五阶Fibonacci数列的通项及性质

陈淑贞，王珠

（海南师范大学数学与统计学院，海南海口571158）

五阶Fibonacci数列的通项及性质

陈淑贞，王珠

（海南师范大学数学与统计学院，海南海口571158）

著名的二阶Fibonacci数列有许多通项表达式和性质，本文利用归纳法、生成函数、矩阵等方法，对五阶Fibonacci数列进行了研究.获得了五阶Fibonacci数列的三个通项表达式，前n项和公式和一些与Fibonacci数列相似的性质，研究结果推广了Fibonacci数列的相关结论.

五阶Fibonacci数列；通项公式；矩阵

13世纪意大利数学家Fibonɑcci由兔子繁殖问题引出了一个有趣的数列——Fibonɑcci数列[1]记为{Fn}，它是满足F0=1，F1=1，Fn+1=Fn+Fn-1，n=1，2，3，…的一个二阶递推数列，这个数列的每一项称为Fibo⁃nɑcci数.对Fibonɑcci数列的研究已得到它许多奇特的性质及通项表达式.随着对Fibonɑcci数列研究的深入，研究者提出了多种Fibonɑcci数列的推广形式并进行了研究[1-4].文献[4]定义了r阶Fibonɑcci数列，并用生成函数求得了通项表达式.文献[5]运用递推关系的特征根及矩阵的方法研究了三阶Fibonɑcci数列，求得其与比内公式相类似的通项公式和一些性质.笔者运用生成函数、矩阵等方法，对四阶Fibonɑc⁃ci数列进行了研究[6]，本文在此基础上，又对五阶Fi⁃bonɑcci数列进行了深入的研究，定义了五阶Fibo⁃nɑcci矩阵，求得五阶Fibonɑcci数列多种通项表达式，并得到了与Fibonɑcci数列相似的一些性质.

1 五阶Fibonacci数列与五阶Fibonacci矩阵

阶Fibonɑcci数列.

定理1{fn}为五阶Fibonɑcci数列，则n 6时有

证明当n=6时，等式成立.

定义1[4]若数列，则称数列{fn}为五

设当n=k时，等式成立.

当n=k+1时，由归纳假设有

综合上述，当n 6时，等式成立.

2 五阶Fibonacci数列的Cassini公式

定理2对五阶Fibonɑcci数列{fn}，当n 6有

证明由定理1有

化简得

3 五阶Fibonacci数列的通项表达式

使得F=T·diag（λ1，λ2，λ3，λ4，λ5）·T-1，则

而Fn的第一行第一列元素即为fn，从而有

其中e=（1，0，0，0，0），得到下列定理.

定理3设λi（i=1，2，3，4，5）是方程λ5-λ4-λ3-λ2-λ-1=0的五个根.则存在可逆矩阵

使得五阶Fibonɑcci数列的通项为：

其中e=（1，0，0，0，0）.

定理4对于五阶Fibonɑcci数列{fn}（n 1），有

证明显然f1=1，f2=2，f3=4，f4=8，f5=16，等式成立.

假设n取1，2，…，k（k 6）时，等式成立，当n=k+ 1时，将k+1阶行列式展开得

从而等式成立.

定理5{fn}为五阶Fibonɑcci数列，则{fn}的通项为

证明令数列{fn}的生成函数为则有

将f0=1，f1=1，f2=2，f3=4，f4=f8，代入上式整理可得：

由A（x）展开式中xn的系数得五阶Fibonɑcci数列的通项为：

4 五阶Fibonacci数列的性质

性质1对五阶Fibonɑcci数列{fn}，有：

证明因为

由定理1，有

展开式子左边并比较第一行第一列元素得

推论1当n 3时有

证明在性质1中令m=n+2，当n 2时有

于是当n 3时可得

同理可得下面结论：

推论2当n 3时有

性质2

证明因为

性质3{fn}的前n项和

证明设{fn}的生成函数为A（x），则前n项和数列{Sn}的生成函数

因此xn的系数为

[1]吴振奎.斐波那契数列[M].长春：辽宁出版社,1987.

[2]马巧云.广义Fibonacci数列的通项[J].西安联合大学学报,2004,7(5)：30-32.

[3]陈淑贞,曾庆年.广义Fibonacci数列的通项及性质[J].海军工程大学学报,2008,20(3)：11-14.

[4]及万会.r阶Fibonacci数列[J].高师理科学刊,2005,25（1）：13-16.

[5]彭黎霞.三阶Fibonacci数列的性质与应用[J].莆田学院学报,2006,13（5）：5-8,11.

[6]陈淑贞,鲁仲池.四阶Fibonacci数列的通项及性质[J].海军工程大学学报,2009,21(1)：35-40.

[7]许胤龙,孙淑玲.组合数学引论[M].合肥：中国科技大学出版社,2010.

责任编辑：毕和平

The General Term and Property of Fifth Order Fibonacci Sequence

CHEN Shuzhen，WANG Zhu
（College of Mathematics and Statistics，Hainan normal university，Haikou 571158，China）

There ɑre severɑl generɑl expressions ɑnd properties for the fɑmous second order Fibonɑcci sequence.Some methods such ɑs induction,generɑtion function ɑnd mɑtrix were used to reseɑrch intensively on fifth order Fibonɑcci se⁃quence to ɑcquire three representɑtions of the generɑl term formulɑ,the representɑtions of summɑtion of the first n terms ɑnd its ɑssociɑted similɑr properties such ɑs Fibonɑcci sequence.The results of the reseɑrch extend the conclusions of Fibo⁃nɑcci sequence.

fifth order Fibonɑcci sequence；generɑl term formulɑ；mɑtrix

O 157

A

1674-4942（2014）03-0241-05

2014-04-10

海南省自然科学基金资助项目（113006）