洁，计算量也较小。另外，本文提出的插值样条曲线可推广至曲面形式，将另文讨论。

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LI Juncheng,ZHONG Yue’e,XIE Chun

Department of Mathematics,Hunan Institute of Humanities,Science and Technology,Loudi,Hunan 417000,China

A class of cubic trigonometric Hermite interpolating splines curves with shape parameters is presented in this paper, which inherits the same properties of the standard cubic Hermite interpolating splines. For given interpolating conditions, the shape of the proposed splines curves can be adjusted by changing the values of the parameters. In proper conditions, the corresponding Ferguson curve can be used to represent some engineering curves exactly, such as ellipse and parabola. By selecting proper shape parameters, the proposed interpolating splines curves could satisfy C2 continuous and approximate the interpolated functions better than the standard cubic Hermite interpolating splines curves.

cubic Hermite interpolating splines;cubic trigonometric Hermite interpolating sp lines;shape parameters; approximation

LI Juncheng,ZHONG Yue’e,XIE Chun.Cubic trigonoMetric Hermite interpolating splines curves with shape parameters.Computer Engineering and Applications,2014,50（17）：182-185.

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0067

湖南省教育厅资助科研项目（No.14B099）。

李军成（1982—），男，在职博士研究生，讲师，研究领域为计算机辅助几何设计、图像处理；钟月娥（1980—），女，讲师，研究方向为计算机辅助几何设计；谢淳（1982—），女，讲师，研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：lijuncheng82@126.com

2012-09-11

2012-12-20

1002-8331（2014）17-0182-04

CNKI网络优先出版：2012-12-24,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121224.1515.003.htm l